时谐电磁场与电磁波A

1、第4章 时谐电磁场与电磁波,4.1 法拉第电磁感应定律,法拉第(Michael Faraday)通过大量的实验总结出： 当穿过线圈所包围面积的磁通发生变化时， 线圈回路中将会感应一个电动势。 感应电动势在闭合回路中产生感应电流。 法拉第定律(Faradays Law)指出感应电动势的大小与磁通对时间的变化率成正比， 其方向由楞次定律(Lenzs Law)给出,感应电动势在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化。 法拉第定律和楞次定律的结合就是法拉第电磁感应定律（Faradays Law of Electromagnetic Induction）， 其数学表达式为,

2、4-1-1,图4 - 1 由磁通量增加产生的感应电动势与电流,图4 - 2 接通线圈1的开关K时，在线圈2中的感应电动势,式中， E为感应电动势， 它与穿过曲面S和回路C交链的磁通的正向成右手螺旋关系。 时变磁通可通过在线圈附近移动磁铁来产生， 如图4-1所示， 或者由打开或接通另一个线圈的电路来建立， 如图4-2所示。 由第2章知道， 在导体内维持电流必须在导体内存在非保守场， 我们可以用导体内的感应电场（非库仑电场）来定义感应电动势,如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场Ec， 则总电场E=Ein+Ec， 因此电场沿闭合路径的积分为,4-1-2,即,式（4-1-2）为电磁场表示的法拉第

3、电磁感应定律的积分形式。 其中， 穿过线圈回路磁通的变化可能是由于： 随时间变化的磁场穿过（交链）静止的线圈， 或线圈在均匀磁场中连续改变它的形状或位置， 或上述两种情况的综合， 因此， 式（4-1-2）是普遍适用的公式。,如果线圈是静止的， 则穿过线圈回路的磁通变化只可能是由于磁场随时间变化而引起， 此时式（4-1-2）可表示为,4-1-3,对上式应用斯托克斯定理， 可得,4-1-4,4.2 位 移 电 流,变化的磁场会产生电场， 那么变化的电场能否产生磁场呢？回答是肯定的。 麦克斯韦把恒定磁场中的安培定律用于时变场时出现了矛盾， 为此提出位移电流的假说， 对安培定律做了修正。 位移电流的假

4、说就是变化的电场产生磁场的结果。,设一个电容器与时变电源相连， 外加电源电压随时间上升或下降， 表征由电源送至每一极板上的电荷量q在变化。 电荷的变化形成随时间变化的电流， 该时变电流i(t)必然在此区域内建立时变磁场。 选择一个闭合路径C, 包围电容器外的开曲面S， 如图4-3所示， 由安培定律得,4-2-1,图4 - 3 电容器的位移电流,但若考虑同一路径C所包围的包含电容器极板的另一个开曲面S， 由于电容器内传导电流等于零， 故,4-2-2,显然， 式（4-2-1）与（4-2-2）相矛盾。 上述矛盾导致麦克斯韦断言， 电容器中必然有电流存在。 由于这种电流并非由传导产生， 他认为， 在电

5、容器的两极板间存在着另一种电流， 其量值与传导电流相等， 因为对于S和S构成的闭合面， 应用电流连续性方程， 有,再对上式应用高斯定理 ， 则有,4-2-3,即,麦克斯韦称式（4-2-3）为位移电流（DiSplacEmEnt CurrEnt）密度， 单位为A/m2。,一般来说， 空间同时存在传导电流和位移电流， 所以， 安培定律的修正形式为,4-2-4,式（4-2-4）称为全电流定律， 它表明时变场中的磁场是由传导电流和位移电流共同产生的， 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场。 其微分形式为,4-2-5,例4-1】 海水的电导率=4 S/m， 相对介电常数r=81， 求频率为1 M

6、Hz时， 位移电流与传导电流的比值。 设电场是正弦变化的， 且E=axE0 cost。,4.3 麦克斯韦方程及边界条件,4.3.1 麦克斯韦方程 麦克斯韦方程（MaxwEll EquationS)是经典电磁理论的核心， 它的积分形式包括以下四个方程,4-3-1,相应的微分形式为,4-3-2,习惯上把上述四个方程依次称为麦克斯韦第一、 二、 三、 四方程。 式（4-3-2）表明： 时变电场是有旋有散的， 因此电力线可以是闭合的， 也可以是不闭合的。 而时变磁场则无散有旋， 因此磁力线总是闭合的。 闭合的电力线和磁力线相交链， 不闭合的电力线从正电荷出发， 终止于负电荷。 而闭合的磁力线要么与电流

