偏微分方程数值习题解答

1、李微分方程数李微分方程数值值解解习题习题解答解答 1-1 如果如果， ，则则称称是是的的0)0( 0 x)(xJ 驻驻点（或点（或稳稳定点）定点）.矩矩阵阵对对称（不必正定），求称（不必正定），求A 证证是是的的驻驻点的充要条件是：点的充要条件是：是方程是方程 0 x)(xJ 0 x 组组 的解的解bAx 证证明明:由由的定的定义义与内与内积积的性的性线线性性性性质质,得得 )( ),(),( 2 1 )()( 0000 xxbxxxxAxxJ ),( 2 ),()( 2 00 xAxxbAxxJ ),(),()( 0 xAxxbAx 必要性必要性:由由,得得,对对于任何于任何,有有0)0(

2、n Rx ,0),( 0 xbAx 由由线线性代数性代数结论结论知知, bAxbAx 00 , 0 充分性充分性: 由由,对对于任何于任何,bAx 0 n Rx 0| ),(),()0( 00 xAxxbAx 即即 是是的的驻驻点点. 0 x)(xJ 1-2 补补充充: 证证明明的不同的广的不同的广义导义导数几乎数几乎处处处处)(xf 相等相等. 证证明明:设设,为为的广的广义导义导)( 2 ILf )(, 2 21 ILgg)(xf 数数,由广由广义导义导数的定数的定义义可知可知,对对于任意于任意 ,有有)()( 0 ICx b a b a dxxxfdxxxg)()()()( 1 b a

3、b a dxxxfdxxxg)()()()( 2 两式相减两式相减,得到得到 )(0)()( 021 ICxgg b a 由由变变分基本引理分基本引理,几乎几乎处处为处处为零零,即即 21 gg 几乎几乎处处处处相等相等. 21,g g 补补充充:证证明明的的连续连续性条件性条件(1.2.21),(vua 证证明明: 设设,由由不等式不等式 | )(| ,| )(|MxqMxpSchwarz | . | . |)(| ),(| vuMvuMdxquvvpuvua b a ,其中其中 11 * | .|2vuM,max * MMM 习题习题: 1 设设为为的一的一阶阶广广义导义导数数,试试用用类

4、类)( xf)(xf 似的方法定似的方法定义义的的 阶导阶导数数)(xfk,.2 , 1( k 解解:一一阶阶广广义导义导数的定数的定义义,主要是从主要是从经经典典导导 数数经过经过分部分部积积分得到的关系式来定分得到的关系式来定义义,因此因此 可得到如下定可得到如下定义义: 对对于于,若有若有,使得使得对对)()( 2 ILxf)()( 2 ILxg 于任意的于任意的,有有)( 0 IC b a kk b a dxxxfdxxxg)()() 1()()( )( 则则称称有有 阶阶广广义导义导数数,称称为为的的 阶阶)(xfk)(xg)(xfk 广广义导义导数数,并并记记 k k dx fd

5、xg)( 注注:高高阶阶广广义导义导数不是通数不是通过递过递推定推定义义的的,可能可能 有高有高阶导阶导数而没有低数而没有低阶导阶导数数. 2.利用利用的完全性的完全性证证明明是是)( 2 IL)()( 1 IHIH m 空空间间.Hilbert 证证明明:只只证证的完全性的完全性.设设为为的基的基)( 1 IH n f)( 1 IH 本列本列,即即 0| 0 01 mnmnmn ffffff 因此知因此知都是都是中的基本列中的基本列(按按, nn ff)( 2 IL 的范数的范数).由由的完全性的完全性,存在存在,)( 2 IL)( 2 IL)(, 2 ILgf 使使 ,以下以下证证明明0|

6、 , 0| 0 0 gfff nn (关关键证键证明明)0| 1 ffn dx df g 由由不等式不等式,有有Schwarz 00 | .| )()()(|ffxxfxf n b a n 00 |)()()(|ffdxxxgxf n b a n 对对于任意的于任意的,成立成立)()( 0 ICx b a b a n n dxxxfdxxxf)()()()(lim b a b a n n dxxxgdxxxf)()()()(lim 由由 b a n b a n dxxxfdxxxf)()()()( 取极限得到取极限得到dxxxfdxxxg b a b a )()()()( 即即,即即,且且 )

