6-2不等式的解法(1).讲义教师版

1、不等式的解法目tM怔 中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求式等17 不阎能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义.能根据具体问题 中的数量 关系列岀不等式 （组）.不等式 的性质理解不等式的基本性质.会利用不等式的性质比较两个实数的大小.解一兀一 次不等式（组）了解一元一次不等式（组） 的解的意义，会在数轴上 表示（确定）其解集.会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式 组成的不等式组，并会根据条件求整数解.能根据具体问题中的数量关系列岀 一元一次不等式解决简单问题.不等式的概念：不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：-5 ：-2,a 3 -1 4, x 1 _0,a21

2、0, x _ 0,3 a = 5a 等都是不等式.常见的不等号有5种：“才”、 Z”、 “N” “W”注意：不等式3成立；而不等式3 三3也成立，因为3 = 3成立，所以不等式3成立.不等式基本性质：基本性质1:不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变.如果a b，那么a二c二c如果a : b，那么3x - 2丄a（x -1）基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果a b，并且c0 ,那么ac bc（或a . b）c c如果a :：b，并且c0 ,那么ac :bc（或-）c c基本性质3:不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

3、.a b如果a b，并且c ： 0 ,那么ac : bc （或）c c如果a : b，并且c ： 0 ,那么ac bc（或ax b ）易错点：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.在计算的时候符号方向容易忘记改变.另外，不等式还具有互逆性和传递性.不等式的互逆性：如果 ab,那么ba;如果bb.不等式的传递性：如果 ab, bc,那么ac.注意：在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，要改变不等号的方向.在不等式两边不能乘以0,因为乘以0后不等式将变为等式，以不等式32为例，在不等式32两边都乘同一个数 a时，有下面三种情形： 如果a0,那么3a2a; 如果a=0时，那么3a=

4、2a; 如果a0时，那么3aabaxx ca4axx aaxx兰aax一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax：b或ax b的形式，其中x是未知数，a,b是已知数，并且a=O，这样的不等式叫一元一次不等式.ax : b或ax（a = 0）叫做一元一次不等式的标准形式.解一元一次不等式：去分母 t去括号t移项t合并同类项（化成ax ： b或ax b形式尸系数化一（化成x -或aX : b的形式)a一、一次不等式的解法【例1】 如图，数轴上表示的一个不等式组的解集，这个不等式组的整数解是-2 -1 0 1【考点】解一元一次不等式【难度】1星【题型】填空【关键词】【解

5、析】考查不等式求解和用数轴表示其解集注意取实心点的条件答案：-1, 0【答案】-1, 0【例2】解不等式2x 2x 1的下列过程中，错误的步疋(35A .5 2 x 3 2x-1B .10 5x 6x -3C.5x -6x -3 -10Dx 13【考点】解一元一次不等式【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】D【例3】下列说法中，正确的有 个.-2x ：:8的解集是x -4 :-4是2x ：: -8的解；x 8的整数解有无数个；不等式-1的23负整数解只有5个.【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】3【例4】 不等式3x +2的解集是 【考点

6、】解一元一次不等式【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】x ： -1【巩固】不等式1 - 2 x 2 -1的解集是（）A. xP -1 B. x 1 C. x 1 D. x ：:1【考点】解一元一次不等式【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】由于1 i.2 ：o ,根据不等式的性质，系数化为1时，不等号方向改变，故选 c。【答案】c【例5】 不等式2x 1 5的解集在数轴上表示正确的是（）-2024024DAC【考点】解一元一次不等式【难度】1星【解析】考查不等式求解和用数轴表示其解集注意取实心点的条件，不等式的解为x 2答案：D【答案】D【巩固】不等式 _x_5：0的解集在

7、数轴上表示正确的是 ()JL.10A5-5B0LjJfc-0C5-5D0【考点】解一元一次不等式【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】B【答案】B【例6】 解不等式：3(x2) ：6x-1【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略.【答案】x 73【例7】解不等式：x-3 (1-) -(2 -) -24 234【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【考点】解一元-次不等式【解析】略.【答案】98x _37【例8】解不等式：3 _2(x -1) 4x 23【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】略.x ：: -3【例9】

