2020学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版

1、上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A11B12C13D14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.【详解】等差数列的公差为2，且，.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.2等比数列的前项和为，已知，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C.3设等差数列的前n项和为，若，则()A3B4C5D6【答案】C【解析】由又，可得公差，从而可得结果.【详解】是等差数列又，公差，故选C【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和

2、公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4设，若，则数列是（ ）A递增数列B递减数列C奇数项递增，偶数项递减的数列D偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【详解】根据题意，则，指数函数为减函数即即即即，数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。二、填空题5_.【答案】1【解析】由即可求得【详解】【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。6等差数列中，若，则

3、_.【答案】10.【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值【详解】在等差数列中，由，且，所以，所以故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求7数列中，已知，50为第_项.【答案】4【解析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，所以是第4项。【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，等，都可以通过换元变为二次形式研究。8为等比数列，若，则_.【答案】【解析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。【详解】相当于，相当于，上面两式相除得代入就得，【点睛】基本量

4、法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。9用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是_.【答案】.【解析】从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出【详解】假设时命题成立，则，当时，从到时左边需增乘的代数式是故答案为：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题10数列满足，则等于_.【答案】15.【解析】先由，结合，求出，然后再求出【详解】，故答案为：15.【点睛】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力11数列满足，则_.【答案】.【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，

5、发现数列是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出的值【详解】由题干中递推公式，可得：，数列是以6为最小正周期的周期数列，故答案为：.【点睛】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力12数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则_.【答案】512【解析】直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【详解】故选C。【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。13数列定义为，则_.【答案】【解析】由已知得两式，相减可发

6、现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前的和【详解】两式相减得数列的奇数项，偶数项分别成等差数列， ，数列的前2n项中所有奇数项的和为：，数列的前2n项中所有偶数项的和为：【点睛】对于递推式为，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为，而奇数项的首项为.14已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_.【答案】【解析】利用将变为，整理发现数列为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。【详解】当时，符合，当时，符合，【点睛】一般公式的使用

7、是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。15一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是_.【答案】【解析】【详解】设三边按递增顺序排列为， 其中.则， 即.解得.由 q1 知 q 的取值范围是1q .设三边按递减顺序排列为，其中.则，即.解得.综上所述， .16数列满足，当时，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_.【答案】70【解析】构造数列，两式与相减可得数列为等差数列，求出，让=0即可求出.【详解】设 两式相减得又数列从第5 项开始为等差数列，由已知易得均不为0所以当n=

8、70的时候成立，故答案填70.【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。三、解答题17等差数列的前项和为，求数列前项和.【答案】【解析】由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项，由此能求出，且，当时，当时，。【详解】解得，设从第项开始大于零，则，即当时，当时，综上有【点睛】本题考查数列的前项和的求法，是中档题，注意等差数列的函数性质的运用。18已知数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）【答案】（1）；（2）；【解析】（1）运用数列的递推式得时，时，化简计算可得所求通项公式；（

9、2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）可得时， 则（2）数列满足，可得，即，前项和两式相减可得化简可得【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题19某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。（1）试写出销售量与n的函数关系式；（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)根据若做广告宣传，广告费为n

10、千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.试题解析：（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知，由叠加法可得即为所求。（2）设当时，获利为元，由题意知，欲使最大，则，易知，此时.【考点】叠加法求通项,求最值.20设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.【答案】（1）；（2）对一切正整数，有.【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）对一切正整数n，有，考虑当时，再由裂项相消求和，即可得证。【详解】（1）当时，两式做差得，当时，上式显然成立，。（2）证明：当时，可

11、得由可得即有则当时，不等式成立。检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键21设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解析】（1） 根据题意，直接列出即可（2） 利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3） 利用（2）的结论完成（3）即可。【详解】（1）中的元素有，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，