立体几何二面角问题

1、实用标准文案立体证明题(2 )F为CE上的点，且1.如图，直二面角 D - AB - E中，四边形 ABCD是正方形，AE=EB ,BF丄平面ACE.(1 )求证：AE丄平面BCE;(2 )求二面角B - AC - E的余弦值.精彩文档将厶EFC沿EF折2.等腰 ABC 中，AC=BC= - , AB=2 , E、F分别为 AC、BC 的中点,起，使得C到P,得到四棱锥 P- ABFE，且AP=BP= ；.(1 )求证：平面 EFP丄平面 ABFE ;(2 )求二面角 B - AP - E的大小.3.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是正方形，侧面 PAD丄底面ABCD，且AD，若E、F分别

2、为PC、BD的中点.(I) 求证：EF/平面PAD ;(H) 求证：EF丄平面PDC .4.如图：正厶ABC与Rt少CD所在平面互相垂直，且/ BCD=90 ,zCBD=30(1 )求证：AB丄CD ;(2 )求二面角 D - AB - C的正切值.5.如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD , APAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，/ ADC=120 , AB=2AD .(1 )求证：平面 PAD丄平面PBD ;(2 )求二面角 A - PB - C的余弦值.B6.如图，在直三棱柱 ABC - AiBiCi 中，/ ACB=90 ,AC=CB=CC 1=2 ,

3、 E是 AB 中点.(I)求证： ABi丄平面 AiCE;(H)求直线 AiCi与平面AiCE所成角的正弦值.7.如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA丄平面ABCD，/DAB为直角，AB /CD ,AD=CD=2AB=2 ，E, F 分别为 PC，CD 的中点.(I)证明：AB丄平面BEF;(n)若 PA=，求二面角 E- BD - C.58.如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA丄平面 ABCD , PA=AB=AD=2 ，四边形 ABCD 满足AB 丄AD , BC /AD 且 BC=4，点 M 为 PC 中点.(2 )若点E为BC边上的动点，且BEEC ，是否存在实数入，使得二面角 P

4、 - DE - B的余若不存在,9.如图,请说明理由.ABED是长方形，平面 ABED丄平面ABC, AB=AC=5 , BC=BE=6，且 M 是 BC(1)求证:DM丄平面PBC ;的中点(I) 求证：AM丄平面BEC;(II) 求三棱锥B - ACE的体积;(川)若点Q是线段AD上的一点，且平面 QEC丄平面BEC,求线段AQ的长.AB丄10.如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形 ABE所在的平面互相垂直， AB /CDBC, AB=2CD=2BC , EA 丄 EB(1 )求证：EA丄平面EBC，平面11.如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD /BC,/

5、ADC=90PAD丄底面ABCD , O为AD中点，M是棱PC上的点，AD=2BC .(1 )求证：平面 POB丄平面 PAD ;12.如图，三棱柱 ABC - AiBiCi中，侧棱AAi丄平面ABC ,ABC为等腰直角三角形，/BAC=90 ，且AB=AA 1，E、F 分别是 CCi，BC 的中点.(i )求证：平面ABiF丄平面AEF;(2 )求二面角Bi - AE - F的余弦值.i3.如图，在菱形 ABCD中，/ ABC=60 ,AC与BD相交于点 0 , AE丄平面 ABCD , CF / AE, AB=AE=2 .(I) 求证：BD丄平面ACFE;(II) 当直线F0与平面BDE所

6、成的角为45。时，求二面角B - EF - D的余弦角.14.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE - BCF和一个正四棱锥 P - ABCD组合而成，AD 丄 AF , AE=AD=2(1 )证明：平面 PAD丄平面 ABFE ;(2 )求正四棱锥 P - ABCD的高h，使得二面角C- AF - P的余弦值是CP15.如图，已知斜三棱柱 ABC 一 AiBiCi,/BCA=90 ,AC=BC=2 , Ai在底面 ABC上的射影恰为AC的中点D，且BAi丄ACi.(I)求证：ACi丄平面AiBC ;(H)求二面角 A - AiB - C的平面角的余弦值.试卷答案1.【考点】与二面角有关的

