第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案(含解析)新人教A版必修4

1、2. 3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示层析教材.新知无师自逋提出问题 已知下列几组向量:(i) a= (0,2) , b= (0,4) ； (2) a= (2,3) , b= (4,6)；(3) a= ( 1,4) , b= (2 ,8)1-2T1 -221-13 -问题1：上面几组向量中，a与b有什么关系？提示： (2)中 b= 2a； (3)中 b= 2a； (4)中 b= a.问题2：以上几组向量中，a, b共线吗？提示：共线.导入新知 平面向量共线的坐标表示前提条件a= (xi, yi) , b= (X2,汨，其中 b0结论当且仅当Xiy2 X2yi = 0时，向量a

2、 , b(b*0)共线化解疑难向量共线的坐标表示的推导设 a= (xi, yi), b= (X2, y?)丰0,则 a/ b? a=入 b(入 R).上式若用坐标表示，可写为 a / b? (xi, yi)=入(X2, y ,X1=入 X2,即 a / b? f? xiy2x2yi= 0.yi=入 y2锁走考向，考题千蛮不离其宗向量共线的判定例i)(i) 已知向量 a= (i,2) , b=(入，i)，若(a+ 2b) / (2 a 2b)，贝U 入的值等ic. i已知A(2,i) , B(0,4) , C(i,3) , D(5 , 3)，判断AB与CD是否共线.如果共线, 它们的方向是相同还

3、是相反?解(1)A(2) AB = (0,4) - (2,1) = ( 2,3) , CD = (5 , - 3) - (1,3) = (4 , - 6),/ ( 2) X ( 6) 3X 4= 0,二 AB , CD 共线.又/ CD = 2 AB , AB , CD 方向相反.综上，AB与CD共线且方向相反.类题通法向量共线的判定方法(1) 利用向量共线定理，由a=入b(b0)推出a/ b.(2) 利用向量共线的坐标表达式xi y2 X2yi = 0直接求解.活学活用1 .已知向量a= (1 , m) , b= (m,2)，若a/b,贝U实数 m等于()A. .2B. 2C.2或 2D .

4、 0答案：C2. 已知a= (1,2) , b= ( 3,2)，当实数k为何值时，(ka + b) / (a 3b) ?这两个向量的方向是相同还是相反？1答案：当k = 3时，(ka+ b) / (a 3b)，并且它们的方向相反.3勒刚三点共线问题(n例 2(1)若点 A(1 , 3) , B?, 2 , C(x, 1)共线，则 x =.(2)设向量 OA = (k, 12) , OB = (4,5) , OC = (10 , k)，求当 k 为何值时，A, B, C 三 点共线.解(1)9(2)若A, B, C三点共线，则 AB , AC共线，则存在实数入，使得AB =入AC ./ AB =

5、 OB OA = (4 k, 7),AC = OC OA = (10 k, k 12).- (4 k, 7)=入(10 k, k 12),(4 k =入k即解得k= 2或k = 11.7=入 k 12当k=- 2或11时，A, B, C三点共线.类题通法三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点.活学活用已知点 A(x, 0) , B(2x, 1) , Q2 , x) , D(6,2 x).(1) 求实数x的

6、值，使向量 AB与CD共线；(2) 当向量AB与CD共线时，点A B, C, D是否在一条直线上?答案：(1) x=2(2)当x =-2时，A, B, C, D四点在一条直线上例3向量共线在几何中的应用P的坐标.如图，已知点 A(4,0)由O, P, B三点共线，可设0P =入0B = (4入，4入)，则AP = OP OA = (4入连接 OC 则 AC = OC OA = ( 2,6).3.3由AP与AC共线得(4入一4) X 6 4入X ( 2) = 0，解得 入=4,所以0P = 4 OB = (3,3)，所以点P的坐标为(3,3).类题通法向量共线在几何中的应用及注意事项向量共线在几

7、何中的应用，可分为两个方面：(1) 已知两向量共线，求点或向量的坐标；(2) 证明或判断三点共线、直线平行.解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两 向量无公共点确定直线平行.活学活用已知直角坐标平面上四点A(1,0) , B(4,3) , C(2,4) , D(0,2)，求证：四边形 ABCD是等腰梯形.证明：由已知得， AB = (4,3) - (1,0) = (3,3),CD = (0,2) - (2,4) = ( 2,- 2)./ 3X ( - 2) - 3X ( - 2) = 0,二 AB 与 CD 共线. AD = ( - 1,2) , BC =

8、 (2,4) - (4,3) = ( - 2,1),(-1) X 1-2X ( -2)工0,二 AD 与 BC 不共线.四边形ABC毘梯形. BC = ( - 2,1) , AD = ( - 1,2),BnI BC | = 5=| AD |，即 BC= AD故四边形ABC毘等腰梯形.iSi圈修补短櫃，拉分題一分不丢9. 错用两向量共线的条件致误一一 _!2 一一 1典例 已知 R(2 , - 1) , F2( - 1,3) , P在直线 PP2上，且 | RP | = -| PP2 |.贝U P 点的 3坐标为.解析当pp与PP2同向时，_ 2 _则有RP = 3 PP2，设P点坐标为(x,