8、解不等式：2x 1 x-3.i32【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】略.x _ -5【巩固】解不等式：3x _4 -2【例10】解不等式：3 -7x ：:12 -5(x -1)【题型】解答【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x . -7【例11】解不等式：3x_45x_3 2 2【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x_-1【例12】解不等式：匚更832【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x 42【例13】解不等式：3(x-2)-4-4(x-2) 7337【考点

9、】解一元一次不等式【难度】3星【解析】本例若视（x_2）为一个整体，采取整体思维的方法，易求得：x 3 .【答案】x 31 1【例14】解不等式：2x_丄1：x -3-丄X _1X _1【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x ：:2且x=1【例15】解不等式：x 3（x 1） .1-x58 2【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略5【答案】x -3【例16】解不等式：1（x -2）乞x_25 5【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x -0【例17】解不等式：5x 7 . 9 _2x .

10、：. 3x23 一 6【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】98x -37【例18】求不等式x 3(x 1) 1 X-5的解集.8 2【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解.【答案】去分母，得8x 3 x 18 -4 x -5去括号，得 8x 3x 3 .8 -4x - 20 移项，得 8x 3x 4x 820 -3合并同类项，得15x 255系数化为1,得x 535x -3【例19】解不等式：x -2 丄，4-4x-27337【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】整体思

11、想 【解析】本例若视(x-2)为一个整体，采取整体思维的方法，可找到十分简捷的解法或者采取先去括号，再 分组结合，也可获得巧妙解法解法移项，得347 x_27 x_2合并同类项，得x_2 .1 x .3解法二：去括号，得 3x_6-_4x 8773377移项，得7, 小 6【答案】x 3【例20】31解不等式：12x1 - 1 -2x 2x【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】整体思想【解析】把2x -1视为一个整体，采取整体思维.解法312x 1 亠 i：2x 一1 一 2 2x 1 w 02x -1 w 0解法二：31-7 2x -1 1 -2x 亠2x -13-7 2

12、x-1 1 2x-12 2x -1 w 01【答案】x w丄21 1【巩固】解不等式：4x -2 - 3x 2x 5 x 5【考点】解一元一次不等式 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】1【解析】两边同时消去 ，得4x2 3x 2，得x 4 .但应注意到原不等式中x_5 = 0即x = 5，所x 5以，在解集x . 4中应去掉x =5，因此，原不等式的解集为x 4且x=5 .【答案】x 4且x =5 .3i【例 21】1 _ (2x _1)(1 _2x) 2x72【考点】解一元一次不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】整体思想【解析】原式可变形为：3(2x -1)(1-2x) (2x -1

13、)，把2x1 视为一个整体，采取整体思维，易得：x乞1 . 722【答案】xd21【例22】不等式x+3-x的负整数解是2【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】-5，-4，-3，-2，-1【例23】不等式止巴的正整数解为326【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】去分母得(y+1)-2(y-1) 0, yW3故正整数解为1，2，3.【答案】1，2，3.【巩固】求不等式 X 1 2x -1的非负整数解.2 3【考点】解一元一次不等式【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的

14、解.x 1 * 2x -1卩 一,233x1 2 2x -1 ,3x 亠3 4x- 2 ,-x -5 ,x w 5.所以满足这个不等式的非负整数解为x=0, 1 , 2, 3, 4, 5.【答案】x =0, 1, 2, 3, 4, 5.【例24】解不等式2(x 1)3x 4(x 1) 5【考点】解一元一次不等式【难度】3星【题型】解答 【关键词】整体思想【解析】采用整体思想，2(x 13(x 1) -2 4(x 1)，易得x：:-?.5【答案】x ：: -75【例25】当x为何值时，代数式写一1的值不小于亍的值?【考点】解一元一次不等式【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】解决此类问题