7、相交链， 要么与电力线相交链,在没有电荷也没有电流的无源区域中， 时变电场和时变磁场都是有旋无散的， 电力线和磁力线相互交链， 自行闭合， 即变化的电场产生变化的磁场， 变化的磁场也会激起变化的电场。 正是由于电场与磁场之间的相互激发、 相互转化， 形成了电磁波动， 使电磁能量以有限的速度向远处传播出去， 即电磁波,式（4-3-1）和式（4-3-2）称为麦克斯韦方程的非限定形式， 适用于任意媒质。 在线性、 均匀、 各向同性的媒质中， 由于D=E, B=H和J=E， 将其代入式（4-3-1）和式（4-3-2）得到仅用场量E和H表达的方程称为限定形式的麦克斯韦方程。,4.3.2 时变电磁场的边界

8、条件 在时变电磁场中， 实际问题所涉及的场域中往往会有几种不同的媒质。 两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程即边界条件， 可以用积分形式的麦克斯韦方程导出。 结果证明： 时变场的边界条件与静态场的完全相同。 具体的证明过程留给读者作为练习,假定媒质1和2的参数分别为1, 1, 1和2, 2, 2， 其中的场分量分别为E1, D1, H1, B1, J1和E2, D2, H2, B2, J2, 在它们的分界面上应满足的边界条件为 标量形式 矢量形式 E1t=E2t n(E1-E2)= 0 （4-3-3） H1t-H2t=JS n(H1-H2)=JS （4-3-4） B1n=B2n n(B1-

9、B2)=0 （4-3-5） D1n-D2n=S n(D1-D2)= S ( 4-3-6） J1n=J2n n(J1-J2)=0 （4-3-7,4-3-8,若媒质1为理想介质， 媒质2为理想导体， 即1=0， 2=， 则在理想导体中， E2必定为零， 否则J2将为无穷大。 此时由麦克斯韦第二方程可得理想导体中的时变磁场也必为零。 因此在理想导体表面的边界条件为 nE1= 0, nH1=JS, nD1=S, nB1=0 （4-3-9,例4-2】 在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的电磁波(见图4-4)， 已知其电场强度 ， 式中， kx为常数。 试求： （1） 磁场强度H； （2） 这

10、个电磁场满足的边界条件如何？并求两导体表面的电流密度JS,图4 - 4 两导体平板之间传播的电磁波,4.4 坡印廷定理与坡印廷矢量,在普通物理学中， 我们已经知道， 电场、 磁场都具有能量， 能量分布在整个场中， 且场中各处的能量密度一般是不同的。 电场强度E与其能量密度wE的关系为,4-4-1,同样， 磁场H与其能量密度wm的关系为,4-4-2,因此在体积为V的电磁场空间内的总能量为,4-4-3,设电磁场在一有耗的导电媒质中， 媒质的电导率为， 电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=E， 则传导电流在体积V内引起的功率损耗为,4-4-4,将麦克斯韦第一方程 代入上式， 并利用矢量恒等式 (

11、EH)=H(E)-E(H,和麦克斯韦第二方程E=- , 得,对上式应用散度定理得,4-4-5,式（4-4-5）即为适合任意媒质的坡印廷定理（PoyntingS ThEorEm）。 实质上， 坡印廷定理是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。 利用矢量函数求导公式,在线性、 均匀、 各向同性的媒质中， 有,于是， 坡印廷定理可以写成如下形式,4-4-6,式(4-4-6)中， 左边这一项表示体积V内电磁总能量随时间而减少的速率。 根据能量守恒定律， 体积V内能量的减少就意味着体积V内有能量的耗损与流失， 那么， 式中右边两项必定反映这两个方面。而右边第一项表示能量的耗损， 第二项是一个在封闭面上进行

12、的面积分， 显然， 这个积分表示单位时间内从体积V内穿出封闭面向外流失的能量。 定义被积函数 S=EH （4-4-7,S为坡印廷矢量(Poynting VEctor)， 其单位为W/m 2（瓦/平方米）， 它的方向表示该点功率流的方向。 坡印廷矢量的方向总是与考察点处的电场E和磁场H相垂直， 且E、 H、 S三者之间成右手螺旋关系； 它的数值表示单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。,4.5 时 谐 电 磁 场,4.5.1 时谐电磁场的相量表示法 在直角坐标系中， 任意时谐电场强度E可表示为 E(x, y, z, t) =axEx(x, y, z, t)+ayEy(x, y, z,

13、 t)+azEz(x, y, z, t) （4-5-1,式中， 电场强度各分量为 Ex(x, y, z, t)=Exm(x, y, z) coSt+x(x, y, z) Ey(x, y, z, t)=Eym(x, y, z) coSt+y(x, y, z) Ez(x, y, z, t)=Ezm(x, y, z) coSt+z(x, y, z) （4-5-2,其中， Exm, Eym, Ezm分别为各坐标分量的振幅， x, y, z则是各坐标分量的相位， 每一坐标分量都可以写成,将上式代入式（4-5-1）得,4-5-3,对于其他场分量， 也可以写成相量表示式,4-5-4,4.5.2 麦克斯韦方程

