函数平均变化率ppt课件

1、函数的变化率,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如图，是一座山的剖面示意图: A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示 ； 问题：当自变量x表示登山者的水平位置， 函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示,登山问题,x,选取平直山路AB放大研究 : 若,自变量的改变量,函数值的改变量,直线AB的斜率,D1,X3,O,y,x,x0,x1,y0,y1,A(x0,y0,B(x1,y1,O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2,D1(x3,y3,直线AB的斜率,直线CD1的斜率,x,y0,x0,

2、x1,y1,B(x1,y1,y2,C(x2,y2,y3,D(x3,y3,y4,E(x4,y4,显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。（举例,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）（微分思想,函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均变化率的概念,思考：比值 表示的意义是什么？（举例：如地产量,它表示每一个单位上的函数值的平均增量,平均变化率,曲线陡峭程度,

3、数,形,变量变化的快慢,建构数学,华罗庚,数缺形少直观,形缺数难入微,函数的平均变化率,已知函数 在点 及其附近有定义， 令 , 则当 时,比值 叫做函数 在 到 之间的平均变化率,思考:函数平均变化率的几何意义,O,A,B,x,y,Y=f(x,x0,X0+x,f(x0,f(X0+x,x,直线AB的斜率,函数平均变化率,函数值的改变量与自变量的改变量之比,观察函数f(x)的图象,过曲线 上的点 割线的斜率,思考：（1） x 、 y的符号是怎样的？ （2）该变量应如何对应？ 理解： 2、 对应性： 若,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就

4、感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了,阅读材料,例1.求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,分析:当 取定值, 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样,2 ) 求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,图1,图2,课堂练习： 甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间

5、的关系分别如图（1）（2）所示， （1）甲乙二人哪一个跑得快？ （2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快,知识运用,再做两个题吧,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 、 3 B、 3x-(x)2 C 、 3-(x)2 D 、3-x,D,y=kx+b在区间 上的平均变化率有什么特点,2.求下列函数的在区间 平均变化率： （1）y=1（2）y=2x+1 （3）y=-2x,例3：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,瞬时速度,导数的概念,也可记

6、作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导,设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数记为,即,例: 高台跳水运动中， 秒 时运动员相 对于水面的高度是 （单位： ），求运动员在 时的瞬时 速度，并解释此时的运动状态;在 呢,同理,运动员在时的瞬时速度为,上升,下落,这说明运动员在附近，正以大约

7、 的速率,割线PQ的的变化情况,在,的过程中,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗,P,Q,M,求已知曲线的切线,作业,课本82.B2 报纸A14,一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度. 二是:求已知曲线的切线,3.1.1 导数的几何意义,一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度. 二是:求已知曲线的切线,课堂小结,函数的平均变化率,函数的瞬时变化率,3.1.1 导数的几何意义,的切线方程为,即,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质,根据导数的几何意

8、义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替,大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象,1.在函数 的 图像上，(1)用图形来体现导数 ， 的几何意义,2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢,2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢,增（减,增（减）快慢,切线的斜率,附近,瞬时,变化率,正或负,即：瞬时变化率（导数,数形结合，以直代曲,画切线,即：导数,的绝多值的大小,切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度 （陡峭程

9、度,以简单对象刻画复杂的对象,2) 曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线 ，函数在 附近单调,如图，切线 的倾斜程度大于切线的 倾斜程度,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：mg/ml）随时间t（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1,血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示,曲线

10、在该点处的切线的斜率,函数f(t)在此时刻的导数,数形结合，以直代曲,以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括,是确定的数,是的函数,导函数的概念,小结： .函数 在 处的导数 的几何意义，就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率（数形结合,切线 AD的斜率,3.导函数(简称导数,2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学 思想方法,以简单对象刻画复杂的对象,课堂小结,今天这节课，你学到了 哪些知识,小结,1.函数的平均变化率定义 2.函数的平均变化率的几何意义,3.函数的平均变化率的求法,是曲线上两点对应割线的斜率,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