(完整)高中数学必修一函数知识点和练习,推荐文档

1、博龙教育 2014-2015 学年度上学期高中数学讲义函数的有关概念1. 函数的概念：设 a、b 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对 于集合 a 中的任意一个数 x，在集合 b 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f：ab 为从集合 a 到集合 b 的一个函数记作： y=f(x)，xa其中， x 叫做自变量，x 的取值范围 a 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域2. 定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2

2、) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必须大于零；(4) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(5) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件）定义域一致 (化简前)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；- 19 -我们关注每一位学生！4. 值域： 先考虑其定义域（1） 图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、y = ax + b (a, b 0) 三

3、角函数等的图像，利用函数单调性）x（2） 基本不等式（3） 换元法（4） 判别式法5. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xa)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 p(x，y)的集合 c，叫做函数 y=f(x),(x a)的图象c 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)均在 c 上 .(2) 画法描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换对称变换6. 区间的概念（1） 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2） 无穷区间（3） 区间

4、的数轴表示7. 映射一般地，设 a、b 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 a 中的任意一个元素 x，在集合 b 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应 f：a b 为从集合 a 到集合 b 的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象） b（象）”对于映射 f：ab 来说，则应满足：(1) 集合 a 中的每一个元素，在集合 b 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合 b 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 b 中的每一个元素在集合 a 中都有原象。8分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的

5、自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集9复合函数如果 y=f(u)(um),u=g(x)(xa),则 y=fg(x)=f(x)(xa)称为 f、g 的复合函数。函数的性质1. 函数的单调性(局部性质)（1） 增函数设函数 y=f(x)的定义域为 i，如果对于定义域 i 内的某个区间 d 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 d 上是增函数.区间 d 称为 y=f(x)的单调增区间。（2） 减函数如果对于区间 d 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2

6、)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 d 称为 y=f(x)的单调减区间。注意：函数的单调性是函数的局部性质；（3） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（4） 函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：1 任取 x1，x2d，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 d 上的单调性）(b) 图象

7、法(从图象上看升降) (c)导数法(c) 复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成其并集. 2. 函数的奇偶性（整体性质）（1） 偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数。（2） 奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)= -f(x)，那么 f(x)叫做奇函数。注：如果奇函数在 x=0 处有定义，则 f(0)=0（3） 具有奇偶性的函数的图象

8、的特征偶函数的图象关于 y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称（4） 函数奇偶性判定方法：(a) 定义法1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2求出 f(-x)，与 f(x)进行比较；3作结论：若 f(-x) = f(x)，则 f(x)是偶函数；若 f(-x) = -f(x)，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定。(b) 借助函数的图象判定 .3、函数的解析表达式（1） 函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对

9、应法则，二是要求出函数的定义域.（2） 求函数的解析式的主要方法有：凑配法、待定系数法、换元法、构造法4、函数最大（小）值（1） 一般的，设函数 y = f (x) 的定义域为 i，如果存在实数 m 满足（a）对于任意的 x i , 都有 f (x) m ；（b）存在 x0 i ，使得 f (x0 ) = m那么称 m 为 y = f (x) 的最大值。（2） 求函数最值的方法1 利用二次函数的性质（配方法）2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值 f

10、(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；函数的概念一、选择题1. 集合 ax|0x4，by|0y2，下列不表示从 a 到 b 的函数是()a. f : x y = 1 x2b. f : x y = 1 x3c. f : x y = 2 x3d. f : x y =x2. 某物体一天中的温度是时间t 的函数：t(t) =t3 -3t+60，时间单位是小时，温度单位为，t = 0表示12:00，其后t 的取值为正，则上午8 时的温度为()a8b112c58d181- x3. 函数 y x1的定义域是a（-1，1