7、立体几何综合题；直线与平面垂直的判定.【分析】（1 ）由已知中直二面角 D - AB - E中，四边形 ABCD是正方形，且 BF丄平面 ACE，我们可以证得 BF丄AE , CB丄AE,进而由线面垂直的判定定理可得AE丄平面BCE.（2）连接BD与AC交于G,连接FG,设正方形 ABCD的边长为2，由三垂线定理及二 面角的平面角的定义，可得/ BGF是二面角B - AC - E的平面角，解 Rt少FG即可得到答 案.【解答】证明：（1 ）VBF丄平面ACEBF丄 AE二面角D - AB - E为直二面角，且 CB丄AB ,CB丄平面ABE CB 丄 AE AE丄平面BCE.解：（2）连接BD

8、与AC交于G,连接FG,设正方形 ABCD的边长为2 ,BG 丄 AC, BG= ：,-BF垂直于平面 ACE，由三垂线定理逆定理得 FG丄AC ZBGF是二面角 B - AC - E的平面角由（1） AE丄平面 BCE, 得 AE丄EB, VAE=EB , BE= ：.在 Rt 组CE 中，EC= |： i =| ，口 = BC-BE 2X/223由等面积法求得则gp=Vgb2 -时二咅二平V6在 Rt BFG 中，GF 3 V3故二面角B-AC - E的余弦值为-2.【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）用分析法找思路，用综合法证明取 EF中点0,连接OP、O

9、C 等腰三角 形CEF中有C0丄EF,即0P丄EF.根据两平面垂直的性质定理，平面 PEF和平面ABFE 的交线是EF,且P0丄EF,分析得P0丄平面ABFE .故只需根据题中条件证出 P0丄平面 ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面 EFP丄平面ABFE.（2 ）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小.【解答】解：（1）证明：在厶ABC中，D为AB中点，0为EF中点.由 AC=BC= 几，AB=2 .E、F分别为AC、BC的中点，EF为中位线，得 C0=0D=1, C0丄EF四棱锥P - AB

10、FE中，P0丄EF,2分0D 丄AB , AD=0D=1,.A0=:又 AP= . 0P=1 ,四棱锥P - ABFE中，有 AP2=A0 2+0P 2, 即卩0P丄A0，4分又 AO QEF=O , EF、AO ?平面 ABFE ,OP丄平面 ABFE,5分又OP?平面EFP,平面EFP丄平面 ABFE .6分O为原点，建立空间直角坐标系（如图）（2 ）由（1 ）知OD , OF , OP两两垂直，以则 A (1 , - 1 , 0), B (1 , 1 , 0), E (0,丄，0), P (0, 0, 1)7 分丽(1* -f 0),丽(I, -1, 1),设齡仗，丹2）,序（屛,y ,

11、f=#EA _L ms-y=0则，一 -?取x=1,FAlm耳 _ y z二 01) .-9 分同理可得n=(l, 0, 1),-11分，得 y=2 , z= - 1 ）分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量,由于 mn=lXL+2X0+(-：L)X!=0 ,【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】证明题.【分析】对于（I）,要证 EF/平面PAD，只需证明EF平行于平面PAD内的一条直线即可，而E、F分别为PC、BD的中点，所以连接 AC，EF为中位线，从而得证；可，已知PA=PD=对于（H）要证明 EF丄平面PDC，由第一问的结论，EF/PA，只需证PA丄平面PDC即AD，可得P

12、A丄PD，只需再证明 PA丄CD，而这需要再证明CD丄平面PAD ,由于ABCD是正方形，面 PAD丄底面ABCD，由面面垂直的性质可以证明，从而得证.【解答】证明：（I）连接 AC ,则F是AC的中点，在 CPA中，EF/PA （ 3 分）且PA?平面PAD , EF?平面PAD ,EF /平面 PAD （6 分）（H）因为平面 PAD丄平面 ABCD，平面 PAD门平面ABCD=AD ,又CD丄AD，所以CD丄平面PAD ,CD 丄 PA （ 9 分）V2又 PA=PD=亠 AD , 所以 PAD是等腰直角三角形，且/ APD= 一 ，即PA丄PD （12分）而 CD APD=D ,PA丄

13、平面PDC，又EF/PA，所以EF丄平面PDC （14分）【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，而其中的转化思想的应用值得注 意，将线面平行转化为线线平行；证明线面垂直，转化为线线垂直，在证明线线垂直时, 往往还要通过线面垂直来进行.4.【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(1 )利用平面 ABC丄平面BCD，平面ABC门平面BCD=BC，可得DC丄平面ABC，禾U用线面垂直的性质，可得DC丄AB ;(2 )过C作CE丄AB于E,连接ED，可证/ CED是二面角D - AB - C的平面角.设CD=a 则 BC=.= . _3a占，从而 EC

