微分中值定理及应用

1、一元微积分学,大 学 数 学（一,第十九讲 微分中值定理,脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等

2、）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限,第五节 微分中值定理,第四章 一元函数的导数与微分,一. 费马定理,二. 罗尔中值定理,三. 拉格朗日中值定理,四. 柯西中值定理,函数导数的定义为,导数与差商,我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家,首先, 从直观上来看看,函数的差商与函数的导数间的基本关系式,是怎么一回事,导数与差商,相等,将割线作平行移动, 那么它至少有一次会

3、,达到这样的位置,在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成,为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合,该命题就是微分中值定理,极值的定义,一. 费马定理,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零,定理,费马定理的几何解释,如何证明,则有,于是,极小值类似可证,证,但是,不保证在内部,水平的,可保证在内部一点取到极值,二. 罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,实际上, 切线与弦线 AB 平行,最小值至少各一次,证,最小值至少各一次,由费马定理可知,证,其中,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,证,由罗尔定理, 至少存在一点,分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键,且满足罗

4、尔定理其它条件,证,想想, 看能不能找到证明的方法,证,则由已知条件可知,该矛盾说明命题为真,证,证,引理 1,达布中值定理,达布中值定理,费马定理的一种推广,证明引理1,证明达布中值定理,请自己完成,如何描述,这一现象,三. 拉格朗日中值定理,设,则至少存在一点,定理,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明,则由已知条件可得,故由罗尔定理, 至少存在一点,证,还有什么,推论 1,推论 2,C 为常数,推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 4,用来判断函数的单调性,推论 5,则,再由推论 4 , 即得命题成立,该推论可以用来证明不等式,证,解,故,从而,证,证,证,延拓,证,从而,解,解,又,故,从而,即,证,则,又,且,故,即,证,在拉格朗日 中值定理中, 将 曲线用参数方程 表示 , 会出现什 么结论,使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的,斜率相等,注意,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定,四. 柯西中值定理,设,则至少存在一点,有人想：分子分母分别