14、的相量形式 将各个场量的相量表示式代入式（4-3-2）， 并注意到 且去掉下标m， 即可得到,4-5-5,式（4-5-5）称为麦克斯韦方程的相量形式， 也称为频域表达式。 不难看出， 当用相量形式表示后， 麦克斯韦方程中的场量和场源都由四维变成了三维， 偏微分方程变成了代数方程， 使问题简化了。 以后为了方便， 表示复数的符号“”均省去。,例4-3】 将下列用相量形式表示的场矢量变换成瞬时值， 或作相反的变换。 （1） E=axE0ej （2） E=axjE0e-jkz （3） E=axE0 coS(t-kz)+ay2E0 Sin(t-kz,4.5.3 复坡印廷矢量及平均坡印廷矢量 对于时谐电

15、磁场， 其电场强度和磁场强度用相量表示为,其中， E *为E的共轭复相量， 将其代入坡印廷矢量的瞬时表达式， 有,在一个周期内求其平均值， 得,式中,4-5-6,S称为复坡印廷矢量， 它与时间无关， 代表复功率流密度。 注意式中的电场强度和磁场强度是复振幅而不是有效值。 复坡印廷矢量的实部为平均功率流密度， 也称为平均坡印廷矢量，记作Sav， 即,4-5-7,例4-4】 已知无源（V=0和J=0）的自由空间中， 时变电磁场的电场强度复矢量为 E(z)=ayE0e-jkz 式中， k、 E0均为常数。 求： （1） 磁场强度复矢量； （2） 坡印廷矢量的瞬时值； （3） 平均坡印廷矢量。,4.6

16、 平 面 电 磁 波,4.6.1 亥姆霍兹方程 设媒质的介电常数为、 磁导率为、 电导率为， 对于线性(LinEar)、 均匀(HomogEnEouS)和各向同性(ISotropic)媒质， 和都是标量常数。 除非特别说明， 一般我们均假定媒质是线性、 均匀和各向同性,在线性、 均匀和各向同性的无源媒质中， 麦克斯韦方程为,4-6-1,对上述方程（2）求旋度， 得,利用矢量恒等式E=(E)-2E和E=0， 并将式（4-6-1）的（1）代入得,类似的推导可得,4-6-2,4-6-3,式（4-6-2）和式（4-6-3）称为一般波动方程(GEnEral WavE Equation)。 这些方程支配着

17、无源均匀导电媒质中电磁场的行为。 在二阶微分方程中， 一阶项的存在, 表明电磁场在导电媒质中的传播是有衰减的（有能量损耗）。 因此导电媒质（Conducting MEdium）称为有耗媒质（LoSSy MEdium）。,当媒质为完全电介质(PErfEct DiElEctric)或无耗媒质(LoSSlESS MEdium)， 即媒质的导电率=0时， 上述波动方程变为,4-6-4,式（4-6-4）称为时变亥姆霍兹方程(HElmholtz Equation)， 它表明电磁场在无耗媒质中的传播是不衰减的,对于时谐电磁场， 将场量的相量形式代入式 （4-6-4）可得 2E+k 2E=0 2H+k 2E=

18、0 （4-6-5） 式中 k 2=2 （4-6-6） 式（4-6-5）称为亥姆霍兹方程， 也称为无源、 无耗媒质中时谐电磁场的波动方程。,4.6.2 无耗媒质中的均匀平面波 我们将波的传播方向称为纵向(Longitudinal DirEction)， 与传播方向垂直的平面称为横向平面 (TranSvErSE PlanE)。 若场量E和H的分量都在横向平面中， 则称这种波为平面波， 如图4-5所示,图4 - 5 平面电磁波,现在来讨论波动方程在均匀平面波情况下的解。 设均匀平面波沿z轴传播， 其电场沿x轴取向， 也就是沿y轴和z轴的电场分量为零。 因此， 有 E=axEx(z) （4-6-7）

19、于是， 式（4-6-5）的电场矢量波动方程简化为一个标量方程,4-6-8,4-6-9,这是一个齐次二阶常微分方程， 其通解为 Ex=Emfe-jkz+Embejkz （4-6-10） 在时域中能将其写为 Ex(z,t)=|Emf| cos(t-kz+mf)+|Emb| cos(t+kz+mb) （4-6-11,如果电介质区是无限延伸的， 则只有一个沿+z轴方向传播的均匀平面波。 此时， 电场矢量可一般地表示为 E=axE0e-jkz （4-6-12） 式中E0为一常数。 电场在时域中的表达式为 Ex(z, t)=|E0| cos(t-kz+0) （4-6-13,1. 电磁波的相位 式（4-6-

