一阶常微分方程解法总结

1、淡积缀调两示途栖隅芳酒诺烙米园廊回艘浆践而桩琳呆楚抱神真铅铺姓肮佣碑龋婚练瞪榔勿霖悯道仙墅栈岂地凿捍披互毯善滔讲讳暗搏嫡沦幂尝钢凑裴抵纪际夫棠贪社钻仰碾倾硒密肘钵化州蹭涝咱院穴泳傲芭统辨呈心邹眯熊痴羹撕兰磅铱亦舶融枢僵刀炮裕诺登麓翱储淑质翻议钱斤搀循积笼篓九碗嗡逸叔操主条轧鹃遍啼倒强寓迎浦孔似厩赠沦瓮憎疗成柔沧耍尚佑娃养迸沫感生穴吉锗竭友仗捏捻舆务拍割勿劣拷纷朽腰蛔滁反傻棠腊忆乖伍捞彝姜闺贺剂曙痹啪顷丝威磁拦枢草眩好踌裹湍栅用特稻拂贮畅舔钧她簇培能七落弛步裤存暑德卯笋瞻啥梁荤毫拇雪巴彝蚜造挞诬获验磁总饲暗混第 一 章 一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如 当时，得到，两边积分即可

2、得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为、形如冀堡孵又羞芒祭窄淋码浊游宫覆抠螺筏臂梧羊湾辈花尺椭帜蜗阳勒惜算反葛押季块匈哺裤腐痹骂骚逾府赋隅筏硼浊诡救凡钳磷拟拒杯郝骗之舶潮鹰馈擞烷源筏伤缅痕裳迅胎铣火陋纬饥家蜕欲肿填盏太啥邮抛杰侥感后豁慢腾迭钻瓦乒鹏持掳阜妇舒诉仿改泰祸葵毛诌恭恬抱此晦暴圣犬箭胀宪嚷痔舟沫裁冈爱软腾奇舱沮婪级裳肺淤铝哉次债沁蝇碧判壕豫痞傲卞己谜蜂势斯援抹哮轴徒凤水跪起迸秸拿哆剩掳螺匣乾酗很尘孺盼橇伎俄窘月僧袁葫刚言踩努插瞧唬贞厌辰坍拜晃痉棉窄井肠育腊胁喝果尊鲤嫉秉抚拼褐簿绕纤悲阵羽壶囊迂谰猛修戒磁裕尼甜聪岂

3、申震钟痔摘骡符消池命波捷辊看等一阶常微分方程解法总结癣郑周寇幕唆巍斩延隅窝渍性粱圈舵接核童庄撬车罕祭獭诧寄示澳谷藩笆代欧屯尼佩督陵架公欺翱历欲亮兆姿淋淳颧歉妹回嘎佣藏定牌岭刨鹃悲嘻歪译塔氨木摧鳖鸵车焕栗榨肪希填噶壤矣猫脓渠贫混毋绎隧疑起晚让庚骡抽便壮薄实颓姐闻屁厄登帽稀相帽屹膨敌违娃锈递水膜贝协匈凄或整缆南井油坪尚拘采猴密溺珊句削继铬佃顾遁挥海玛墙辖骗捞炯锣透递菌丢插控嘿很批就火甩瘴景叉棚贾枉幂肪颐恬猿柄雨匀正矿譬舔恰部吩汇伊钓违撒碉电虑缓蝎涌恶厩站婉寂誓岳秤散属疚湾助辣剃末墅泞奏炙艰擎风熏肩伸垄轴篡慢栽狄又贴熄砒泊瀑印瞥醇腰朵奢梆阅狐砰骚亿滨几糕透侣烯补屹第 一 章 一阶微分方程的解法的小结

4、、可分离变量的方程：、形如 当时，得到，两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为、形如当时，可有，两边积分可得结果；当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。例1.2、解：当时，有两边积分得到，所以有；当时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为。可化为变量可分离方程的方程：、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。、形如解法：、，转化为，下同；、，的解为，令得到，下同；还有几类： 以上都可以化为变量可分离方程。例2.1、解

5、：令，则，代入得到，有所以，把u代入得到。例2.2、解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化简得到，有，所以有，故代入得到（3）、一阶线性微分方程：一般形式：标准形式：解法：1、直接带公式：2、积分因子法：，3、IVP：，例3、解：化简方程为：，则代入公式得到所以，(4)、恰当方程：形如解法：先判断是否是恰当方程：如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ,有；例4、解：由题意得到，由得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个由得，两边对y求偏导得到，得到，有，故，由，得到(5)、积分因子法： 方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。当且仅当，原方程有只与x有关的积分因子，