15、首先应理解不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解.依题意，得2_J _1 仝3 4 4 2x ：:；1 _12 3 3 5x8x _15x 9 12 _4_7x 1717x -7所以，当x 一17时，代数式-1的值不小于 竺艺 的值.73417【答案】x 7绝对值不等式【例26】解下列不等式：x ：a ；【考点】含绝对值的不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】当a 0时，不等式的解集为-a ： x ： a ;当a _0时，不等式无解集;【答案】当a 0时，不等式无解集;【巩固】x a ;【考点】含绝对值的不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】当a 0

16、时，不等式的解集为-a乞x乞a ;当a=0时，不等式的解集为当a a .【考点】含绝对值的不等式【难度】3星【题型】解答 【关键词】 【解析】略.【答案】当a 0时，不等式的解集为 x_a或x_-a ;当a0时，不等式的解集为全体实数.【例27】当x为何值时|3x 5| 3x 5 =0 ?【考点】含绝对值的不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原方程化为|3x 5 -|3x 5|。它表示3x 5的绝对值等于它的相反数。所以3x 5 0时，不等式可化为 x 3，即0 x ；，即 0 x -3原不等式的解集为 3 x :方法2:3,易发现它的解集为根据绝对值的几何意义，| x|w 3表示

17、x在数轴上对应点与原点的距离不大于； x 3【答案】 ； x 31 1【巩固】解下列不等式 丄|2x_1| ：|2x1|2 3【考点】含绝对值的不等式【难度】4星【题型】解答【关键词】2【解析】 将|2x -11作为一个整体，整理得|2x -1| 2 ,32根据绝对值的几何意义，表示2x -1在数轴对应点与原点距离大于2。32亠22x -1或 2x -1 -331 5解这两个不等式，得原不等式的解集为x ：-或x -。6 61 5【答案】x :-或x -66【例29】解下列不等式：3x-2 4 ;【考点】含绝对值的不等式【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论2 【解析】3x -2 4或3x

18、 -2 ： Y，即x 2或x ：32 【答案】x 2或x ：上3【巩固】5-2x2 ;【考点】含绝对值的不等式【难度】3星 【题型】解答【关键词】分类讨论3 7【解析】-2岂5 _2x岂2，解得-;22【答案】-2 2【巩固】|x5 2x 3 ：1【考点】含绝对值的不等式【难度】4星【题型】分类讨论【关键词】【解析】当x ：: -3，原式化为5 -X 2x 3 1，解得x ：: -7，即x ：: -7 ；2当一3兰x 5，原式化为5 x -2x 3 1，解得x1，即1 cx 0时原不等式变为1 -x20 ._仁：x ：:：1故此时0 x ：:：12x ：0时，原不等式变为 1 x 0因此X不等

19、于_1 综上所述，该不等式的解集为 x ：；1且x不等于-1【答案】x ：1且x不等于-1【例31】解关于x的不等式|X2| |x _3|_m【考点】含绝对值的不等式【难度】4星 【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】几何绝对值几何意义解答，当m1时，解为任意实数;当m -1时，零点分段求解可得 x或x乞5 m2 2【答案】x_m 5或x乞_m2 2【巩固】已知不等式 (m_1)x .(m_1)(m-2)的解是不等式 x，3_x_3 3的解集的一部分，试求 m的取值 范围.【考点】含绝对值的不等式【难度】5星【题型】解答【关键词】分类讨论【解析】利用几何意义求| x 3 - x-3 A3的解集

20、为X：-寸或x 3对于(m 1)x (m 1)(m 2)当m-10时，xm-2，要使其为x，3-x-3 3的解集的一部分，则m-2_3 , m_7 ；2 2当m-1：0时，x：m-2，要使其为x，3-x-3卜3的解集的一部分，则 m-2_-； , m_f ;综上所述，m 7或m ：丄_2_2【答案】71m或m _2_2【例 32】已知 x _a 0的解集在数轴上表示正确的是（）-2 0A【考点】解一元一次不等式【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】C【答案】C3. 解不等式：x-3 3X_5 .4【考点】解一元一次不等式【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】x 72x +110x +154. 解不等式 比一25