7、(fxg)( 1 IHf 0| 0 01 ffffff nnn 故故中的基本列是收中的基本列是收敛敛的的,是完全的是完全的.)( 1 IH)( 1 IH 3.证证明非明非齐齐次两点次两点边值问题边值问题 证证明明:边边界条件界条件齐齐次化次化 令令,则则满满足足齐齐次次边边界界)()( 0 axxu 0 uuw 条件条件. 满满足的方程足的方程为为,即即w 00 LufLuLuLw 对应对应的的边值问题为边值问题为w (P) 0)(, 0)( 0 bwaw LufLw 由定理知由定理知,问题问题 与下列与下列变变分分问题问题等价等价P 求求)(min)(, * * 12 * 1 wJwJHCw

8、 E Hw E 其中其中.而而),(),( 2 1 )( 0 * wLufwwawJ CuuauLuuJ uuLufuuuuawJ ),(),()( ),(),( 2 1 )( 00 0000 * 而而 200 )()(),(),(CbubpuuauLu 从而从而 * )()()( )(CbubpuJwJ 则则关于关于 的的变变分分问题问题 等价于等价于:求求wP )(, 12 * auHCu 使得使得 )(min)( )( * 1 uJuJ au Hu 其中其中)()(),(),( 2 1 )(bubpufuuauJ 4 就就边值问题边值问题（ （1.2.28）建立虚功原理）建立虚功原理 解

9、解:令令,则则 满满足足)( 0 axu 0 uuww 0)(, 0)( 00 bwaw LufLuLuLw 等价于等价于: 1 E Hv 0),(),( 0 vLufvLw 应应用分部用分部积积分分, b a b a b a dx dx dv dx dw pv dx dw pvdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)(),( 还还原原 ,u )()(),(),(),(),( ),(),(),(),( 00 0 bvbpvfvuavuavLu vfvuavLufvwa 于是于是,边值问题边值问题等价于等价于:求求,使得使得)(, 1 auHu ,成立成立 1 E Hv

10、 0)()(),(),(bvbpvfvua 注注:形式上与用形式上与用 去乘方程两端去乘方程两端,应应用分部用分部积积v 分得到的相同分得到的相同. 5 试试建立与建立与边值问题边值问题 等价的等价的变变分分问题问题. 解解:取解函数空取解函数空间为间为,对对于任意于任意)( 2 0 IH)( 2 0 IHv 用用 乘方程两端乘方程两端,应应用分部用分部积积分分,得到得到v 0),(),( 4 4 vfu dx ud vfLu 而而 b a b a b a dx dx dv dx ud v dx ud vdx dx ud v dx ud .|),( 3 3 3 3 4 4 4 4 dx dx

11、vd dx ud dx dx vd dx ud dx dv dx ud b a b a b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 上式上式为为),( 2 2 2 2 vfdxuv dx vd dx ud b a 定定义义,为为双双线线性形式性形式.dxuv dx vd dx ud vua b a ),( 2 2 2 2 变变分分问题为问题为:求求,)( 2 0 IHu)( 2 0 IHv ),(),(vfvua 1-4 1.用用方法求方法求边值问题边值问题GalerkinRitz 1) 1 (, 0)0( 10 2 uu xxuu 的第的第 次近似次近似,基函数基函数n)(xun n

12、ixix i ,.,2 , 1),sin()( 解解:(1)边边界条件界条件齐齐次化次化:令令,则则xu 00 uuw 满满足足齐齐次次边边界条件界条件,且且w 0) 1 (, 0)0( 2 0 ww xxLuLuLw 第第 次近似次近似取取为为,其中其中n n w n i iin cw 1 满满足的足的方程方程为为),.2 , 1(niciGalerkinRitz njxxca j n i iji ,.,2 , 1),(),( 2 1 又又 xdjxix ij dxxjxi dxxjxiijdxa jijiji )cos()cos( 2 )sin()sin( )cos()cos()(),(

13、1 0 1 0 2 1 0 jxixsinsin 2 1 由三角函数的正交性由三角函数的正交性,得到得到 ji ji i a ji , 0 , 2 1 2 ),( 22 而而 1) 1( )( 2 )sin() 1(),( 3 1 0 2 j j j dxxjxxxx 于是得到于是得到 为偶数 为奇数 j j jj a xx c jj j j 0 )1 ()( 8 ),( ),( 223 2 最后得到最后得到 2 1 1 233 ) 12(1 ) 12( ) 12sin(8 )( n k n kk xk xxu 2.在在题题 1 中中,用用代替右代替右边值边值条件条件,是是0) 1 (u)(x