11、）b0，1c-1，1d（- ，-1） u （1，+ ）4. 函数 y = f (x) 的图象与直线 x = a 的交点个数有()a. 必有一个b一个或两个 c至多一个d可能两个以上5. 函 数 f (x) =1ax2 + 4ax + 3的定义域为 r，则实数 a 的取值范围是()a.rb 0, 34c34,+)d0, 3)4二、填空题6. 某种茶杯，每个 2.5 元，把买茶杯的钱数 y(元)表示为茶杯个数 x(个)的函数，则y，其定义域为7. 函数 y 1 x12x的定义域是(用区间表示)3、解答题18. 求函数 yxx24的定义域9. 已知函数 f (x) 的定义域为0，1，求函数 f (x

12、 + a) + f (x - a) 的定义域(其中10 a ).210.已知函数 f (x) = x2 + x -1(1)求 f (2)(2)求 f (1 +1) (3)若 f (x) = 5 ,求 x 的值.x函数相等、函数的值域1. 下列各题中两个函数是否表示同一函数? (1) f (x) = 1 , g(x) = x0()（2） f (x) = x2 - 4 , g(x) = x + 2()x - 2（3） f (x) = x2 - 2x , g(t) = t 2 - 2t ( )x -1(x 1)（4） f (x) =| x -1| , g(x) = ()1- x(x 0)b y =

13、x2c y =1x2 -1d2 (x 0)x3.设函数 f (x) = x2 - 3x +1 ,则 f (a) - f (-a) =a0b - 6ac 2a2 + 2d 2a2 - 6a + 24.已知 f (x) 满足 2 f (x) + f (-x) = 3x + 2 ,且 f (-2) = - 16 ,则 f (2) =35. 已知函数 f (x) =x21+ x2(1) 计算 f (2) 与f ( 1 ) 2(2) 计算 f (3) 与1f ( )3(3)计算 f (1) + f (2) + f (3) +. + f (2011) + f ( 1 ) + f (1) + f ( 1 )

14、 +. + f ( 1 )23420116. 求下列函数的值域:(1) y = 2x - 4x + 3(2) y = x2 - 4x + 6, x 1,5) (3) y = 1- x2 , x -2,-1,0,1,213- 4x7. 求函数 f (x) = 2x - 3 -的定义域和值域.(提示:设t = 13- 4x )函数的表示法1. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法 的 是 ( )2.已知 f (2x) = 2x ,则 f (x) =a. 2xb.xxc.d 4x23

15、.已知函数 f(x)x2pxq 满足 f(1)f(0)0，则 f(4)的值是() a5b5c12d204.已知 f (x) 是一次函数,若 2 f (2) - 3 f (1) = 5 , 2 f (0) - f (-1) = 1,则 f (x) 的解析式为a f (x) = 3x + 2b f (x) = 3x - 2c f (x) = 2x + 3d f (x) = 2x - 3 5定义域为 r 的函数 f(x)满足 f (x) + 2 f (-x) = 2x +1，则 f (x) ()1a2x1b2x31c2x1d2x36.若g(x) =1- 2x , f (g(x) = 1- x2 ,则

16、 f (1 ) 的值是x22a1b15c4d307.函数 f (x) 的图象经过点(1,1),则函数 f (x - 4) 的图象过点 8.已知 f (x) 是二次函数, f (0) = 0, f (x +1) = f (x) + x +1,求 f (x) .9.若 f ( f ( f (x) = 27x + 26 ,求一次函数 f (x) 的解析式.分段函数与映射1已知 f(x)error!则 f(f(f(4)() a4b4c3d3- 2x +1(x - 12d. a 123. 函数 y=4x2-mx+5 在区间) )上是增函数，在区间)， )上是减函数，则m=;4. 根据图象写出函数 y=f

17、(x)的单调区间：增区间；减区间：y-30-13x5. 函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4 在2,+)上是增函数, 则 a 的取值范围是.6. 判断函数 y = x + 4 在在2，+ )上的单调性,并用定义证明.x7. 已知函数 f (x) 是定义在-1,1上的增函数,且 f (x -1) f (1- 3x) ,求 x 的取值范围.函数的最大（小）值与值域1.当 x 0,5 时,函数 f (x) = 3x2 - 4x +1的值域为a. f (0), f (5)12b. f (0), f ( )3c. f (2), f (5)3d. ( f (0), f (5)2. 函数 f (x)