9、y),RP = (x-2, y+ 1) , PP2 = ( -1 -x, 3-y).(x-2, y+ 1) = 3( - 1-x,3-y),22 + 一2十3x =2-1 +-X3 y = T, 1+34x=5,故p点坐标为j4,3. 5丿当RP与PP2反向时，一一 _!2 一一I则有RP =- - PP2，设P点坐标为(x, y),32(x 2, y+ 1) =- -( 1 x, 3-y),22 -3X =21 321 3X3即 X = 8,y= 9.故P点坐标为(8 , 9).综上可得，P点坐标为|5, 5或(8 , 9).答案5, 5 或(8 , 9)易错防范1 本题易由| pp | =

10、 3i pp2 |只得出rp = 3 pf的结论，从而得出p点坐标为 打,31的 错误答案.2 解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a与b共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏.成功破障1平面上有A(2 , 1) , B(1,4) , Q4 , 3)三点，点C在直线AB上，且AC = ? BC，连 接DC延长至E,使| CE | = 4l ED |，则点E的坐标为.答案：8， 7随堂即时演练1 .下列各组的两个向量，共线的是 ()A. ai = ( 2,3) , bi= (4,6)B. a2 = (1 , 2) , b2= (7,14)C. a3 = (2,3) , b3 = (3,

11、2)D. a4 = ( 3,2) , b4= (6 , 4)答案：D2 .已知A(2， 1)，B(3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a是()A. (2,1)B. ( 6, 3)C. ( 1,2)D . ( 4, 8)答案：D3. 已知向量 a= (1,2) ,b= (1,0) ,c = (3,4).若入为实数，(a+ 入 b) /c,则入=1答案：24. 已知 A 1,4) , 0X, 2)，若 C(3,3)在直线 AB上，贝U x =.答案：23EF1.1-I5 .已知 A 1,0) , B(3 , 1) , C(1,2)，并且 AE = 3 AC , BF = 3 BC，求证:/ AB

12、 .证明：设 E(X1, y , F(X2, y2),依题意有 AC = (2,2) , BC = ( 2,3) , AB = (4 , 1).x r A AE = 3 AC，： AE = 3 , 3 ,茗 2、 f 12、(X1 +1 , yd = 3，3，故 E 3 , 3.1 . - 2 BF = 3BC, BF = -3，1 ,(2、- (X2 3 , y2 + 1) = i 3 , 1 ,丄，疗、 怡 2)故 f3，. - EF = 3， 2.(2、8又 4X 3 3 X ( 1) = 0， EF / AB .课时达标检测一、选择题1若a= (6,6) , b = (5,7) , c

13、= (2,4)，则下列命题成立的是()A. a c与b共线B. b+ c与a共线C. a与b c共线D . a+ b与c共线答案：C2 .已知向量 a= (1,0) , b= (0,1) , c = ka+ b(k R), d = a b,如果 c / d,那么()A. k= 1且c与d同向B. k= 1且c与d反向C. k= 1且c与d同向D. k= 1且c与d反向答案：D 3.已知向量a= (2,3) , b= ( 1,2)，若ms+ nb与a 2b共线，则 瑋n1A. 2 B.C. 2 答案：Ac等于(4.已知 a = (5 , 2), b= ( 4, 3) , c = (x, y)，且

14、 2a+ b 3c= 0,A. -2, 3 B2,7c. 2,- 3 D.-2,- 3答案：C5 .已知 a = ( 2,1 cos 0 ),b= 1 + cos 0， 4，且 a / b,则锐角等于(A. 45B . 30C. 60D . 30 或 60答案：A二、填空题6. 已知 AB = (6,1) , BC = (x, y) , CD = ( 2, 3)，若 BC / DA，则 x+ 2y 的值答案：07. 已知向量 a= (2 , 1) , b= ( 1, m , c= ( 1,2)，若(a+ b) / c,贝U m=答案：18 .在 ABC中，点 P在 BC上，且 BP = 2 P

15、C，点 Q是 AC的中点，若 PA = (4,3) , PQ=(1,5)，则 BC =.答案：(6,21)三、解答题9平面内给定三个向量a= (3,2) , b= ( 1,2) , c = (4,1)，回答下列问题:(1) 求 3a+ b 2c；(2) 求满足a= mb nc的实数 m n；(3) 若(a+ kc) / (2 b a)，求实数 k.解：(1)3 a+ b 2c= 3(3,2) + ( 1,2) 2(4,1)=(9,6) + ( 1,2) (8,2)=(9 1 8,6 + 2 2) = (0,6) a= mb nc.(3,2) = m 1,2) + n(4,1) = ( m+ 4

16、n,2m+ n)./. m+ 4n= 3 且 2m+ n5=2,解得 m= 9,/ (a+ kc) / (2 b a),又 a+ kc = (3 + 4k, 2+ k), 2b a= ( 5,2), 2X (3 + 4k) ( 5) X (2 + k) = 0.161310. 已知A(2,1),巳0,4) , C(1,3) , D(5 , 3).判断AB与CD是否共线？如果共线, 它们的方向相同还是相反?解：AB = (0,4) (2,1) = ( 2,3),CD = (5 , 3) (1,3) = (4, 6)./ ( 2) X ( 6) 3X 4= 0 , AB与CD共线且方向相反.1 1 - 1 11如图所示，已知 AOB , A(0,5) , O(0,0) , B(4,3) , OC =: OA , OD = ； OB , AD