数学212《空间中直线与直线之间的位置关系》课件（新人教版必修2

1、空间中直线与直线的位置关系,判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线,思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系,2、十字路口的两条路所在的直线,3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线,空间的两直线呢,1.空间中两条直线的位置关系,观察,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗,观察正方体的棱所在 直线,回答类似的问题,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢,l,m,P,m,l,图1,图2,l,l,l,l,空间中两直线的位置关系,从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中

2、直线之间的这种关系称为异面直线,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线,不同在任何一个平面内,1、异面直线,判断,直线m和l是异面直线吗,2) ,则 与 是异面直线,3)a,b不同在平面 内,则a与b异面,异面直线的画法,通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点,这样表示a、b异面正确吗,想一想,做一做,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗,a,b,c是三条直线,若a,b是异面直线, b,c是异面直线,判断a,c的位置关系,并画图说明,想一想,做一做,2. 下图是一个正方体的展开图，如

3、果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对,想一想,做一做,三对,AB与CD AB与GH EF与GH,3,异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,例1.已知空间四边形ABCD，E、F分别为BC、DA的中点. 求证：AE和CF是异面直线,A,B,C,D,E,F,证明,所以AE和CF是异面直线,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2.空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么

4、这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形,分析,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BD FG

5、 BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形,变式一： 在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形,E,H,F,G,分析： 在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等,菱形,变式二,空间四面体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， 求证:四边形ABCD为梯形,A,B,C,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等,一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（,平

6、行、相交 、异面、可能平行、可能相交、可能异面,两条异面直线指的是（,没有公共点的两条直线,分别位于两个不同平面的两条直线,某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线,不同在任何一个平面内的两条直线,练习,3、下列命题中，其中正确的是,若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行,若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行,若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行,若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行,3.等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢,观察思考：如

7、图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,3.等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等,两直线的夹角,两直线相交所成的4个角中,其中不大于 的角叫做两直线的夹角,三、两条异面直线所成的角,如图所示，a，b是两条异面直线,在空间中任选一点O,过O点分别作 a，b的平行线 a和 b,a,b,则这两条线所成,的锐角（或直角,称为异面直线a，b所成的角,任选,若

8、两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围,平移,异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab,例 1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角： 1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； 3) A1B与D1B1,1）AB与CC1所成的角,9 0,2）A1 B1与AC所成的角,4 5,3）A1B与D1B1所成的角,6 0,求异面直线所成角的一般步骤: (1)平移作角作 (2)补形说角证 (3)计算求角求,例2.正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角形)中,M,N分别是BC和AD

9、的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值,A,B,C,D,M,N,H,解:连结DM，取DM中点H,连结NH、CH，则有NHAM,所以CHN为AM和CN所成的角,令BC=a,或其补角,例3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=7,求异面直线AC和BD所成的角,A,B,C,D,M,N,P,NPM=1200,即异面直线AC和BD所成的角是600,解:取AD中点P，连结MP、NP,MPBD、NPAC,MP=3、NP=5,NPM就是AC和BD所成的角 (或其补角,为什么,例4.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B,如图，连B1D1与A1C1 交于O1,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角,O1,M,解,为什么,平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角,补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系,例5.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值,定角一般方法有,1）平移法（常用方法,小结,3.求异面直线所成的角是把空