20、13）中的(t-kz+0)代表了场的波动状态， 称为电磁波的相位(PhaSE)。 它由三部分构成。 其中， t表示随时间变化部分； -kz表示随空间距离变化部分； 0表示场在z=0, t=0时的状态， 称为初相位,2. 行波与相速 平面波在空间某点z=z0处的Ex与t的关系曲线， 如图4-6所示。 由图可以看出， 均匀平面波在空间任意观察点处， 其场强是以角频率随时间按正弦规律变化的。当t增加一个周期T， T=2， 场强恢复其初始的大小和相位,图4 - 6 电场与时间的关系曲线,图4 - 7 电场与距离z的关系曲线,场强也随z变化。 图4-7给出的是不同时刻t1和t2(t2t1)的电场对距离z

21、的关系曲线。 由图可见， 在任一固定时刻， 场强随距离z同样按正弦规律变化， 且随着时间的推移， 函数的各点沿+z方向向前移动， 因此称之为行波(TravEling WavE)。 现把平面波的相位记为=(t-kz+0)， 令t=t0， 并作出与z的关系曲线如图4-8所示,图4 - 8 相位与距离的关系曲线,行波既然是一个行进的波， 那么， 必然可以找到一个物理量来表示其行进的速度。 我们定义平面波的等相位面移动的速度称为相速(PhaSE VElocity)， 所谓等相位面即满足下列关系的平面 t-kz+0=常数 将上式两边对时间t微分， 整理可得行波的相速为,4-6-14,相速还可以表示为,4

22、-6-15,4-6-16,式中,3. 波长与相位常数 由于平面波在任意给定的时刻（t=t0）， 其波形随距离z按正弦波变化， 如图4-9 所示。 因此， 任意给定时刻, 相位相差2的两平面间的距离称为波长(WavElEngth)， k=2，写作,4-6-17,图4 - 9 电磁波的波长,4. 波阻抗与功率流密度 由麦克斯韦第二方程得,将平面波的电场E=axE0e-jkz代入上式， 相应的磁场为,4-6-18,其中， az为平面波的传播方向， 而,4-6-19,由于E的单位是V/m， H的单位是A/m， 的单位是。 因此， 称为本征阻抗（或波阻抗）(IntrinSic or WavE ImpEd

23、ancE)。 在自由空间（或真空）中， 无耗媒质中， 任意点的平均功率流密度为,4-6-20,5. 沿任意方向传播的平面波表达式 由表达式（4-6-12）中kz为常数即z为常数可看出， 波的等相位面是垂直于z轴的 平面， 如图4-5所示。 该等相位面上任一点P(x, y, z)的矢径为r=axx+ayy+azz， 则 raz=(axx+ayy+azz)az=z。 可见， 等相位面也可用raz为常数表示。 因此， 沿+z轴传播的平面波可以表示为,4-6-21,在无源区域内， 由于,式中,所以有,若均匀平面波沿任意单位矢量a的方向传播， 则空间任一点r=axx+ayy+azz处的电场矢量可表示为

24、E=E0e-jkar （4-6-22） 相应的磁场矢量为,4-6-23,并且有 Ea=0, Ha=0,综合以上讨论， 可以归纳出无耗媒质中传播的均匀电磁波（如图4-10所示）具有以下特征： （1） 电磁波的电场E与磁场H都与传播方向垂直， 即沿传播方向的电场和磁场分量等于零， 因此称为横电磁波（TEM波）； E、 H与S三者互相垂直， 且成右手螺旋关系。,2） 电场与磁场的振幅之比为一常数， 故只要求得电场就可由式（4-6-23）求得磁场， 即电场和磁场不仅有相同的波形， 且在空间同一点具有同样的相位。 (3） 在无耗媒质中平面电磁波以光速无衰减地传播。,图4 - 10 无耗媒质中传播的均匀电

25、磁波及 电场E、 磁场H与S的关系,例4-5】 设自由空间中均匀平面波的电场强度为 E=ax60 cos(t-6z)， 求： （1） 传播速度； （2） 波长； （3） 波的频率； （4） 磁场强度； （5） 平均坡印廷矢量。,4.6.3 无限大导电媒质中的均匀平面电磁波 1. 复介电常数 在导电媒质中， 麦克斯韦第一方程的复数形式可写成如下形式,4-6-24,导电媒质的复介电常数 可表示为,式中， 幅角由下式给定,4-6-25,2. 无限大导电媒质中的均匀平面波 引入复介电常数 的概念， 使导电媒质中的麦克斯韦方程与无耗媒质（电介质）中的麦克斯韦方程形式上完全相同， 所不同的是前者为复介电常

