高中数学第一章《导数及其应用》素材(3)新人教A版选修2-2

1、高考导数问题的命题研究与备考策略1. 考查形式与特点(1). 高考对函数概念的考查主要有: 求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一特别是函数在

2、经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函数(5).近几年为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力 ( 代数推理题是高考的热点题型) 及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力( 甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力) 的综合程度这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问

3、题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝 i 试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度这类试题每年至少会有一个(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问

4、题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一 . 函数 y=f(x) 在 x=xo 处的导数，表示曲线在点 p(x 0,f(x 0) 处的切线斜率运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的2. 命题趋势由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准(1) 对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现(2) 函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大(3) 通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之

5、一(4) 新课程新增内容中与函数有关的内容函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大 .典例剖析例 1. 已知函数 f(x)=|x 2- 2ax+b|(x r)给出下列命题：f(x) 必是偶函数； f(0)=f(2) 时 ,f(x) 的图象必关于直线 x=1 对称；- 1 -若 a2- b0， f(x)在区 0 ，+ 上是增函数； f(x) 有最大 |a 2-b| 其中正确的命 的序号是 _解析： 然是 的；由 f(o)=f(2)有 |b|=|4-4a+b|,而 f(x+1)=|(x+1) 2-2a(x+1)+b|=|x 2+(2-2a)x-2a+b+l|,f(1-x)=|(1-x

6、)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|，f (x+1) f(l-x) 故 f(x)不是关于x=1 称，所以不 22当 a2- b0 ， b-a 20，所以 f(x)=(x-a)2+b-a 2，故当 xa f(x) 增的故正确当 a2-b0 时 ,f(a)=|b-a2|=a 2-b其 象如 ，所以 答案剖析： 函数的性 是高考 考 的 点之一，本 涉及了函数的 性、奇偶性、 称性以及最 ， 合性 于多 填空 ，由于各 相互独立，解答 逐一 判断例 2.已知二次函数 y=f(x)/(x)=2x-5* 点 (0 ，10) ， 函数 f，当 x(n ， n+1 (x n)

7、， f(x)是整数的个数 a n(1) 求数列 a n 的通 公式；(2) 令 bn=4，求数列 a n+bn 的前 n 和 sn(n 3).an an 1解析 : (1)由 f/ (x)=2x-5可以 此二次函数 f(x)=x 2-5x+c(c 常数 ) 因 f(x) 象 (0 ， 10) ，故 c=10，故二次函数 f(x)=x2-5x+10=(x-5) 2+15 ，又因* 整数的个数 a24x(n ，n+1)(n n ) ， f(x)nf(x)在 (1 ，2) 上的 域 4 ， 6 ， al =2.f(x)15， 4 ， a =1在 (2 ，3) 上的 域 42当 n3 ， f(x)在

8、(n ， n+1) 上 增，其 城 (f(n) ，f(n+1)an=f(n+1)-f(n)=2n-42(n1) an= 1( n2)2n4(n3)(2) 令 cn=an+bn， c1=a1+b1=4， c2=a2+b2=3,当 n3 sn=c1+c2+(c 3+c n)=7+(a 3+an)+(b 3+bn)=7+ 2(2n4) (n-2)+4+4+ +42)2244 6(2n 4)( 2n=7+(n-1)(n-2)+2(11)=n 2 -3n+ 10n11 .22n2n1- 2 -剖析 :本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用.3. 应试对策(1).由于函数内容固有的重要性，预计在以后高

9、考试题中所占比例仍远远大于在课时和知识点中的比例( 约为 20) ，既可以“低档题”选择、填空形式出现( 如集合、映射、函数基本性质以及反函数多属此类) 。也可以“中档题” 、“高档题”的形式出现( 多与其他问题联系在一起 ) (2).考试的热点内容仍以考查函数的定义域、值域、反函数及图象，运用函数性质的题型为主，其中对运用函数奇偶性、单调性、周期性、对称性的题型是重点考查内容，应予以高度重视关于函数性质的考题中，使用具体函数的约占1 ，而使用抽象函数的约占 2 ，所33以，针对这种高考命题形势，在复习函数性质时，应着重强化将具体函数的有关内容进行延伸，以适应高考命题的要求(3).应充分注意函

10、数的图象题型，这类考题往往在选择题中出现会处理“读图题型”和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解题(4).在注意函数应用性问题、探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时，更要注意函数与导数的交叉题型.(5).导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题与时俱进，逐步加深有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意考查的方向还是利用导数求函数的极大 ( 小 ) 值，求函数在连续区间

11、 a ， b 上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.高考中导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值1217 分下面例析导数的六大热点问题，供参考一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数

