立体几何证明

1、1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，面ABCD，E是PC的中点求证:（1）平面BDE；（2）平面平面BDE1解：（1）连接是正方形的中心 为中点，又为中点 .2分 平面，平面 .4分 平面.5分（2） 是正方形的中心 .7分平面，平面 .9分平面， 平面.10分平面 平面平面.12分2.如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1)若ABBC，且CPPB，求证：CPPA；(2)若过点A作直线l平面ABC，求证：l平面PBC.3、证明：(1)因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.因为CP平面PBC，所以CPAB.又

2、CPPB，且PBABB，AB，PB平面PAB，所以CP平面PAB.又PA平面PAB，所以CPPA.(2)在平面PBC内过点P作PDBC，垂足为D(图略)因为平面PBC平面ABC，又平面PBC平面ABCBC，PD平面PBC，所以PD平面ABC.又l平面ABC，所以lPD.又l平面PBC，PD平面PBC，所以l平面PBC.3如图，已知四棱锥S ABCD，底面梯形ABCD中，ADBC，平面SAB平面ABCD，SAB是等边三角形，已知AC2AB4，BC2AD2CD2，M是SD上任意一点，SMmMD，且m0.(1)求证：平面SAB平面MAC；(2)试确定m的值，使三棱锥S ABC的体积为三棱锥SMAC体

3、积的3倍解：(1)证明：在ABC中，由于AB2，AC4，BC2，AB2AC2BC2，故ABAC.又平面SAB平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，AC平面ABCD，AC平面SAB，又AC平面MAC，故平面SAB平面MAC.(2)由(1)知，SABC244，SACD42，VS MACVM SACVD SACVS ACD，23，m2，即当m2时，三棱锥S ABC的体积为三棱锥S MAC体积的3倍4.如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PA=AB=BC=4,ABC=90, PC=4,D为线段AC的中点,E是线段PC上一动点.(1)当DEAC时,求证:PA平面DEB.(2)当BDE的面积最小时,

4、求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)在RtABC中,AC=4,在PAC中,由PA2+AC2=PC2知PAAC,所以PAED,又PA平面EDB,ED平面EDB,所以PA平面EDB.(2)在等腰直角ABC中,由D为AC中点知,DBAC,又由PAAC,PAAB,ABAC=A,知PA平面ABC,因为DB平面ABC,所以PADB,又DBAC,PAAC=A知DB平面PAC,因为DE平面PAC,所以DEDB,即EBD为直角三角形,所以DE最小时,BDE的面积最小,过点D作PC的垂线,当E为垂足时,DE最小为,求得EC=,所以VE-BCD=SBDEEC=.5.如图，在四棱锥EABCD中，AEDE，CD平面

5、ADE，AB平面ADE，CD3AB.(1)求证：平面ACE平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：因为CD平面ADE，AE平面ADE，所以CDAE.又AEDE，CDDED，所以AE平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且，使AF平面BCE.设F为线段DE上一点，且.过点F作FMCD交CE于点M，连接BM，AF，则FMCD，如图所示因为CD平面ADE，AB平面ADE，所以CDAB.又FMCD，所以FMAB.因为CD3AB，所以FMAB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以

6、AFBM.又AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF平面BCE.7如图，在平面图形中，四边形ABEC与ADFC为全等的平行四边形，BACDAC30，ABAD，BEDF2，将EBC和FDC分别沿BC，DC折起，使E，F重合于点P.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)若M为PA的中点，求多面体PMBCD的体积解：(1)证明：由题意，可得ECBC，FCDC，因为折起后E，F重合于点P，所以PCBC，PCDC.又BCCDC，所以PC平面ABCD.因为BD平面ABCD，所以BDPC.在四边形ABCD中，BACDAC，ABAD，所以BDAC，又ACPCC，所以BD平面PAC，又BD平面PBD，所以平面

7、PBD平面PAC.(2)设ACBDO，由(1)知，BDAC，且PC平面ABCD，又M为PA的中点，所以M到平面ABCD的距离为PC，V四棱锥PABCDS四边形ABCDPCACBDPC21，V三棱锥MABDSABDPCBDOAPC，因此多面体PMBCD的体积为1.8.如图，在四面体ABCD中，AC6，BABC5，ADCD3.(1)求证：ACBD；(2)当四面体ABCD的体积最大时，求点A到平面BCD的距离解：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接OB与OD，BABC，ACOB，ADCD，ACOD，又ODOBO，AC平面OBD，又BD平面OBD，ACBD.(2)由题可知，当四面体ABCD的体积最大

8、时，平面DAC平面ABC，DOAC，DO平面ABC，又OB平面ABC，DOOB，DADC3，AC6，ABBC5，OD3，OB4，DB5，又BC5，在BCD中，CD边上的高h，SBCDCDh3，SABCACOB6412.设点A到平面BCD的距离为d，VABCDVDABC，即SBCDdSABCOD，d，点A到平面BCD的距离为.9.如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF5，AC，BD交于点O.(1)证明：平面AEC平面BEFD；(2)若cosBAD，求几何体ABCDFE的体积解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，BE平面ABCD，AC平面ABCD，BEAC，又BEBDB，AC平面BEFD，AC平面AEC，平面AEC平面BEFD.(2)BE平面ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)224，BD2