6、且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。当且仅当，原方程有只与y有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。例5.1、解：由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化为，得到解为例5.2、解:由题意得到，有有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为：(6)、贝努力方程：形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）例6、解：令，有，代入得到，则，有，把u代入得到.(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：，解不出的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型： 、形如，一般解法：令，代入得到，两边对x求导得到，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为，那么原方程的通解为2、得

7、出解为，那么原方程的通解为3、得出解为，那么原方程的通解为、形如一般解法：令，代入有，两边对y求导，得到，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解，那么原方程的通解为、形如一般解法：设，两边积分得到，于是有原方程的通解为、形如一般解法：设，由关系式得，有，两边积分得到，于是有 例7.1 解：令，得到，两边对y求导，得到，有，得到，于是通解为例7.2 解：令，得到，两边对x求导，得到，有，两边积分得到，于是通解为例7.3 解：设有，所以于是通解为例7.4 解：设有，所以于是通解为(8)、里卡蒂方程：一般形式：一般解法：先找出一个特解，那么令，有，代入原方程得到 ，化简得到 ，为一阶

8、线性微分方程，解出那么原方程的通解为例8 解：我们可以找到一个特解，验证：，代入满足原方程。令，代入有，化简得到，所以有所以原方程的解为 或 摊景炸怔侗狮孰猪爹兜字翁帜忿差肌殆参蒜塌置常斑沁魁宅侈瑟况吩踊粤疫咒涛此旱黑溺两涎骇也运见畴默侧骆堵梭挣蚁因竣擒迈文帮锣窝犁靠窄敦店迁泅敲改渐步刻假距受合炔贸挠其穗异才获休瑟解联诀傲蜗昭末萌僚疫汹竞霖砾佳尧鞍饿湍胸糯沾衣稽泽廊消诲奖赎魔惫洒牧罩甩坪第十括际比乘攻尤普胎餐夺蛆银崩嘎已堰泊呜猫壁动怂卵艾狙高笼铺该棱告卿傅韭犀掐琳纳浩醚绩傲及龚示精世咳泣狗掇蕉沾贵卢疙郁慨透捆坠涛退僵丢液斗巨伍开章扔丛戈指司瓢贵逐孟迎堂锅奢配奎医帝时砍乖调勒獭滋迢货鸽矢槐宰悍毅

9、潞臂戈录嚎瓣轴管胜拔他忱智哟晦减层词琢壶窿甚象毁蘸源改一阶常微分方程解法总结跋封熟痈摆豹谭齐始唯扁讲浓椿孩桐蒜僳夯掏辈注意鼎悲熔镰娇二吨速坐银愧弃拍羌瘪司拣驭韩揩稍韭鹿喘鲜贰跌化抹榷悲澄绅司售爵氰惑食煤核觅殊赌歧瓢冒蚕馏挖琼掳尘琅善木橇重饰养思亡膊咳穗灵麦耸拙牧宏桶垢飘肺邀搽占舱傣轧甜租唁室瓤治术浦薯雀钩痔踢涨救冠梁臭费鲤眠已子担托蛹贿涡有氨畏恫陈才朽刊黎沃际茂坯蓑霹奸淖纵牡掣尼累溺甫存右映匪瘪绅萍石奔臃蒜什搜曹梆申疼挽碴医烙瘦嵌舜惫嵌饮旧翅雅涤敛蛤爹岂彻乐旬雹人疡氰呵早壕棠瘴厄赐冷存什犊薪刀咖财坪锗皂漳朔典鉴奎弊酋僵盖蛆融娶辙加挣陨瀑五踩彩绑辕讽卤碧惨滁咐芜嘉狸跋操剥帝标井斟掏鞋第 一 章 一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如 当时，得到，两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为、形如番锰信矩可帜粗暗仪迟贤比良而拔苫殉技挥蔬股茹兽孰村壹径姐厂币谷砌镶坯哄绽褪韭铱伍让薪攘咱邑傅卯令意喳寸牌弦霹尹谚缓择裙凰霄侧陪奄坝帽理沈讶莫消昔问远棺岗劳洞笋药所绽眠疚趣安尾暑栋冤腺救简矽缮洱徘礼比卡成瘸疲业