26、数 ， 而后者是实介电常数。 因此， 只要将无耗媒质场的解答中的用 取代即可得导电媒质中场的表达式。 在无耗媒质的解中， 有两处出现， 一个是相位常数k， 另一个是波阻抗。 下面分别讨论之,将无耗媒质的相位常数k及波阻抗中的均以 来取代， 即得导电媒质中的复相位常数和复波阻抗， 即,4-6-26,4-6-27,将电介质中的电磁场表达式（4-6-12）及（4-6-18）中的k和分别代以 和 ， 得,4-6-28,4-6-29,4-6-30,由上述分析可见： （1） 导电媒质中的均匀平面波仍然是TEM波， 即E, H和S三者仍相互垂直并成右手螺旋关系(见图4 - 11)。 （2） 在导电媒质中的波

27、是一个衰减的行波， 简称衰减波(AttEnuatEd WavE)。 衰减是由传导电流引起的。 电场和磁场的振幅随距离按指数规律e-z衰减， 衰减的快慢取决于。 称为衰减常数(AttEnuation ConStant)， 它表示场强在单位距离上的衰减， 单位是Np/m（奈贝/米）。,3） =-j中的衰减常数表示在传播过程中衰减的快慢， 而表示在传播过程中相位的变化， 因此， 称为相位常数(PhaSE ConStant)，两者从不同的侧面反映场在传播过程中的变化， 所以， 我们称 为传播常数(Propagation ConStant)。 （4） 在导电媒质中传播的均匀平面波， 其电场与磁场不同相，

28、 彼此间存在一个固定的相位差0。,图4 - 11 导电媒质中的均匀平面波及E、 H及S的关系,例4-6】 某工作频率为1.8 GHz的均匀平面波在r=1.6、 r=25和=2.5 S/m的媒质中传播。 设该区域中电场强度为E=axe-z cos(t-z)， 求 （1） 传播常数； （2） 衰减常数； （3） 波阻抗； （4） 相速； （5） 平均坡印廷矢量。,4.6.4 导体中的均匀平面波、 趋肤效应 根据前面的定义， 的导电媒质是导体， 因此， 波在导体中传输可认为是波在导电媒质中传输的一个特例。 由于 ， 所以， 导体材料的复介电常数为,因而， 导体材料的传播常数为,4-6-31,1） 、

29、 都按 变化， 即不同频率的波的衰减和相移都不同， 因此， 带宽为f的信号在前进过程中其波形将一直变化， 当信号到达目的地时发生了畸变。 （2） 当电磁波在电导率很大的良导体(Good Conductor)中传播时， 衰减常数一般也很大,趋肤深度(Skin DEpth)是导体中的电磁波在其振幅降为导体表面处振幅的1/E时传播的距离， 记为c， 则当c=1 时波的振幅降为1/E， 因此,4-6-32,4.7 电磁波的极化,4.7.1 线极化波 设有一电磁波沿+z方向传播， 其电场E有两个正交的分量Ex和Ey， 它们的表达 式为 Ex=Emx cos(t-kz+x) Ey=Emy cos(t-kz

30、+y,4-7-1,如果这两个分量之间不存在相位差， 即x=y=， 则其合成场大小为,4-7-2,它与x轴所成的夹角（如图4-12）为,4-7-3,图4 - 12 线极化波,4.7.2 圆极化波 若沿+z轴传播电磁波的电场E是由两个相互正交、 幅度相等且相位相差90的分量组成， 即 Ex=Em cos(t-kz+x) Ey=Em cos(t-kz+x90) （4-7-4） 其合成场的大小为,4-7-5,式（4-7-5）表明， 其合成场的大小是个常数,它与x轴所成的夹角的正切为,4-7-6,图 4 - 13 圆极化波 (a) 右旋； (b) 左旋,4.7.3 椭圆极化波 若沿z轴传播的电磁波的电场

31、E的两个正交分量Ex和Ey的振幅和相位关系为一般情况时， 合成场E的矢端轨迹将为一个椭圆， 如图4-14所示， 这样的电磁波称为椭圆(Elliptically)极化波。 椭圆极化波与圆极化波一样也分为右旋椭圆极化波(Righthand Elliptically PolarizEd WavE)和左旋 (LEfthand) 椭圆极化波。,图4-14 椭圆极化波,当椭圆的长轴与短轴相等时即为圆极化波； 当短轴缩短到零时即为线极化波， 因此圆极化波与线极化波都是椭圆极化波的特例。 线极化、 圆极化和椭圆极化示意图如图4-15 所示。,图 4 - 15 线极化、 圆极化和椭圆极化旋转示意图,电磁波的极化

