2018年广东省中山一中高三级第五次统测试卷理科数学试题（解析版）

1、2018届广东省中山一中高三级第五次统测试卷理科数学试题（解析版）1. P=yy=x2，Q=xx2+y2=2，则PQ=（ ）A. 0,2 B. (1,1),(1,1) C. 0,2 D. 2,2【答案】A【解析】因为P=y|y=x2 =y|y0，Q=x|x2+y2=2 =x|2x2，所以PQ=0,2，故选A.2. 设复数z满足1+z1z=i，则|z|= （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以|z|=1，故选A.考点：复数的运算与复数的模.3. 执行下边的框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】

2、D【解析】执行程序框图，x=t=2，则第一次循环，12成立，则，第二次循环，22成立，则M=222=2,S=2+5=7,k=3，此时32不成立，输出S=7，故选D.4. 小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动,最后在下面某个出口落出,则投放一个小球,从“出口3”落出的概率为 ( ) A.15 B.14 C.38 D.316【答案】C【解析】 我们把从A到3的路线图单独画出来，从A到3需两横两竖四段路径，从四段路径中选出两段，共有C42=6种走法，每一种走法的概率都是12,珠子从出口出来是C42124=38，故选C.5. 已知0a1；log2a+log2b2；log2(ba)1.A. B. C

3、. D. 【答案】B【解析】0ab，且a+b=1,当a=13,b=23时，故 错误； 0a2ab，即ab14，log2a+log2blog214=2，故 错误；0ab，且a+b=1,0ba1 ，log2balog21=0，故 正确；0a2baab=2， log2ba+ablog22=1，故 正确，故选B. 6. 设函数f(x)=(x31)2，下列结论中正确的是( )A. x=1是函数f(x)的极小值点，是极大值点B. x=1及x=0均是f(x)的极大值点C. x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值D. 函数无极值【答案】C【解析】;x2+x+1=(x+12)2+340令f(x)=

4、0得;x1=0,x2=1；即f(0)=0,f(1)=0.x0时，f(x)0; 0x1时，f(x)1时，f(x)0.故x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值。选C7. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ ）A. 85 B. 49 C. 56 D. 28【答案】B8. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀

5、增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形故选A考点：函数图像的特征9. 如图，正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. 59 C. 1027 D. 13【答案】C【解析】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积V1=54，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积V2=16+18=34，所以削掉部分的体积与原体积之比为543454=1027，故选C.10. 点D为

6、ABC内一点，且DA+4DB+7DC=0，则=( )A. 47 B. 13 C. 712 D. 112【答案】D【解析】分别延长DB,DC至B1,C1 ，使得DB1=3DB,DC1=7DC ，则DA+DB1+DC1=0 ，则SDAB1=SDAC1=SDB1C1=s ，SDAB=14s,SDAC=17s,SDBC=128s,SABC=14s+17s+128s=1228s ，SBCDSABC= 128s1228s=112 ，故选D.11. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A. 2 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】设两

7、圆的圆心分别为O1,O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而，O1O2=3，故选B.【方法点晴】本题主要考查球的性质及球的截面的性质，属于难题. 球截面问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查空间线面的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质R2=r2+OO12.12. 设S是实数集R的非空子集，如果a,bS,有a+bS,abS，则称S是一个“和谐集”下面命题为假命题的是（ ）A. 存在有限集S，S是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合xx=ka

8、,kZ都是“和谐集”C. 若S1S2，且S1,S2均是“和谐集”，则S1S2D. 对任意两个“和谐集”S1,S2，若S1R,S2R，则S1S2=R【答案】D【解析】S=0是有限急且也是“和谐集”，A正确；根据“和谐集”的定义可知，任意“和谐集”都包含元素0，所以0S1S2，即S1S2，C正确；，则S1,S2都是“和谐集”，但5S1S2，所以S1S2R，D不正确，故选D13. 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”

9、,则甲的卡片上的数字是_.【答案】1和3；【解析】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是和3. 14. 若(1x)2009=a0+a1x+a2009x2009(xR),则a12+a222+a200922009的值为_【答案】-1；【解析】试题分析：令等式中得；再令,则,所以,故应填.考点

10、：二项式定理与赋值法的综合运用15. 已知椭圆方程C为x216+y28=1，F1、F2为椭圆上的两个焦点，点P在C上且F1PF2=3。则三角形F1PF2的面积为_【答案】833；【解析】由x216+y28=1可得，a2=16,b2=8,c2=a2b2=8，设PF1=t1,PF2=t2，由椭圆的定义可得t1+t2=8， ，由余弦定理得t12+t222t1t2cos60=32， 由 平方-可得t1t2=323，故答案为833.16. 设Sn是数列an的前n项和，且a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn=_【答案】1n【解析】an+1=SnSn+1,an+1=Sn+1Sn=SnSn+1，Sn+1S

11、nSn+1Sn=1Sn1Sn+1=1，即1Sn+11Sn=1，又a1=1，即1S1=1a1=1,数列1Sn是以首项和公差均为1的等差数列，1Sn=11n1=n,Sn=1n，故答案为1n.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前n项和之间的关系以及公式an=SnSn1(n2)的应用，属于难题.已知Sn求an的一般步骤：（1）当n=1时，由a1=S1求a1的值；（2）当n2时，由an=SnSn1，求得an的表达式；（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示an；（4）写出an的完整表达式；（5）如果已知条件中，同时出现an,Sn,Sn1，也可以逆用公式an=SnSn1(n2)，先求

