高数课件数列的极限

1、第二节 数列的极限,一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,三、小结 习题,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,播放,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2）截丈问题,一尺之棰，日截其半，万世不竭,例如,2 数列的定义,注意,1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取,2 数列是整标函数,播放,3 数列的极限,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定,问题,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它,通过上面演示实验的观察,如果数列没有极限,就说数列是

2、发散的,注意,几何解释,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法,例1,证,所以,注意,例2. 已知,证明,证,欲使,只要,即,取,则当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关, 但不唯一,不一定取最小的 N,说明,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设,证明等比数列,证,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取,则当 n N 时,就有,故,的极限为 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证,所以,说明 常数列的极限等于同一常数,小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N,1 唯一性,定理1 每个收敛的数列只有一个极限,证法一,由定义,故收敛数

3、列极限唯一,二、收敛数列的性质,证法二: 用反证法,及,且,取,因,故存在 N1,从而,同理, 因,故存在 N2,使当 n N2 时, 有,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾,因此收敛数列的极限必唯一,则当 n N 时,故假设不真,满足的不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 有界性,例如,有界,无界,定理2 收敛的数列必定有界,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界,说明: 此性质反过来不一定成立,例如,虽有界但不收敛,有,数列,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 有界性是数列收敛的必要条件,推论 无界数列必定发散,3. 收敛数列的保号性,若,且,

4、时, 有,证,对 a 0,取,推论,若数列从某项起,用反证法证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4 子数列,注意,例如,定义,三、小结 习题,数列 研究其变化规律,数列极限 数列极限的“ N ”定义,收敛数列的性质 有界性、唯一性、保号性; 子数列的定义,解,习题解答 P31 2题,习题解答,返回习题,习题解答 P 31 3题(3,证,习题解答,返回习题,作业,P30-31 1 (2) , (4) , (6) , (8,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,1）割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,1）割圆术

5、,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,1）割圆术,刘徽,一、数列极限的定义,1 概念的引入,3 数列的极限,3 数列的极