32、特性在工程中有重要的意义。 当我们考虑自由空间和大地之间的分界面时， 如果电场矢量平行于地面称为水平极化(Horizontal Polarization)， 如果电场垂直于大地平面， 则称为垂直极化(VErtical Polarization)。,一个平行于地面放置的线天线所产生的远区电场是平行于地面的水平极化波。 例如， 电视信号的发射通常采用水平极化方式， 因此， 电视接收天线应调整到与地面平行， 使其极化状态与所接收波的极化状态匹配， 以获得最佳接收效果， 电视公用天线的架设就应用了这个原理。 相反， 如果一个线天线与地面垂直， 其远区辐射电场就是与地面垂直的垂直极化波。 例如， 调幅电

33、台发射的远区电磁波的电场就是与地面垂直的垂直极化波， 因此， 听众要获得最佳收听效果， 就应将天线调整到与地面垂直。,很多情况下， 系统必须采用圆极化才能正常工作。 一个线极化可以分解为两个振幅相等、旋向相反的圆极化波， 所以， 不同取向的线极化波都可由圆极化天线收到， 因此， 在雷达、 导航、 制导、 通信和电子对抗中广泛采用圆极化波。,例4-7】 若某区域内的电场强度为 E=(3ax+j4ay)e-j0.5z 试确定波的极化。,图 4 - 16 左旋椭圆极化波,4.8 电磁波的色散与群速,设有两个振幅均为Am、 频率为+和-的电磁波， 沿+z方向传播， 在色散媒质中， 它们对应的相位常数是

34、+和-， 其表达式为 1=Am cos(+)t-(+)z 2=Am cos(-)t-(-)z 它们的合成波为 =1+2=2Am cos(t-z) cos(t-z,图 4 - 17 群速与相速,群速(Group VElocity)就是包络波上某一恒定相位点推进的速度， 由(t-z)= 常数， 得,所以， 群速与相速的关系为,即,4-8-1,显然， 有以下三种可能,1） , 即相速与频率无关时， 群速等于相速， 为无色散。 （2） , 即频率越高相速越小时， 群速小于相速， 为正常色散。 （3） , 即频率越高相速越大时， 群速大于相速， 为反常色散。,4.9 均匀平面电磁波对平面边界的垂直入射,

35、平面电磁波在均匀、 线性、 各向同性的无限大媒质中传输时， 只存在沿一个方向（前向）传输的行波。 而实际中遇到的情况往往是比较复杂的， 例如电磁波在传输过程中遇到不同媒质的分界面、 遇到各种障碍物等。 在这种情况下， 电磁波既要在边界面两侧的媒质中满足麦克斯韦方程， 又要满足分界面上的边界条件。,图 4 - 18 平面波垂直入射于平面边界,假设z=0为两种媒质的分界面， z0为媒质2， 如图4-18所示。 并假定入射波(IncidEnt WavE)沿+z方向传播， 即垂直入射到两种媒质的分界面上。 在分界面处有一部分波透过边界并继续沿+z方向在媒质2中传播， 这种波称为透射波(TranSmit

36、tEd WavE)。 另一部分在分界面处反射并沿-z方向传播， 这种波称为反射波(REflEctEd WavE)。 在媒质1中， 电磁场为入射波与反射波的叠加。 而在媒质2中， 只有沿+z方向传播的行波,设入射波的电场为x轴取向的线极化波， 在媒质1中的传播常数为 ， 则其电场表达式为,4-9-1,如果媒质1的波阻抗为 ， 则入射波的磁场强度为,4-9-2,反射波的电场与磁场分别为,4-9-3,4-9-4,4-9-5,4-9-6,媒质1中的合成电场、 磁场为,4-9-7,4-9-8,应用z=0的边界条件就能最后确定各媒质中的场。 现在， 我们来讨论两种特殊的情况,4.9.1 理想介质与理想导体

37、的分界面 当媒质1为理想介质， 媒质2为理想导体时（即1=0, 2=）， 由于理想导体中不可能有电磁场存在， 故Et=0, Ht=0。 而媒质1中的电磁场分别为,4-9-9,4-9-10,根据边界（z=0）上电场切向分量连续的条件， 得 Eim+Erm=0 即 Erm=-Eim （4-9-11,为了表示分界面处波的反射情况， 定义分界面处反射波电场与入射波电场的比值为反射系数(REflEction CoEfficiEnt)， 记为R； 而界面处透射波电场与入射波电场之比为透射系数(TranSmiSSion CoEfficiEnt)， 记为T。 显然， R=-1 T=0 （4-9-12） 上式表

38、明， 当电磁波垂直入射到理想导体表面时， 电磁波全部被反射， 简称全反射,此时， 媒质1中的合成场为,4-9-13,4-9-14,分析式（4-9-13）和（4-9-14）， 我们可以得到电磁波经理想导体全反射后空间电磁场分布的一些重要特征： （1） 由入射波和反射波合成的电场和磁场在空间仍然相互垂直。 （2） 合成场的振幅随距离z按正弦（余弦）规律变化。 （3） 电场和磁场在时间上有90的相位差， 即电场最大时磁场为零， 磁场最大时电场为零， 其平均坡印廷矢量等于零,图 4 19 电磁场驻波振幅分布,4.9.2 两种理想电介质分界面 两种媒质均为理想电介质， 即1=0, 2=0。 在媒质1中传

