高三数学第一轮复习轨迹方程的常用求法素材Word版

1、传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！年 级高三学 科数学版 本通用版内容标题高三第一轮复习：轨迹方程的常用求法编稿老师【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为；寻找动点与已知点满足的关系式；将动点与已知点坐标代入；化简整理方程；证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。通常求轨迹方程时，可以将步骤和省略。2. 几种常用的求轨迹的方法：直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨

2、迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然后整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法。参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。说明：利用参数法求动点轨

3、迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：参数的选择要合理，应与动点坐标有直接关系，且易以参数表达。可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。说明：求曲线的轨迹方程是解析几何的两

4、个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用，只要动点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程。另外，要注意一些轨迹问题，都包含一定的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围。由曲线和方程概念可知，在求曲线方程时一定要注意，它的完备性和纯粹性，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”。一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就

5、可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型。【解题方法指导】例1. 设直线与双曲线交于，以为直径的圆过原点，求点的轨迹方程。解析：。设，则有，依题有，即又，有，化简得，故点的轨迹方程为评述：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可利用平面几何知识推出等量关系，求方程可以用直接法，如本题中，推出，从而利用根与系数的关系建立方程。例2. 如图所示，平面的两个顶点分别为椭圆的焦点，且三内角满足，试求顶点的轨迹方程。解析：在中， 又由正弦定理，得，故点的轨迹是以为焦点。长轴长为的双曲线的右支，其方程为。评述：当题设条件符合椭圆、双曲线、抛物线的定义时，可直接写出方程。例3.

6、 如图，已知是圆内的一点，是圆上两动点，且满足，求矩形的顶点的轨迹方程。解析：设的中点为，则中，又，有，即。因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动。设，由为中点，所以有，代入方程，得，整理，得，即点的轨迹方程为评述：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。【考点突破】【考点指要】轨迹问题是高考考查的重点，“求轨迹方程，并说明是什么曲线”是近几年高考的热点，它常常与最值及分类讨论思想结合在一起。多出现在解答题中，选择题和填空题也有出现。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑

7、推理诸方面的能力，对思维能力，思维方法的要求较高，分值大约是514分。考查通常分为三个层次：层次一：考查曲线轨迹方程的求法；层次二：考查判断曲线轨迹方程所表示的曲线类型；层次三：考查所求曲线轨迹方程的完备性和纯粹性。解决问题的基本方法和途径：直接法、定义法、代入法、参数法、几何法、交轨法、待定系数法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】例4. (2006陕西)如图，三定点；三动点满足求动直线斜率的变化范围；求动点的轨迹方程。解析：解法一：设。由，知，同理，即，即所求轨迹方程为，解法二：同上。如图， 设点坐标为，由，得，消去得，故所求轨迹方程为，评述：本题考查了利用参数法求动点轨

8、迹方程，对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对的取值范围的制约。例5. （2006山东）双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线。求双曲线的方程；过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解析：设双曲线的方程为 由椭圆，求得两焦点为，对于双曲线 又为的一条渐近线，解得，双曲线的方程为解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则， 在双曲线上， 同理有若，则直线过顶点，不合题意，是二次方程的两根，此时0，所求点的坐标为解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，分的比为。由定比分点坐标公式得，下同解法一。解法三：由

9、题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，。又，即将代入，得，否则与渐近线平行，解法四：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程为，则。，同理即（）又，消去，得 当时，则直线与双曲线的渐近线平行，不合题意，由韦达定理有，代入（）式得，所求点的坐标为评述：本题考查直接法求轨迹方程，并利用所求得的轨迹方程解决其它综合问题。当研究直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入圆锥曲线方程化为二次方程，讨论二次项系数是否为零，并利用韦达定理得到关系式。【达标测试】一、选择题：1. 设动点是抛物线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 2. 已知椭圆的焦点是

10、，是椭圆的一个动点，如果是线段的中点，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C，双曲线的一支D. 抛物线3. 已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是（）A. B. C. D. 4. 已知是不在同一直线上的三个点，是平面内的一定点，是平面内一动点，若 ，则点的轨迹一定过三角形的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心5. 设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边、点为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 两条平行线C. 抛物线D. 双曲线6. 已知点，动点满足，则点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 如图，已知圆的方程为，点

11、的坐标为，为圆上的任意一点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D. 8. 与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是（）A. B. 和C. D. 和y0（x0）二、填空题：9. 已知点，为圆上任意一点，则线段的中点的轨迹方程为。10. 是椭圆上的任意一点，是它的两个焦点，为坐标原点，则动点的轨迹方程是。11. 的顶点，若，则顶点的轨迹方程为。12. 在平面内：到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线；到定点和定直线的距离之比为的点的轨迹是椭圆。其中正确命题的序号是。三、解答

12、题：13. 已知，动点满足求动点的轨迹方程；是否存在点，使得成为的平分线？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由。14. 已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，满足当点在轴上移动时，求动点的轨迹的方程；设轨迹的准线为，焦点为，过作直线交轨迹于两点，过点作平行于轨迹的对称轴的直线，且，试问点（为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由。15. 如图，已知A（3p，0）（p0），两点分别在轴和轴上运动，并且。求动点的轨迹方程；设过点的直线与的轨迹交于两点，求直线的斜率之和。【综合测试】一、选择题：1. （2004辽宁）已知点，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（ ）A. B