12、、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题例 1 已知 a0, n 为正整数 . 设 y (xa)n ,证明 y n( x a) n 1 n证明 ：因为 ( xa) ncnk ( a) n kxk ，k 0- 3 -nk ( a)n k x k 1nn cnk11 ( a)n k xk 1n( x a) n 1 所以 yk 0k0例 2 已知 y ( x 1)2，用定义法求 y 求 y 2x2 3x 4 32 的导数xx2 已知函数 f( x) ax21，且f(1)2a 的值 ，求分析： 对于运用导数的定义，即y limy ，即可解决；对于可应用( u v) vx0x u 以及 ( x )x

13、 1 解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用y xy u u x 及方程思想即可解决解析： y limy lim( xx1)2(x1)2lim(2 x 2x) 2x 2x 0xx0xx 0 由法则，即得y 4x 3 34x2x31 (211 f ( x) 1)2 ?2 ，即f(1) (1)2 2，解得a 22axaxa a二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： 曲线 y f ( x) 在点 p( x0， f ( x0) 处的斜率 k，倾斜角为，则 tan k f ( x0 ) 其切线

14、 l 的方程为： y y0 f ( x0 ) ( x x0) 若曲线 y f ( x) 在点 p( x0， f ( x0) 的切线平行于 y 轴 ( 即导数不存在 ) 时，由切线定义知，切线方程为x x0例 3 已知 a0 ，函数f (x)1ax , x (0, ) 设 0 x1 2 ，记曲线 y f ( x) 在xa点 m ( x1, f ( x1 ) 处的切线为 l 求 l 的方程； 设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) 证明： 0 x21；1a1若 x1，则 x1 x2aa- 4 - 解： 求 f ( x) 的导数： f ( x)1，由此得切线 l 的方程：x 2y (1 ax1

15、)12 ( x x1 ) x1x 证明 ：依题意，切线方程中令y 0，x2x1 (1ax1 )x1x1 (2 ax1 )，其中 0x12.a 由 0x12 , x2x1 (2 ax1 ), 有x20,及x2a( x1 1 ) 211a1 时， x21aa0x2,当且仅当 x1.aaa 当 x11 时， ax11，因此， x2x1 (2 ax1 )x1，且由， x21a1a所以 x1x2a例 4 设 a0， f (x)ax2bxc ，曲线 yf ( x) 在 p( x0 , f ( x0 ) 处切线的倾斜角的取值范围是 0, ，则 p 到曲线 yf ( x) 对称轴距离的取值范围是（ a） 0,

16、 1 4（ b） 0, 1 b |（d） 0,| b1 |（ c） 0,|a2a2a2a解： f( x) 2ax b，故点 p( x0 ,f (x0 ) 处切线斜率 k 2ax0 b tan 0 ， 1 ，于是点p 到对称轴 xb 的距离 d | x0 ( b2a2a2ax0 b1 ，故选 (b) )| 0,2a2a三、单调性问题一般地，设函数y f ( x) 在某个区间内可导如果f( x) 0，则 f ( x) 为增函数；如果f( x) 0，则 f ( x) 为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明

17、不等式等问题exa例 5 设 a 0， f (x)ex 是 r 上的偶函数a（ i ）求 a 的值；（ ii ）证明 f (x) 在（ 0， +）上是增函数。- 5 -( ) 解： 依题意 , 对一切 xr有 f x =f - x ，即exa1aex，所以 ( a1)(ex1 )0 对一切 x r成立aexaexaex由此得到 a10 ，即 a 21a又因为 a0 ，所以 a1( ) 证明 ：由 f ( x)exe x 得 f ( x) exe xe x (e2x1)当 x0，+ 时，有 e x0 ， e2 x10此时 f (x)0 ，所以 f ( x) 在 0，+ 是增函数 .评注 ：对于第

18、 ( ) 问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f ( x1) f ( x2) 的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法” 四、极值问题即运用导数解决极值问题一般地， 当函数 f ( x) 在 x0 处连续， 判别 f ( x0) 为极大 ( 小 ) 值的方法是： 如果在 0附近的左侧f (x) 0，右侧f ( x) 0，那么f(x0) 是极大值x 如果在 x0附近的左侧f (x) 0，右侧f ( x) 0，那么 f( x0) 是极小值例 6 函数 y 1 3x x3 有 ()(a) 极小值 1，极大值 1(b) 极小值

19、2，极大值 3(c) 极小值 2，极大值 2(d) 极小值 1，极大值 3分析： 本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值2解： 由 y 33x 0，得x1 或 x 1当 x ( ， 1) (1 ， ) 时， y 0当 x ( 1，1) 时， y 0- 6 -因此函数 y1 3xx3 在( ， 1) 上单调递减， 在 ( 1，1) 上单调递增， 在(1 ， )上单调递减，即x 1 是极小值点， x 1 是极大值点所以极小值为1，极大值为3，故选 (d) 五、最值问题运用导数求最大( 小 ) 值的一般步骤如下：若 f ( x) 在 a， b 上连续，在 ( a， b) 内可导，则 求 f ( x) ，令 f (x) 0，求出在 ( a， b) 内使导数为 0的点及导数不存在的点 比较三类点：导数不存在的点，导数为0 的点及区间端点的函数值，其中