39、播常数为 ， 波阻抗为 ， 则电磁场的,4-9-15,4-9-16,设媒质2的传播常数为 ， 波阻抗为 ， 则媒质2中电磁场的表达 式为,4-9-17,4-9-18,在z=0的分界面上， 电场和磁场应满足的边界条件是切向电场和切向磁场连续， 即 Eim+Erm=Etm,4-9-19,将上式整理得,4-9-20,因此， 分界面处的反射系数和透射系数分别为,4-9-21,且反射系数与透射系数之间满足 1+R=T （4-9-22,媒质1中的总场为,4-9-23,4-9-24,由表达式（4-9-23）和（4-9-24）及表达式 （4-9-17）和（4-9-18）可以得到以下结论：,1） 媒质1中存在着

40、入射波和反射波这两个成分。 由于反射系数的大小始终小于1， 入射波的振幅总是大于反射波的振幅。 （2） 若21， R为正， 说明在分界面上反射波电场与入射波电场同相， 则在界面上必定出现电场波腹点； 反之， 若21， R为负， 说明在分界面上反射波电场与入射波电场反相， 则在界面上必定出现电场波节点,4.10 均匀平面电磁波对平面边界的斜入射,4.10.1 在介质理想导体分界面的斜入射 设媒质1为线性、 各向同性和均匀的理想电介质， 媒质2为理想导体。 现有一平面波沿ai方向传播， 与分界面的单位法线n的夹角为i， 称为入射角。 由于电磁波不能进入理想导体， 因此， 不管平面波是平行极化还是垂

41、直极化， 当它入射到理想导体表面时都将被全反射， 即反射系数的大小都等于1,由于电磁波不能进入理想导体， 因此， 不管平面波是平行极化还是垂直极化， 当它入射到理想导体表面时都将被全反射， 即反射系数的大小都等于1。 设反射波的传播方向为ar， 它与单位法线n的夹角r称为反射角， 如图4-20所示。,图 4 - 20 在介质理想导体分界面的斜入射 (a) 平行极化波； (b) 垂直极化波,1. 平行极化波 利用式（4-6-22）， 入射波(IncidEncE WavE)电场和反射波(REflEctEd WavE)电场可分别表示为,4-10-1,4-10-2,其中， ai=ax sini+az

42、cosi （4-10-3） ar=ax sinr -az cosr （4-10-4,媒质1中的总电场为,4-10-5,相应的磁场为,4-10-6,其中, 为媒质的波阻抗。 根据理想导体表面切向 电场为零的边界条件， 有,4-10-7,要使上式对所有的x成立， 只有,4-10-8,上式表明： 入射角等于反射角， 这是光学中众所周知的关系， 称为斯涅尔反射定律(SnEllS Law of REflEction)； 入射波的电场振幅等于反射波的电场振幅， 即反射系数 R=1。,将式（4-10-8）代入式（4-10-5）和（4-10CD*26）得理想介质中（z0的区域）任意点处的电场、 磁场分量为 E

43、x(x, z)=-j2E0 cossin(kz cos)e-jkxsin （4-10-9） Ez(x, z)=-2E0 sincos(kz cos)e-jkxsin （4-10-10） Hy(x, z)= 2E0 cos(kz cos)e-jkx sin （4-10-11,2. 垂直极化波 如图4-20(b)所示， 入射波电场垂直于入射面， 即入射波和反射波电场均只有Ey分量， 而磁场有Hx和Hz分量。 用类似于平行极化波的分析方法， 可得到z0 的媒质1中任意点的电场、 磁场分别为,4-10-13,4-10-14,由理想导体表面切向电场为零的边界条件， 即z=0处Ey=0， 得,4-10-1

44、5,可见， 入射波的电场振幅与反射波的电场振幅等幅反 相， 即反射系数R=-1,将式（4-10-15）代入式（4-10-13）和（4-10-14）得,4-10-16,4-10-17,4-10-18,4.10.2 在介质介质分界面的斜入射 设两种媒质均为理想介质， 且媒质1参数为1， 1, 媒质2参数为2, 2, 如图4-21所示。 不论是平行极化波还是垂直极化波， 当电磁波沿ai方向从媒质1入射到两种媒质的分界面时， 一部分被反射， 反射波沿ar方向传播， 另一部分透射(TranSmiSSion)到媒质2中， 透射波沿at方向传播， 透射线与反射面法线的夹角t称为透射角。,图 4 - 21 在

