第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案(含解析)新人教A版必修4

1、3. 1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式层析教材.新知无师自逋22-2 -提出问题问题1 ：在公式G a + B ) , S( a + B )和T(a + B)中，若a = 3，公式还成立吗？ 提示：成立.问题2:在上述公式中，若a = B，你能得到什么结论？222ta n a提示：cos 2 a = cos a sin a , sin 2 a = 2sin a COS a , tan 2 a =L1 tan a 导入新知二倍角公式化解疑难细解“倍角公式”(1) 要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.(2) 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如 6 a是3

2、 a3a的2倍，3a是-的2倍这里蕴含着换元思想这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.(3) 注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用.锁走考向，考题千娈不离其奈化简求值例1求下列各式的值:(1)sin ncosn； ； (2)1 2sin 2750cos 102tan 150 1 1 tan 2150 ； (4) sin 10(5)cos 20 cos 40 cos 80解原式=n n2sin存吨nsinE(4) 原式=cos 10 sin 10巧sin 10cos 10 2-cos 10si n 10sin 10cos 1042sin 10 cos 104si n

3、 20sin 20原式=cos(23750 ) = cos 1 500 1=cos(43360 + 60 ) = cos 60 = p(3)原式=tan(23150 ) = tan 300 = tan(360 -60 ) = -tan 60 =-17 -(5)原式=2si n 202cos 20 2cos 40 2cos 802sin 20 2sin 40 2cos 40 2cos 804sin 20 _ 2sin 80 2cos 80 _ sin 160 1= 8sin 20 = 8sin 20 = 8.类题通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角” “函数名”“幕”“形

4、”着手分析，消除 差异.活学活用化简:11 + tan 0小22cos a 1答案：(1)tan 20(2)1条件求值例 2(1)已知 cos I a + 才=3 ,已知a 且 sin 2a = sinn解(1)辽w3n 2，a+n 7n44cosa+詁，.0)个单位长度后得到函 数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式.3、5 求 1 tan x9.二倍角的配凑问题sin 2 x2sin 2x 的值.答案：(1)2 n (2) g(x) = 10sin x-82sin x 1 cos x” 十2sin xcos x 2sin x 解原式=2sin x x sin

5、 x cos x sin x cos x=2sin xcos x = sin 2 x.sin x sin 2 x 2sin xcos x2cos x或原式=1 tan xsin 2 x sin 2 xtan x1 tan xsin 2 x tan x1 tan x=sin 2 x.c n n 2x= 2x+ 7 $, sin 2 x = sin .|2 収 +-4 一7ti n、=cos 2 x +I 4丿n Icos ix + = cos 2 jx+ -4 = 2cos.倍角公式中的“倍角”是相对的.对于两个角的比值等于 a4a的二倍角，3a是亍 的二倍角等.在解决此类问题时，有时二倍角关系

6、不是很明显，需 要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现.活学活用 x+9=23 25一1原式=一25 = 25.25多维探究1 解决上面典例要注意角“2nx”与“才+ x”的变换方法，即sin 2x = cos 寺 + 2x =COS常见的此类变换，还有:(1)sin 2(2)cos 2x= sin7tnn 2x = sin |2x= cos 号2x = cos |2(3)cos 2x= sin 号 + 2x = sin |2；+2的情况都成立，如 8 a是1 .右 sina答案：-2 计算:2 n 4 n 6 n COS 2cos 2cos =7771答案：8sin 30 sin 50

7、sin 703 .计算：sin 10答案:1164 .求值：cos 80 yj 1 cos 20 41应用自主演练、百炼方成钢随堂即时演练i.下列各式中，值为A. 2sin 15 cos 152C. 2sin 15)B. cos215 sin215D . sin 215+ cos215答案：B2 .化简 1 + si n 100 1 sin 100 =()A. 2cos 50B . 2cos 50C. 2si n 50D . 2sin 50答案：B3 .已知a则 tan 2答案：24答案：44 .函数f(x) = 2cos2 x 亍1的最小正周期为答案：n5.已知a为第二象限角，且 sin a

8、15sin 2sin a+专a + COs 2 a + 1的值.答案：2课时达标检测、选择题若 sin 琴一 x = 5,则cos 2 x的值为（A.72514B.-25C.1625D.1925答案：AA.C.若空sinB.D.答案：B+ COS aa COs a1，贝U tan 2 a =(3 .设一 3 n5 n，化简1 cos a n2的结果是（）aA. sin aB . cos 三小aC. cosD . sin 迟答案:4 .右 0, 2sin a+ cos 2a = 4，则tan a的值等于（）B.C. 2D.答案:5若sin 2 0则 sin 0 =()a.5 B.5d.3答案:

9、二、填空题 26 .函数f （x） = 2cos x + sin 2 x的最小值是 答案：1 27 .已知an jO, , sin a315，则 cosra+tan 2 a答案：78 等腰三角形一个底角的余弦为23,那么这个三角形顶角的正弦值为答案：495三、解答题已知a为锐角，且tan庁+a = 2.解:求tana的值;a cos a Sin a ,. 的值.tan1 + tan aa7 +a 1 tana=2,1 + ta naa=2 2tana ,所以tan asin 2 a cos a sin a cos 2 a2sin a cos a sin acos 2 asin asin a c

10、os 2 acos 2=sin(X因为tan13,所以cosa = 3sin又 sin 2 a2 “+ cos a = 1 ,所以sin 2 a110,又a为锐角，所以 sin a =j0O,sin 2 a COS a sin a 10所以一 cos 2 a1010.已知函数f(x) = 2 3sin2 r r .xcos x + 2cos x1( x R).若 f(x)=6| n5, x0 tcos 2 X。的值.解：T f (x) = 2 3sin xcos x+ 2cos2x 1 = 3(2sin xcos x) + (2cos 2x 1)2a 1cos 2 a=3sin 2 x+ cos 2x = 2sin |2x + -6 ,=cos j2xo+ nn + sin 2xo+6若 f ( a ) = 5w.：3 a y, n ，求角 a .sin 2xo+i6 ;. n in6=43 二 + 33 J 5 2521011 .设函数f (x)= 5 3cos解：f(x) = 5 3cos2x+ 3sin 2x 4sin xcos x=5 3cos2x + 5 3sin 2x 2sin 2 x 4 3sin 2x =5y3 2sin 2 x 2、.；3(1 cos 2 x)=3 3 2sin 2 x+ 2 3cos 2