18、= x -1 在区间2,6上的最大值和最小值分别是a. 1 ,15b.1, 15c. 1 ,17d.1, 172x -13. 函数 f ( x) =+ x 的值域是a. 1 ,+)b. (-, 1 c. (0,+)d.1,+)222x,0 x 14. f (x) =2,1 x 2的值域是3, x 2a. rb. 0,3c. 0,+)d.0,2 u35.若0 t 11,则代数式4t- t 的最小值是a. - 215b. c.2d.046.函数 y = f (x) 的定义域为-4,6 ,且在区间-4,-2 上递减,在区间(-2,6 上递增,且 f (-4) f (6) ,则函数 y = f (x)

19、 的最小值是,最大值是 7. 函数 y = 2x2 +1, x n * 的最小值为 8. 已知函数 y = x2 - 2x + 3 在区间0, m 上有最大值 3,最小值 2,求 m 的取值范围.函数的奇偶性1. 下面说法正确的选项 （） a函数的单调区间可以是函数的定义域 b函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间c具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称d关于原点对称的图象一定是奇函数的图象x2. 函数 f (x) = x2 +是a偶函数b奇函数c既奇且偶函数 d非奇非偶函数3函数 y = x | x | + px ， x r 是（） a偶函数b奇函数c非奇非偶函数 d与 p 有关4. 如

20、果偶函数在a, b 具有最大值，那么该函数在-b,-a 有（）a最大值b最小值 c 没有最大值 d 没有最小值5. 如果函数 f (x), x r 是奇函数,且 f (1) f (2) ,则必有a f (-1) f (-2) c f (-1) = f (1)d f (-1) = f (-2)x6. 函数 f (x) 在 r 上为奇函数，且 f (x) =+ 1, x 0 ，则当 x 0)4. 设函数 f ( x) = ，则1 ( x 0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是（）a0a1b0 0 ， 则12x - xa f (3) f (-5)b f (-3) f (3)d f

21、 (-3) f (-5)8. 已知函数 y=f(x)在 r 上为奇函数,且当 x 0 时，f(x)=x2-2x,则 f(x)在 x 0 时的解析式是（）a f(x)=x2-2xb f(x)=x2+2xc f(x)= -x2+2xd f(x)= -x2-2x09. 已知二次函数 y=f(x)的图象对称轴是 x = x ,它在a,b上的值域是 f(b),f(a),则（）0a.x bb.x0 ac.x0a, bd.x0a, b10. 如果奇函数 y=f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为 5，则在区间-7,-3上（）a增函数且有最小值-5b 增函数且有最大值-5 c减函数且有最小值-5d减函数且

22、有最大值-513已知函数f (x) =x21 + x211， 则 f (1) + f (2) + f (3) + f ( ) + f ( ) =2314 设 f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则 g(x)=15定义域为a2 - 3a - 2, 4 上的函数 f(x)是奇函数，则 a=16设 f ( x) = x3 - 3x, g ( x) = x2 - 2 ，则 g ( f ( x) =17. 作出函数 y = - x2 + 2x + 3 的图象，并利用图象回答下列问题：(1)函数在 r 上的单调区间；(2)函数在0,4上的值域x + x118. 定义在 r 上的函数 f(x)满

23、足：如果对任意 x1，x2r，都有 f( 12 )f(x1)22+f(x2)，则称函数 f(x)是 r 上的凹函数.已知函数 f(x)ax2+x(ar 且 a0)，求证：当a0 时，函数 f(x)是凹函数；19. 定义在(1，1)上的函数 f(x)满足：对任意 x、y(1，1)都有 f(x)+f(y)x + y=f()1 + xy(1)求证： f(x)是奇函数；(2)当 x(1，0)时，有 f(x)0，求证：f(x)在(1，1)上是单调递减函数；20. 函数 f(x)定义域 d，若存在 x0d，使 f(x0)=x0 成立，则称 (x0，y0)是函数 f(x)的图象上的“稳定点”3x - 1(1) 若函数 f(x)=的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数 a 的