14、un 用用方法求解相方法求解相应问题应问题的第的第 次近次近GalerkinRitz n 似似,证证明明按按收收敛敛到到,并估并估计误计误差差.)(xun) 1 , 0( 2 L)(xu 证证明明: 对应对应的的级级数数绝对绝对收收敛敛,由由的完的完 n usinxi 全性知极限就是解全性知极限就是解,其其误误差估差估计为计为)(xu 33 8 n Rn 3.就就边值问题边值问题(1.2.28)和基函数和基函数 ,写出写出),.,2 , 1()()(niaxx i i GalerkinRitz 方程方程 解解:边边界条件界条件齐齐次化次化,取取,)( 0 axu , 对应对应的微分方程的微分方

15、程为为 0 uuww 0)(, 0)( 00 bwaw LufLuLuLw 对应对应的的变变分方程分方程为为 0),(),( 0 vLufvwa )()( 0 0 0 axq dx dp qu dx du p dx d Lu b a b a dxxpvbvbpv dx dp )()()( 变变分方程分方程为为 dxvquxpvbvbpvfvwa b a )()()(),(),( 0 取取,则则方程方程niaxx i i ,.,2 , 1,)()(Galerkin-Ritz 为为 b a i b a ii n j jji dxaxxqdxaxixp bbpfca )()()()( )()(),(

16、),( 1 1 b a jijiji dxqpa),( 取取,具体具体计计算算1, 0, 1fqp , 1n)(1),( 11 abdxa b a , 22 1 )( 2 1 )()()( 2 1 ababababd ,即解即解)( 2 1 1 abc)( 2 1 01 axuu :2n 2 2111 )()(2),(),(),(abdxaxaaba b a 32 22 )( 3 4 )(4),(abdxaxa b a 3223 22 2 )( 3 1 )()()( 3 1 )(2)()( abababab dxaxabdxaxd b a b a 得到方程得到方程组为组为 3 2 2 1 32

17、 2 )( 3 1 )( 2 1 c )( 3 4 )( )( ab ab c abab abab 特别取,有1, 0ba 3 1 2 1 3 4 1 11 2 1 c c 求解得到1, 2 1 , 6 1 3 1 122 ccc 其解为 2 02 )( 2 1 )(axaxuu Ch2 椭圆椭圆与抛物型方程有限元法与抛物型方程有限元法 1.1 用用线线性元求下列性元求下列边值问题边值问题的数的数值值解解: 10, 2 sin2 4 2 xxyy 0) 1 (, 0)0( yy 此此题题改改为为4/1, 0) 1 ()0(, 1 hyyyy 解解: 取取,为为未知数未知数.2/1h)2 , 1

18、 , 0( jjhxj 21,y y 形式的形式的变变分方程分方程为为,Galerkin),(),(vfvLu 其中其中 , 1 0 2 1 0 4 ),(uvdxvdxuvLu 1 0 )( 2 sin2),(dxxxvvf 又又dxvudxvuvuvdxu 1 0 1 0 1 0 1 0 | 因此因此dxuvvuvua) 4 (),( 1 0 2 在在单单元元中中,应应用仿射用仿射变换变换(局部坐局部坐标标), 1iii xxI h xx i 1 节节点基函数点基函数为为 )3 , 2 , 1( , 0 , ,1 )( 1 1 1 i other xxx h xx xxx h xx x i

19、i i ii i i 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 111 )1 ( 4 1 4 1 4 ),( 1 0 2 1 d h d h h dxa x x x x 取取,则计则计算得算得2/1h 12 4),( 2 11 a 12 2)1 ( 4 1 ),( 2 1 0 2 21 dh h a 1 0 1 0 1 )1)( 2 1 2 1 ( 2 sin)0( 2 sin2),( ddhhf 1 0 1 0 )1 ( 4 )1 ( sin 2 sin dd h dhf 1 0 2 ) 2 1 2 1 ( 2 sin2),( 代数方程代数方程组为组为 ),( ),( ),(),(

20、 ),(),( 2 1 2 1 2221 2111 f f y y aa aa 代如求代如求值值. 取取,未知未知节节点点值为值为,方程方程为为4/1h 4321 ,uuuu 4 , 3 , 2 , 1),(),( 4 1 jfua j i iji 应应用局部坐用局部坐标标 表示表示, 1 0 2 2 1 0 2 2 )1 ( 4 1 ) 4 1 (),( d h h d h h a jj 24 8 8 8 2 1 0 2 2 d d h h a jj )1 ( 4 1 ),( 1 0 2 1 96 4)1 ( 16 4 2 1 0 2 d 96 4),( 2 1 jj a 系数矩系数矩阵为阵为 96 4, 24 8 , 96 4 222 diagA 取取,1f 4 1 )1 (),( 1 0 1 0