分类计数原理与分步计数原理

1、分类计数加法原理与分步计数乘法原理,实际问题,从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路， 问：从甲地到丁地有多少种走法,要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理 分类计数原理与分步计数原理,导入新课,问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法,因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：325（种,分类计数原理与分步计数原理,1、分类计数原理,定义,加法原理,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m

2、1种 不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法， 在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法,解：取一个球的方法可以分成两类,一类是从装白球的袋子里取一个球,60个,40个,例1： 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球， 从中任取一个球，有多少种求法,例1： 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球， 从中任取一个球，有多少种求法,解：取一个球的方法可以分成两类,一类是从装白球的袋子里取一个球,60个,40个,例1： 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球， 从中任取一个球，有多少种求法,解：取一个球的方法可以分成两类,一类是从装白球的袋

3、子里取一个白球,60个,40个,有40种取法,另一类是从装红球的袋子里取一个红球,例1： 两个袋子里分别装有60个红球，40个白球， 从中任取一个球，有多少种求法,解：取一个球的方法可以分成两类,一类是从装白球的袋子里取一个白球,40个,60个,有40种取法,另一类是从装红球的袋子里取一个红球,有60种取法,因此取法种数共有,40+60=100（种,例1： 两个袋子里分别装有60个红球，40个白球， 从中任取一个球，有多少种求法,解：取一个球的方法可以分成两类,一类是从装白球的袋子里取一个白球,有40种取法,另一类是从装红球的袋子里取一个红球,40个,60个,问题2：如图,由A村去B村的道路有

4、3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法,解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法,2、分步计数原理,定义,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法,乘法原理,例2： 两个袋子里分别装有40个红球与60个白球， 从中取一个白球和一个红球，有多少种取法,60个,40个,解：取一个白球和一个红球可以分成两步 来完成

5、,第一步从装白球的袋子里取一个白球,例2： 两个袋子里分别装有40个红球与60个白球， 从中取一个白球和一个红球，有多少种取法,60个,40个,解：取一个白球和一个红球可以分成两步 来完成,第一步从装白球的袋子里取一个白球,有60种取法,对于这每一种取法，第二步从装红球的 袋子里取一个红球，都有40种取法,因此取一个白球和一个红球的方法共有,60 40=2400（种,思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系,联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不 同方法的种数的问题,区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用 其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理 与“

6、分步”有关， 各个步骤相互依存，只有各个步骤都 完成了，这件事才算完成,例3： 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法,解: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种 不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 m2 = 4 种不 同的方法; 所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种,例3： 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)

7、从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法,解,2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步, 选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种,点评: 解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”，“分类完成”用“加法原理”，“分步完成”用“乘法原理,1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同 的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 （1）从书架上

8、任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法,4+3+2=9（种,4 3 2=24（种,2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？ （各位上的数字不允许重复,6 5 4 3=360（个,3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个 数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码,练习1,有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”， 综合应用分类计数原理和分步计数原理请看下面的例题,注意,例4： 某城市电话号码由8位组成，其中从左

9、边算起的第1位只用 6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，,9中任意 选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少门,1,2,3,4,5,6,7,8,第1类,6,解：装一门电话需要指定一个 电话号码，由题意电话号码可以 分成两类,第1类电话号码第1位用6,确定其余7位号码可以分7步完成,10,10,10,10,10,10,10,因此第一类电话号码共有,1,2,3,4,5,6,7,8,第2类,8,某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到 5楼共有多少 种不同的走法,3 3 3 3=81（种,练习2,实际问题,从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路， 问：从甲地到丁地有多少种走法,小结,请同学们回答下面的问题,1. 本节课学习了那些主要内容,答: 分类计数原理和分步计数原理,2. 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么,答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情,