13、. C. D. 2. 已知椭圆的焦点是，是椭圆的一个动点，如果是线段的中点，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线3. (2006河南)复数,为虚数单位，且。在复平面上，复数对应的点的坐标满足，则点的轨迹所确定的图形的面积为（）A. B. C. D. 4. （2005北京）如图，正方体中，点在侧面的边界上运动，并且总保持，则动点的轨迹是（ ）A. 线段B. 线段C. 中点与中点连成的线段D. 中点与中点连成的线段5. (2005北京)方程所表示的曲线是( )A. 双曲线和一个圆B. 双曲线和两条相交直线C. 两条相交直线和一个圆D. 两条平行直线和一个圆6. (20

14、05北京)若为两个定点且,动点满足,则点的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线7. 平面直角坐标系中，为坐标原点。已知，若满足：，其中且，则点的轨迹方程为（）A. B. C. D. 8. (2005湖北)已知两个定点A（a，0）、B（a，0）（a0）,动直线分别绕点、点转动，并保持到的角为45，则与的交点的轨迹是（）A. 一条直线B. 两条相交直线C. 两条平行直线D. 一个圆二、填空题：9. 过椭圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程是。10. (2005重庆)已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为。11. (2005上海)平面

15、直角坐标系中,若定点与动点满足,则点的轨迹方程为。12. (2005江西)以下四个关于圆锥曲线的命题中设为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）。三、解答题：13. (2005江西)设抛物线的焦点为,动点在直线上运动,过作抛物线的两条切线,且与抛物线分别相切于两点。求的重心的轨迹方程；证明。14. 已知椭圆的左、右焦点分别是,是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足。设为点的横坐标，证明；

16、求点的轨迹的方程；试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积若存在，求的正切值；若不存在，请说明理由。15. （2005北京）已知直线与曲线交于两点。设，当时，求点的轨迹方程；是否存在常数，对任意，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；是否存在常数，对任意，都有为常数？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。【达标测试答案】一、选择题 1. 答案：A解析：设，又在已知抛物线上，即 2. 答案：B解析：连结，则。，点的轨迹是以、为焦点的椭圆。3. 答案：D解析：如图所示，设焦点坐标为，分别为到圆的切线的距离。抛物线过点，（为到的距离），即到、的距离之和为，的方程为4. 答案：C解析：由

17、得设中点为，则有，因此点在直线上移动，故经过的重心。 5. 答案：B解析：设点、的坐标分别为，由，得，即又由，得，即由、消去，得点的轨迹方程为与 6. 答案：D解析：，则，化简得，轨迹为抛物线。 7. 答案：C解析：因为点在线段的垂直平分线上，所以，故，即点到定点和的距离之和为定长10，所以动点轨迹是以为焦点的椭圆，中心为，长轴长为10，故点的方程为8. 答案：D解析：设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径r12，由题设得，又，故，化简得，当x0时，；当x0时，所求轨迹方程为和y0（x0）二、填空题： 9. 答案：解析：设，则，将代入得10. 答案：解析：由，又，设，则，即点坐标为，又在椭

18、圆上，则有，即的轨迹方程是11. 答案：解析：设，则，又，即，整理得。12. 答案：解析：根据椭圆及双曲线的第一、第二定义，结合条件及可能出现的变化情况即得。三、解答题： 13. 解析：设，由，化简得即为点的轨迹方程。假设存在，则。，将条件代入上式，显然不可能，这样的点不存在。 14. 解析：设点的坐标为，则由，得，由，得，故所求动点的轨迹的方程为。轨迹的焦点为，准线为，对称轴为轴。当直线的倾斜角为90时，直线的方程为，代入，得，显然三点共线。当直线的倾斜角不为90时，直线的方程为，代入，得。设的坐标分别为，则，三点共线。 15. 解析：设，因为，所以 又，所以 由已知，则，即动点的轨迹方程为

19、设过点的直线为，联立方程组，消去得，又，由，得【综合测试答案】一、选择题：1. 答案：A解析：由已知，的轨迹为双曲线，将代入得，则 2. 答案：B解析：如图所示，由题知，（设椭圆方程为，其中ab0）。连，由三角形的中位线可得：，则的轨迹是以、为焦点的椭圆。 3. 答案：D 4. 答案：A解析：设为的轨迹上的两点，则，因不共线，确定一个平面，与面交于直线，且知，又在面平行且只有与点确定的平面与垂直，点的轨迹为。 5. 答案：C解析：原方程化为，则或，即或，方程表示两相交直线和一个圆。 6. 答案：A解析：以的中点为原点建立平面直角坐标系，并设，则，即7. 答案：D解析：由，设点坐标为，则 8. 答案：D解析：设交点坐标为，则，而到的角为45，即是一个圆。二、填空题： 9. 答案：解析：设的中点为，则点在椭圆上，由此得点的轨迹方程为 10. 答案：解析：由图知，结合椭圆定义，知点的轨迹为椭圆，其中，从而求得方程为 11. 答案：12. 答案：解析：当为负值时，动点轨迹不为双曲线；当时，点不在椭圆上；正确，则真命题为、。三、解答题： 13. 解析：设切点坐标分别为，切线的方程为；切线的方程为，解得点的坐标为，的重心