华师大版八上13.4《因式分解》(十字相乘)word教案

1、分解因式之十字相乘法我们知道 x 2 x 3 =x 5x 6,反过来，就得到二次三项式 x2 5x 6的因式分解形式，即x2 5x x 2 x 3，其中常数项 6 分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数 5, 即 6=2X 3,且 2+3=5。一般地，由多项式乘法，x a x b i； = x2亠i a b x ab，反过来， 就得到2x +(a + b)x + ab = (x+a)(x+b)这就是说，对于二次三项式x2 px q，如果能够把常数项q分解 成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p,那么它就可 以分解因式，即x2 px x a b x a x a

2、x b。运用这个公式，可以把某些 二次项系数为1的二次三项式分解因式。例1把x2 3x 2分解因式。分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号， 而2=1X 2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3,只需取1,2即可。解：因为 2=1X 2,并且 1+2=3,所以 x2 3x x 1 x 2例2把x7x 6分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1 X 6=(-1) X (-6)=2 X 3=(-2) X (-3),要使它们的代数和等于-7 , 只需取-1 , -6即可。解：因为 6=(-1) X (-6)，并且(-1)+(-6)=-7 ，所以

3、x2 7x 6 = x 亠 j 1 ： | x 亠 j 6 ： |二 x-1 x_6例3把x24x21分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成-2仁(-1) X 21=1X (-21)=(-3) X 7=3X (-7)，其中只需取3与-7，其和3+(-7)等于一次项的系数-4。解：x2 -4x-21二x凶-7二 x 3 x-7例4把x2 2x -15分解因式。解:因为-15=(-3) X 5,并且(-3)+5=2，所以 x2 2x -15=|x -3 x 5=x -3 X 5通过例1八4可以看出，把x px q分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它

4、分解成两个同号因数，它们的符 号与一次项系数p的符号相同。如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对 值较大的因数与一次项系数p的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P。例5把下列各式分解因式：2(1) X4+6X2+8(2)(a+b ) -4(a+b )+3解：1)X4 6x2 82 2 2=x | 亠6 x | 亠8二(x2 )+2 (X2 )+42 2=x2 2 x2 42(2) a b ; -4 a b i亠 3二归 b -1 I ：.a b -3a b - i a b _ 3 j例6把x2 3xy 2y2分解因式。分析：把x2 -3xy 2

5、y2看成x的二次三项式，这时，常数项是2y2 , 一次项系数是-3y，把2y2分解成-y与-2y的积，(-y)+(-2y)=-3y, 正 好等于一次项的系数。解：x2 -3xy 2y2=x2 -3yx 2y2=x-y x-2y我们知道，x 2 3x 5 = 3x2 11x 10。反过来就得到3x2 11x 10 的因式分解的形式，即3x2 11x 1 x 2 3x 5 o我们发现，二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分 解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成13后发现1X 5+2X 3正好等于一次项的系数11。由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2 bx c进

6、行因式分解。我们知道,a-|XC|a2xc2=a1a2x2 d a2qxc|c22=a1a2x ac2a2G xc|c2反过来，就得到2aa2X亠 | aC2a?Ci jx gq二 a/ ya?xq我们发现，二次项的系数a分解成a，常数项c分解成c，并这里按斜线交叉相乘，再相加,就得到aiC2 + a2q，如果它们正好等于且把c， a2， G， C2排列如下:aiC2a2ax2 bx c的一次项系数b，那么ax2 bx c就可以分解成axy azx q，其中 印，q位于上图的上一行， a?， c?位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分 解因式的方法，通常叫做十字相

7、乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况， 所以往往要 经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 例 如在上面例子的二次三项式3x2 11x 10中，二次项的系数3可以分解 成1与3,或者-1与-3的积，常数项10可以分解成1与10,或者-1 与-10，或者2与5,或者-2与-5的积，其中只要选取十字相乘就可以了 例7 把下列各式分解因式:(1) 2x2 7x 3(2)6x27x5 (3)5x2+6xy8y2解：(1)2x2 - 7x 3二 x -3 2x1 6x2 -7x-5=2x 1 3x - 5 (3)5x2 6xy-8y223-5另外，我们也可以用十字相乘法

8、把二次三项式x2 px q分解因二 x 2y 5x - 4y式。例1八4的十字分别是:X-7可以看出，这四个十字左边两个数都是因此在把x2 px q分解因式时，不画十字也可以。练习把下列各式分解因式:6y2 -11y-10(1) 2x2 15x 7 (2)3a2 -8a 4 (3) 5x2 7x-6 (4)(5) 5a2b2 23ab -10 (6)3a2b2 -17abxy 10x2y2 (7) x2-7xy 12y2(8) x4 7x2-18 (9)4m2 8mn 3n2 (10)5x5-15xy-20xy2用配方法分解二次三项式对于某些二次三项式ax一 21 门家C家 =2 x +2 _

9、x + 14丿 bx c，除了可以用十字相乘法分解因 式以外，还可以用“配方法”来分解，其中要用到完全平方公式、平 方差公式以及添项、拆项的技巧（这里运用完全平方公式“配”出一 个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个 0,再把0拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项,再减去这个项，其目的也是为了配方）例如，把x2 6x-16分解因式,我们可以这样进行:x2 6x - 16（加上32，再减去32）=x2 2 x 3 32 - 32 - 16（运用完全平方公式）2 2二 x 3- 52二 x 3 5 x 3- 5（运用平方差公式）（先提取二次项系数）（加上；2,再减去r（化简）可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。又例如，把2x2 x-3分解因式，我