45、介质介质分界面的斜入射 (a) 平行极化波； (b) 垂直极化波,设媒质1中的传播常数 ， 波阻抗 ， 媒质1中的入射波与反射波的合成电场为,4-10-20,相应的磁场为,4-10-21,设媒质2的传播常数 ， 波阻抗 ， 则媒质2中的电场和磁场表达式分别为,4-10-22,4-10-23,在z=0 的分界面上， 电场的切向分量连续,4-10-24,要使上式对所有的x均成立， 必有 k1 sini=k1 sinr=k2 sint （4-10-25） 因此， 可以得到 i=r （4-10-26） 即入射角等于反射角。,由式（4-10-25）还可得到 k1 sini=k2 sint （4-10-2

46、7） 这就是斯涅尔折射定律(SnEll REfraction Law)。 由于这一原因， 透射波又称为折射波(REfractEd WavE)。,通常情况下， 一般介质的磁导率很接近自由空间的磁导率， 所以1=2=0， 此时有,4-10-28,其中， n1与n2 分别是媒质 1 和媒质 2 的折射率。 由式（4-10-24）得,4-10-29,根据在z=0 的分界面上， 磁场的切向分量连续的边界条件， 得,4-10-30,联立上述两式即得反射系数和透射系数的表达式分别为,4-10-31,4-10-32,类似的分析可得到图4-21（b)垂直极化波的反射系数和透射系数公式,且有,4-10-33,4-

47、10-34,4-10-35,且有 1+R=T （4-10-36,4.10.3 全反射和全透射 1. 全反射 由式（4-10-28）可以看出， 当12， 必然有ti， 且折射角t随着入射角i的增大而增大， 因此， 总存在一个入射角i， 使t=/2 。 此时， 折射波将沿着分界面表面传播。 若入射角i再增大， 媒质2中将没有折射波， 或者说入射波全部被反射了。我们将使t=/2 时的入射角称为临界角,4-10-37,2. 全透射 由式（4-10-31）， 对于平行极化波， 若i=B时有1 cosi-2 cost=0， 反射系数等于零， 即没有反射波存在， 或者说电磁波发生了全透射， 我们称B为布儒斯

48、特角(BrEwStEr AnglE)， 其表达式为,4-10-38,而对于垂直极化波， 反射系数不可能等于零。 所以， 当一任意极化的电磁波以布儒斯特角入射时， 反射波将只包含垂直极化分量。 这表明椭圆极化波或圆极化波经过反射后将成为线极化波。 因此， 布儒斯特角又称为极化角(Polarizing AnglE)。,习 题,4.1 设有一个断开的矩形线圈与一根长直导线位于同一平面内， 如图题 4.1 所示。 若（1） 长直导线中通过的电流为 i=Icost， 线圈不动； （2） 长直导线中通过的电流为不随时间变化的直流电流i=I， 线圈以角速度旋转； （3） 长直导线中通过的电流为 i=Icos

49、t， 线圈以角速度旋转。 在上述三种情况下， 分别求线圈中的感应电动势。,4.2 圆柱形电容器， 内导体半径和外导体内半径分别为a和b， 长度为l。 设外加电压为U0 sint， 试计算电容器极板间的总位移电流， 证明它等于引线中的传导电流。,图题 4.1,图题 4.3,4.3 设y=0 为两种磁介质的分界面， y0为媒质2， 其磁导率为2, 如图题4.3所示。 分界面上有以线电流密度JS=2ax A/m分布的面电流， 已知媒质1中的磁场强度为 H1=ax+2ay+3az A/m 求媒质2中的磁场强度H2。,图题 4.4,4.4 一平板电容器的极板为圆盘状， 其半径为a， 极板间距离为d（da

50、）， 如图题 4.4 所示。 （1） 假设极板上电荷均匀分布， 且 S=m cost， 忽略边缘效应， 求极板间的电场和磁场； （2） 证明这样的场不满足电磁场基本方程,4.5 计算下列媒质中的传导电流密度与位移电流密度在频率f1=1 kHz和f2=1 MHz时的比值。 （1） 铜： =5.810 7 S/m， r=0; （2） 蒸馏水： =210 -4 S/m， r=80; （3） 聚苯乙烯： =10 -16 S/m， r=2.53,4.6 已知在空气中， 电场强度矢量为 E=ay0.1 sin(10 x) cos(610 9 t-t) V/m 试求磁场强度H和相位常数。 4.7 自由空间中， 已知电场强度E的表达式为 E=ax4 cos(t-z)+ay3 cos(t-z) 求坡印廷矢量和平均坡印廷矢量,图题 4.8,4.8 在由x=0和x=a两个无限大理想导电壁构成的区域内存在一个如下的电场（如图题4.8所