三、与冲激函数或阶跃函数的卷积

1、第2章 连续系统的时域分析,2.1 微分方程的建立与求解 2.2 起始点的跳变 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应与阶跃响应 2.5卷积 2.6卷积的性质,2.1 微分方程的建立与求解,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述,一微分方程的列写,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等,网络拓扑约束：由网络结构决定的电

2、压电流约束关系,KCL，KVL,二求解系统微分方程的经典法,齐次解： 由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法,特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解,全 解： 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解,时域经典法就是：完全解=齐次解+特解,表2-1几种特征根情况下齐次解的形式,表22 几种典型的自由项对应的特解形式,关于实际系统中的初始条件问题 在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用 时刻的初始条件来确定完全解中的待定系数。 在实际系统中一般选择 为初始观测时刻，而系统的激励是在 时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，响应及

3、其各阶导数在 处可能发生跳变或出现冲激。为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻,系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的函数值，可用y(i)(0-), i=0,1,n-1 表示；而系统的初始条件就是系统响应及其各阶导函数在0+时刻的函数值，用y(i)(0+),i=0,1,:,n-1表示。一般情况下，我们求的系统响应是指系统接入激励以后的响应，即0+t+。所以，应当利用系统的初始条件求齐次解中的各个系数,严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始状态是有区别的。系统状态是指系统储能的情

4、况或数据。而我们知道电系统的储能元件是电感和电容，也就是说，起始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在起始时刻的值iL(0-)和uC(0-)。 类似地，初始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在初始时刻的值iL(0+)和uC(0,例】描述某线性时不变系统的方程为,若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1, y(0+)=1。试求系统全解。 【解】齐次方程为,特征方程为,解得特征根为,所以，齐次解为,由于f(t)=t2，因此，设特解为,将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有,故有,解得,这样，特解为,全解为,将初始条件y(0+)=1, y(0+)=1代入上式，得,解得 c1=1

5、, c2=-2,所以，全响应y(t)为,t0,2.2起始点的跳变从0-到0+状态的转换,例:建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化,解：（1）列写电路的微分方程,2）求系统的完全响应 齐次解： 系统的特征方程,特征根,齐次解,将电路参数代入,并整理方程得,特解：根据自由项令 ，将其代入原方程 得,要求系统的完全响应为,3）确定换路后的,换路前,换路后的,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变， 因而有,4）求 在 时的完全响应,求得,要求的完全响应为,当系统已经用微分方程表示时，系统的0- 状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数。如果包含有 及其各阶导数，

6、说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即 这时为确定0+状态值，可以用冲激函数匹配法。它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等,等等,示例,给定0-状态起始值为 ，确定它的0+状态,设： （,积分一次 得,*,将（#）式和（*）式代入原方程,得出,要求的,例：用冲激函数匹配法求解例1中的电流i（t）的完全响应r（t,解：（1）求出 时微分方程表示为,2）用冲激函数匹配法求,由于方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有,代入原式得,因而有,要求的0+状态为,其余求解步骤同前例,2.3 零输入响应和零状态响应,示例：设有如图所示RC电路，电容两端有起始电压 ，激励源为 ，

7、求t0时系统响应电容 两端电压,解：不难求得描述系统的微分方程为,为求解此方程，将上列方程两端乘以,或写作,两边求积分,1系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced,零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state,暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state,也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解,形式取决于外加激励。对应于特解,1)自由响应,强迫响应,2、各种系统响应定义,是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量,

8、2)暂态响应,稳态响应,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应,3)零输入响应,零状态响应,系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数,系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值 为零决定的初始值求出待定系数,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法,3、求解,例：如下电路，把t0时i(t)的零输入响应和零状态响应,解：如果把电路转换成电容和电感中的起始储能 ，则可以画出如下图所示的带有起始储能的电路,1)零

9、输入响应:此时令e(t)=0,系统在 时刻的等效电路如下图所示.电路将在 的作用下工作,根据上图系统满足微分方程,由于整个电路是在电容和电感的储能作用下工作,也就是能量释放过程,为此画出电路在t=0+时刻的初始值等效电路如下图所示,(注意电容相当于短路,电感相当于开路.,由图求得,所以得,零输入响应的形式,2)零状态响应:此时对应的电路形式如下图所示,它满足微分方程,由前求得,利用冲激函数匹配法,得,所以得,通过上面分析,系统响应的分解可以表示为,例】已知系统的输入输出方程为,起始状态为 。求自由响应、强迫响应和零输入响应、零状态响应。 【解】首先求自由响应和强迫响应。由特征方程,3=0,得特

10、征根,-3,所以，齐次解为,设特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。 所以,全解为,由冲激函数平衡法，得,将式(#)代入初始条件，得,由此，系统自由响应和强迫响应分别为,下面，求零输入响应和零状态响应。由上述求解过程可设零输入响应、零状态响应分别为,因为，可分别解得,所以，系统零输入响应和零状态响应分别为,2.4 冲激响应和阶跃响应,1. 冲激响应 定义：系统在单位冲激信号(t)的激励下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。我们把系统模型中的y(t)和f(t)分别用h(t)和(t)代替，即,由于(t)及其各阶导数在 时等于零，因此，冲激响应h(t)形式与微分方程齐次解的形式相同。且

