第一章　直角三角形的边角关系 C中考挑战区

1、第一章直角三角形的边角关系,数学九年级下册北师,答案,1.B【解析】sinCAB= = 3 2 6 = 2 2 ,CAB=45.CAC=15,CAB=CAC+CAB=15+45=60, sinCAB= ,即sin 60= 6 ,则BC=6sin 60=6 3 2 =3 3 (m).故选B,1.2020吉林长春期中如图,钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的鱼线BC长3 2 m,钓者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15到AC的位置,此时露在水面上的鱼线BC的长度是 () A.3 mB.3 3 m C.2 3 mD.4 m,答案,2.B【解析】如图,过点A作AEBC于E,AB=AC,BE=EC=

2、 1 2 BC.在RtAEC中,cos C= = 1 3 ,AC=3EC,AC= 3 2 BC.在RtBCD中,cos C= = 1 3 ,BC=3CD,AC= 9 2 CD, = 7 2 , = 1 2 1 2 = = 2 7 .故选B,2.2020上海松江区期中如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,cos C= 1 3 ,则BCD与ABD的面积比是 () A.13 B.27 C.29 D.211,3.2020山东滨州一模某数学社团开展实践性研究活动,如图,在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37方向,向北走105 m后到达游船码头B,测得历下亭C在游船码头B的北偏东53

3、方向,则南门A与历下亭C之间的距离约为 () (参考数据:tan 37 3 4 ,tan 53 4 3 ) A.225 m B.275 m C.300 m D.315 m,答案,3.C【解析】如图,过点C作CEAB交AB延长线于点E.设EC=x m,BE=y m.在RtECB中, tan 53= = ,在RtAEC中,tan 37= = 105+ ,x180,y135,AC= 2 + 2 18 0 2 +(105+135 ) 2 =300(m).故选C,答案,4. 25 4 【解析】在RtABC中,BC=8,tan A= = 4 3 ,所以AC=6.连接AD,由DE垂直平分AB可得AD=BD,

4、设BD=x(x0),则AD=x,CD=BC-BD=8-x,在RtACD中,AC2+CD2=AD2,所以62+(8-x)2=x2,解得x= 25 4 ,故BD= 25 4,4.2020广东广州模拟如图,在RtABC中,C=90,边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,如果BC=8,tan A= 4 3 ,那么BD,5.2020浙江杭州模拟如图,ABC中,ACB=90,sin A= 4 5 ,BC=8,D是AB的中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E. (1)求线段CD的长; (2)求cosABE的值,答案,5.【解析】(1)在ABC中,ACB=90,sin A= = 4 5 ,BC=8,

5、 AB=10. D是AB的中点,CD= 1 2 AB=5. (2)在RtABC中,AB=10,BC=8, AC= 2 2 =6. D是AB的中点, BD=5,SBDC=SADC, SBDC= 1 2 SABC,即 1 2 CDBE= 1 2 1 2 ACBC, BE= 68 25 = 24 5 , 在RtBDE中,cosDBE= = 24 5 5 = 24 25 , 即cosABE的值为 24 25,6.2020山东聊城模拟某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图1所示,CD部分),在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45,底端D点的仰角为30,在同一剖面沿水平地面向前走2

6、0米到达B处,测得顶端C的仰角为63.4(如图2所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米. (精确到1米.参考数据:sin 63.40.89,cos 63.40.45,tan 63.42.00, 2 1.41, 3 1.73,答案,6.【解析】 设楼高CE为x米. 在RtAEC中,CAE=45,AE=CE=x米. AB=20米,BE=(x-20)米. 在RtBEC中,CE=BEtan 63.4=tan 63.4(x-20)米. tan 63.4(x-20)=x,解得x40. 在RtDAE中,DE=AEtan 30=40 3 3 = 40 3 3 (米), CD=CE-DE40- 40 3 3

7、 17(米). 答:大楼部分楼体CD的高度约为17米,答案,1.B【解析】在RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin B= ,即b=csin B,故A选项不成立,B选项成立;tan B= ,即b=atan B,故C选项、D选项不成立.故选B,1.2020浙江杭州中考如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 () A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B,答案,2.A【解析】如图,连接BD,根据勾股定理的逆定理可得BDAC,在RtABD中, tan A= = 1 2 .故选A,2.2020四川凉山

8、州中考如图所示,ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 () A. 1 2 B. 2 2 C.2D.2 2,答案,3.D【解析】在RtBCD中,cosBDC= = 5 7 ,设CD=5x(x0),则BD=7x,BC=2 6 x.AB的垂直平分线EF交AC于点D,AD=BD=7x,AC=AD+CD=12x.AC=12,x=1,BC=2 6 .故选D,3.2019湖南湘西州中考如图,在ABC中,C=90,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若cosBDC= 5 7 ,则BC的长是 () A.10B.8 C.4 3 D.2 6,4.2020重庆中考B卷如图,垂直于水

9、平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处,某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A,B,C在同一直线上),再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A,B,C,D,E在同一平面内),在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43,悬崖BC的高为144.5米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=12.4,则信号塔AB的高度约为 () (参考数据:sin 430.68,cos 430.73,tan 430.93) A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米,答案,4.D【解析】如图,过点E作EFDC交CD的延长线于点F,过点E作EMAC于点M.易知四边形EFCM为矩形,则EM=CF,C

10、M=EF.设EF=x米,斜坡DE的坡度(或坡比)i=12.4,DF=2.4x米.在RtDEF中,DE=78米,EF2+DF2=DE2,即x2+(2.4x)2=782,x=30, EF=30米,DF=72米,又DC=78米,CF=DF+DC=72+78=150(米),EM=CF=150米,CM= EF=30米.在RtAEM中,AM=EMtanAEM=EMtan 431500.93=139.5(米),AC=AM+CM139.5+30=169.5(米), AB=AC-BC169.5-144.5=25(米).故选D,答案,5. 2 3 【解析】如图,过点D作DEBC,垂足为E,ACB=90,DEBC,

11、DEAC,又点D为AB边的中点,BE=EC= 1 2 BC=2.在RtDCE中,cosDCB= = 2 3,5.2020山东菏泽中考如图,在ABC中,ACB=90,点D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cosDCB的值为,6.2020浙江湖州中考有一种升降熨烫台如图1所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图,AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度. (1)如图2-1,若AB=CD=110 cm,AOC=120,求h的值; (2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台

12、的高度为120 cm时,两根支撑杆的夹角AOC是74(如图2-2).求该熨烫台支撑杆AB的长度.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 370.6,cos 370.8,sin 530.8,cos 530.6,答案,6.【解析】(1)如图1,过点B作BEAC于点E. OA=OC,AOC=120,OAC=OCA= 180120 2 =30. 在RtABE中,h=BE=ABsinOAC=ABsin 30=110 1 2 =55,即h的值为55. (2)如图2,过点B作BEAC于点E. OA=OC,AOC=74,OAC=OCA= 18074 2 =53. 在RtABE中,AB= sin = sin 5

13、3 1200.8=150(cm), 即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150 cm,7.2020河南中考位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度,如图所示,他们在地面一条水平步道 MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22,然后沿MP方向前进16 m到达点N处,测得点A的仰角为45,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40, 2 1.41); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m,请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议,答案,7.【解析】(1)如图,过点A作ADPM,交MP的延长线于点D,延长BC交AD于点E. 易知四边形BMNC,四边形BMDE是矩形, BC=MN=16 m,DE=CN=BM=1.6 m. AEC=90,ACE=45, ACE是等腰直角三角形