条据书信 余弦定理的推导.doc

1、余弦定理的推导余弦定理的推导ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a,b,c表示.余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之.(1)在RtDABC中，如图1-1根据勾股定理:c=a+b因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC222222Aa222,所以b=a+c-2accosBcb222因为cosA=,所以a=b+c-2bccosAc因为cosB=（2）在锐角ABC中，如图1-2作CDAB于点D，有

2、bcCaBCCD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosBbb2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB同理可证：AcBDc2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA（3）在钝角ABC中，如图1-3作CDAB，交AB的延长线于点D，则CD=asinCBD=asinB,BD=acosCBD=-acosB，AD=AB+BD=c-acosBb2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB按照（2）的方法可以证明：bac2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bc

3、cosA综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.ABDuuurruuurruuurr证明：在ABC中，令AB=c，AC=b，BC=aruuuruuurrrruuua=BC=BA+AC=b-crrr2r2rrr2rr2r2r|a|=(b-c)=b-2bc+c=|b|-2|b|c|cosA+|c|2即a=b+c-2bccosA同理可证：c=a+b-2abcosC,b=a+c-2accosB证明：对于任意一个DABC，建立直角坐标系如图所示，那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0)因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。根据两点间的距离公式，我们有：2222222222AcB

4、abCc2=|AB|2=(bcosC-a)2+(bsinC)2=a2+b2-2abcosC，即c=a+b-2abcosC222篇二:余弦定理的证明方法大全(共十法)余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在DABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在DABC中,已知AB=c,AC=b,及角A,求证:a2=b2+c2-2bccosA.证法一

5、:如图1,在DABC中,由CB=AB-AC可得:CBCB=(AB-AC)(AB-AC)=AB+AC-2ABAC=b2+c2-2bccosA图122即,a2=b2+c2-2bccosA.证法二:本方法要注意对A进行讨论.(1)当A是直角时,由b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90=b2+c2=a2知结论成立.(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则在RtDACD中,AD=bcosA,CD=bsinA.从而,BD=AB-AD=c-bcosA.在RtDBCD中,由勾股定理可得:BC2=BD2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbco

6、sA+b2A图2-1即,a2=b2+c2-2bccosA.说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则在RtDACD中,AD=bcos(p-A)=-bcosA,CD=bsin(p-A)=bsinA.从而,BD=AB+AD=c-bcosA.在RtDBCD中,由勾股定理可得:BC=BD+CD=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2图2-2222即,a=b+c-2bccosA.综上(1),(2),(3)可知,

7、均有a2=b2+c2-2bccosA成立.证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则BDAD在RtDABD中,sina=,cosa=.ccCDAD在RtDACD中,sinb=,cosb=.bb222图3由cosA=cos(a+b)=cosacosb-sinasinb可得:ADADBDCDAD-BDCDcosA=-=cbcbbc2AD2-2BDCDc2-BD2+b2-CD2-2BDCD=2bc2bcb2+c2-(BD+CD)2b2+c2-a2=2bc2bc2整理可得a2=b2+c2-2bccosA.证法四:在DABC中,由正弦定理可得abcc=.sinAsinBsinCsin(A+B)从而有bs

8、inA=asinB,csinA=asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB.将带入,整理可得acosB=c-bcosA.将,平方相加可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA.即,a2=b2+c2-2bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2.即,a2=b2+c2-2bccosA.证法六:在DABC中,由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于

9、是,a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C)=4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC)=4R2(sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)=4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA)=(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinB)cosA=b2+c2-2bccosA即,结论成立.证法七:在DABC中,由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.于是,a2=b2+

10、c2-2bccosA4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA2sin2A=2-cos2B+cos2C-4sinBsinCcosA2-2cos2A=2-2cos(B+C)cos(B-C)-4sinBsinCcosA由于cos(B+C)=cos(p-A)=-cosA,因此cos2A=cos(B+C)cos(B-C)+2sinBsinCcosAcosA=-cos(B-C)+2sinBsinCcosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos(B+C).这,显然成立.余弦定理的推导.即

11、,结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心,以CA=b为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长AB交C于F,延长AC交C于G.GA则由作图过程知AF=2bcosA,故BF=2bcosA-c.由相交弦定理可得:BABF=BDBE,即,c(2bcosA-c)=(b+a)(b-a),整理可得:a=b+c-2bccosA.222图5证法九:如图6,过C作CDAB,交DABC的外接圆于D,则AD=BC=a,BD=AC=b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AE=BF=bcosA,故CD=c-2bcosA.由托勒密定理可得ADBC=ABCD+ACBD,即,aa=c(c-2bcosA)+bb.整

12、理可得:a=b+c-2bccosA.证法十:由图7-1和图7-2可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2,整理可得:a2=b2+c2-2bccosA.222图6c-bcosA余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图7-1图7-2篇三:正余弦定理推导过程先利用单位圆（向量）推到两角和与差的余弦公式，再利用诱导公式推导正弦公式，最后利用同角三角函数的基本关系推到正切公式。如：sin(a+b)=cos(pi/2-a)-b=cos(pi/2-a)cosb+sin(pi/2-a)sinb=s

13、inacosb+cosasinb取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接OB，与X轴的夹角为BOA与OB的夹角即为A-BA（cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,sinA).在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角，-，使角的始边为Ox交O于P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角-的始边为OP1，终边交O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cos,sin）、P3（cos(+),sin(+),P4(cos(-),sin(-).连接P1P3，P2P4.则P1P3=P2P4.

14、依两点间距离公式，得P1P3|2=cos(+)-12+sin(+)-02,P2P4|2=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2cos(+)-12+sin2(+)=cos(-)-cos2+sin(-)-sin2展开整理，得2-2cos(+)=2-2(coscos-sinsin)cos(+)=coscos-sinsinC+.该公式对任意角，均成立在公式C+中，用-替代.cos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=coscos+sinsin.cos(-)=coscos+sinsinC-.该公式对任意角，均成立.篇四:余弦定理的六种证法余弦定理的六种证法法一(平面几何

15、)：在ABC中，已知AC=b,BC=a,及C，求c。过A作ADBC于D，是ADACsinC=BCsinC，CD=ACcos=bcosc,C在RtDABD中，AB2=AD2+BD2=(bsinc)2+(a-bcosc)2=a2+b2-2abcosc，法二（平面向量）：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuurABAB=(AC+BC)(AC+BC)=AC2ACBC+BC=AC+2|AC|BC|uuur222222cos(180-B)+BC=b-2abcosB+a，即：c=a+b-2abcosco法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：sin证明：sin22A+sin22B-sinC=2sinAsinBcosC2A+sin2B-sinC=1-cos2A212+1-cos2B2-1-cos2C222=-(coo2sA+cos2B)+1