11、冲激响应h(t)的形式与n和m有关。下面通过比较方程两端（激励和响应）最高阶数m和n的关系分三种情况讨论。 1)nm 此时h(t)中不包含冲激信号项, 即当nm时，h(t)中不包含冲激信号项， 其表达式为,2) n=m 此时h(t)中包含 项，而无 的导数项，即,3) nm 此时h(t)中包含有 及其相应阶的导数,等项,例】某二阶连续系统的微分方程为,求该系统的冲激响应h(t,解】令f(t)=(t)并考虑零状态条件，则y(t)=h(t)。这样有,h(t)+4h(t)+3h(t)=(t)+2(t,特征方程为,2+4+3=0,特征根为,1=-1, 2=-3,因为nm, 所以冲激响应为,h(t)=(

12、c1e-t+c2e-3t)(t,对上式求导，得,h(t)=(c1+c2)(t)-(c1e-t+3c2e-3t)(t,2,1,对（2）式再求导，得,3,将式(1)、 式(2)和式(3)代入式(#)， 得,比较等式两端系数可得,解得,所以，冲激响应为,2 阶跃响应 系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状态响应称为阶跃响应，记为g(t,考虑到冲激信号与单位阶跃信号间存在微分与积分关系,因而对LTI系统, h(t)和g(t)间也同样存在微分积分关系,即,例】某线性时不变系统的输入输出方程为,y(t)+5y(t)+6y(t)=3f(t)+f(t,求系统的阶跃响应和冲激响应。 【解】令f(t)=(t

13、)，并考虑零状态条件，则方程可改写为,g(t)+5g(t)+6g(t)=3(t)+(t,1,由特征方程,2+5+6=0,得特征根,1=-2, 2=-3,阶跃响应中的齐次解部分为,gc(t)=(c1e-2t+c2e-3t)(t,阶跃响应中的特解为,又因为nm，所以阶跃响应为,其一阶导函数为,二阶导函数为,将以上三式代入式(1)， 整理得,比较上式两端系数， 得,解得,阶跃响应为,对g(t)求导即得h(t)为,例】电路如图1所示，i(t)为响应，试求阶跃响应和冲激响应,图 1,解】根据KCL、KVL，有,联立以上四式消去i1(t)、us(t)、iC(t)，并代入元件值，得微分方程,设us(t)=(

14、t)，系统为零状态，则,根据冲激函数平衡法，可得初始条件,解微分方程，可得阶跃响应,代入初始条件，求得。所以，系统阶跃响应为,对阶跃响应求导，得,2.5 卷积积分及其应用,一、 卷积积分的概念 卷积积分（简称卷积）是一种特殊运算。其定义为：设有函数f1(t)和f2(t)， f1(t)和f2(t)的卷积运算为则,式中，“*”号为卷积运算符号；积分限定为-到+是为了适应存在于-到+整个时间域内的一般函数（信号,式（#）是一个高度抽象的数学表达式，为了对其有一个更深刻、更形象地了解，我们通过作图来诠释卷积的意义。 根据卷积积分的表达式，卷积运算可分为5个步骤，即换元折叠位移相乘积分。下面通过图形变换

15、完成这5个步骤， 我们从中可以体会卷积的意义,二、 卷积的图解,能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定更为一般的卷积积分的上下限,进一步加深对其物理意义的理解,4.相乘,5.积分 求函数 的面积,求响应，必须,1.换元（t,1)当-1+t0即t1时,y(t)=0,移动距离 t 前沿坐标-1+t,两函数无公共的非零区域,结果,讨论： （）两个时限信号卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界之和。 （）两个时限信号卷积结果的宽度是卷积的两个时限信号的宽度之和 （）若两个矩形函数宽度相等，则卷积将产生一个等腰三角形，而不同宽度的矩形函数卷积将产生一梯形,解：(1)当t0时,

16、y(t)=0,三、 卷积的其它计算方法,1）解析法： 直接利用定义式计算。 （2）分段法： 此法仅限于时限信号的卷积运算。 （3）利用卷积的性质计算,例】已知f1(t)=(3e-2t-1)u(t)和f2(t)=etu(t), 试求卷积f1(t)*f2(t)。 【解,2.6卷积积分的性质 一.卷积代数 1. 交换律,证明,2. 分配律,证明,两个子系统并联,表明:两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于各个子系统的单位冲激响应之和,3. 结合律,证明,而,比较两式， 结论成立,两个子系统级联,表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的卷积,二、 卷积的微分与积分 设y(t)=f1(t)*f2(t)，则有,推广,i，j均为整数，当其为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数,三、 与冲激函数或阶跃函数的卷积,推广到一般的情况， 有,例】已知信号f1(t)、f2(t)的波形分别如图3-6(a)、(b) 所示，求f1(t)*f2(t,图 3-6 例3.3-3图,解】由卷积微