12、出Sn 再求an .17. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）求cosA+sinC的取值范围【答案】（）B=6；（）32，32【解析】试题分析：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，由ABC为锐角三角形得B=6；（2）由（1）知，利用诱导公式与辅助角公式变形化简得，由ABC为锐角三角形知23A+36，因此cosA+sinC的取值范围为(32，32)试题解析：（1）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以sinB=12，由ABC为锐角三角形得B=6（2）co

13、sA+sinC=cosA+sin(6A) =cosA+sin(6+A)=cosA+12cosA+32sinA =3sin(A+3)由ABC为锐角三角形知，23A+36，所以12sin(A+3)32由此有323sin(A+3)323，所以，cosA+sinC的取值范围为(32，32)考点：解三角形与三角恒等变换18. 中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布N(,2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间课室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检

14、查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.【答案】：（1）18个月；（2）113625（写成0.1808也可以）.【解析】试题分析：（1）根据题意N,2,显然P12=P24，结合正态分布密度函数的对称性可知，=12+242，从而得出每支这种灯管的平均使用寿命；（2）先算出每支灯管使用12个月时已经损坏的概率，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则B4,0.2，独立重复使用概率公式概以及对事件的概率公式可得出至少两支灯管需要更换的概率.试题解析：（1）N(,2)，P(12)=0.8，P(24)=0.2，P(12)=0.2，显然P(24) 由正态分布密度函

15、数的对称性可知，=12+242=18， 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； （2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2， 假设使用12个月时该室需更换的灯管数量为支，则N(4,0.2) 故至少两支灯管需要更换的概率P=1-P(=0)-P(=1)（写成0.1808也可以）.19. 在数列an中，a1=1,an+1=(1+1n)an+n+12n. （I）设bn=ann，求数列bn的通项公式； （II）求数列an的前n项和Sn.【答案】（I）bn=212n1(nN*) ；（II）Sn=n(n+1) +n+22n14【解析】试题分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列

16、的通项公式:()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得=考点：数列的通项公式和求和的运用点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位相减法求和。20. 如图，四棱锥SABCD中， AB/CD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.()证明：SD平面SAB；()求AB与平面SBC所成角的正弦.【答案】()证明见解析； () 217【解析】试题分析：（）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即SDSA,SDSE，从而问题可得解；（）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据

17、图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.试题解析：（）取AB的中点E，连接DE,SE，则四边形BCDE为矩形，所以DE=CB=2，所以AD=DE2+AE2=5，因为侧面SAB为等边三角形， AB=2 ，所以SA=SB=AB=2，且SE=3，又因为SD=1，所以SA2+SD2=AD2,SE2+SD2=ED2，所以SDSA,SDSE.又SASE=S，所以SD平面SAB.（）过点S作SGDE于点G，因为ABSE,ABDE,SEDE=E，所以AB平

18、面SDE.又AB平面ABCD，由平面与平面垂直的性质，知SG平面ABCD，在RtDSE中，由SDSE=DESG，得13=2SG，所以SG=32.过点A作AH平面SBC于H，连接BH，则ABH即为AB与平面SBC所成的角，因为CD/AB,AB平面SDE，所以CD平面SDE，又SD平面SDE，所以CDSD.在RtCDS中，由CD=SD=1，求得SC=2.在SBC中，SB=BC=2,SC=2，所以SSBC=12222-(22)2=72，由VA-SBC=VS-ABC，得13SSBCAH=13SABCSG，即1372AH=13122232，解得AH=2217，所以sinABH=AHAB=217，故AB与

19、平面SBC所成角的正弦值为217.21. 如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设ADx（x1），EDy，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.【答案】（1）yx2+4x22（1x2）；（2）证明见解析【解析】试题分析：（）先根据三角形面积求出AE：32=12xAEsin60，即AE=2x，再根据余弦定理y2=x2+AE22xAEcos60得y=x2+4x22，最后根据边长限制条件确定定

20、义域：AE=2x(0,2,x(0,2x1,2（）由基本不等式可得当且仅当x2=4x2取最小值，由对勾函数值，当且仅当x=1或2取最大值.试题解析：（1）在ADE中，y2=x2+AE22xAEcos60y2=x2+AE2xAE又SADE=12 SABC=3232=12xAEsin60xAE=2代入得y2=x2+(2x)22(y0)，y=x2+4x22(1x2)（2）如果DE是水管y=x2+4x22222=2，当且仅当x2=4x2，即x=2时“=”成立，故DE/BC，且DE=2.如果DE是参观线路，记f(x)=x2+4x2，可知函数在1,2上递减，在2,2上递增，故f(x)max=f(1)=f(2

21、)=5，ymax=52=3.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.考点：函数实际应用，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.22. 设函数fx=x2+alnx+1.()求函数f(x)的单调区间；()若函数F(x)=f(x)+ln2有两个极值点x1,x2且x114【答案】当a0时，函数f(x)在(1,1+12a2)递减，在(1+12a2,+)递增；当0a12时，函数f(x)在(1,112a2),(1+12a2,+)单调递增，在(112a2,1+12a2)单调递减 ()证明见解析【解析】试题分析：（1）由函数fx的定义域为1,+，fx=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1，令gx=2x2+2x+a，则=48a，由根的判断式进行分类讨论，能求出函数fx的单调区间；（2）由Fx=fx，知函数Fx有两个极值点时，0a12,012a14.试题解析：()定义域为(-1,+)