14、=BCsin60 =矛-，在 RtA)EC 中，可求 tan /DEC .【解答】(1 )证明：T DC丄BC,且平面 ABC丄平面BCD，平面ABC门平面BCD=BC ,DC丄平面ABC ,又AB?平面ABC ,DC 丄 AB .(2 )解：过C作CE丄AB于E,连接ED,VAB 丄 CD , AB 丄 EC, CD AEC=C ,AB丄平面ECD ,又 DE?平面 ECD ,.AB 丄 ED, ZCED是二面角 D - AB - C的平面角，设 CD=a，则 BC= -二=J 1, /kBC是正三角形，3aEC=BCsin60 右DC且2在 Rt DEC 中，tan ZDEC=EC3a23

15、5.【考点】MT :二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】（1 ）令AD=1，求出BD=.：；，从而AD丄BD，进而BD丄平面PAD，由此能证 明平面 PAD丄平面 PBD .（2 ）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A - PB- C的余弦值.【解答】证明：（1）在平行四边形 ABCD中，令AD=1 ,则 BD=以；二汎= :_:,在ABD 中，AD2+BD 2=AB 2,.aD 丄 BD,又平面 PAD丄平面 ABCD ,BD 丄平面 PAD , BD?平面 PBD ,.平面PAD

16、丄平面PBD .解：（2 ）由（1 ）得AD丄BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面 ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令 AD=1，则 A （ 1 , 0, 0）, B （0,仍，0）, C （- 1，品，0）, P （寺，0,V3），血（-1，近 0），每（-苏近* 卑）, EC = （- 1 , 0, 0）,设平面PAB的法向量为I F （x, y, z）,取 y=，得,n=L, 1),AB n=：-x-V3y=0f jPB -n-y+VSV 口设平面PBC的法向量&= （a, b, c）,口BO-斫0nPB 二今二 0,取 b=1 ,得 I!. = (

17、0 ,1 , 2),由图形知二面角 A - PB- C的平面角为钝角,面角A - PB - C的余弦值为-【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【分析】（I）由 ABC - AiBiCi是直三棱柱，可知 CCi丄AC, CCi丄BC,/ACB=90 1 AC丄BC.建立空间直角坐标系 C-xyz .则A , Bi, E, Ai，可得，,：可 知，根据AB GE = 0,CA = 0,推断出ABi丄CE, ABi丄CAi,根据线面垂直的判定定理可知 ABi丄平面AiCE.（）由（I）知是平面AiCE的法向量,6气二C直二 畑 , ，进而利 用向量数量积求得直线 AiCi与平面AiCE

18、所成角的正弦值【解答】（I）证明：T ABC - AiBiCi是直三棱柱，CCi 丄 AC , CCi 丄 BC,又/ACB=90 ,即AC丄BC.如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz . A (2 , 0, 0), Bi (0 , 2 , 2), E (1 , 1, 0), Ai (2 , 0 , 2 ),刃，耳二（1,1,0, CA二又因为i .:：-,ABi 丄 CE, ABi 丄 CAi , AB i 丄平面 AiCE.（n）解：由（i）知,u 7-是平面AiCE的法向量,C气-CK - (2, 0,0),cos v 5 A i，AB |=设直线AiCi与平面AiCE所成的角为B,则

19、sin 0=|cos所以直线AiCi与平面AiCE所成角的正弦值为 二.7.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】（I）只需证明 AB丄BF. AB丄EF即可.(n)以求出平面CDB的法向量为-，平面EDB的法向量为- -1 - -设二面角E- BD - C的大小为B,则A为原点，以AB , AD , AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系,TxTTo cos B I cos-.n ? nnI-r【解答】解：（1）证：由已知DF /AB且/DAB为直角，故 ABFD是矩形,从而AB丄BF.又PA丄底面 ABCD，平面PAD丄平面 ABCD ,AB 丄AD，故 AB

20、丄平面 PAD ,.AB 丄 PD , 在APCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF/PD , 由此得AB丄平面BEF(H)以A为原点，以 AB，AD，AP为x轴，y轴,AB 丄 EF.z轴正向建立空间直角坐标系,设平面CDB的法向量为口 1二0, 0，D ,平面EDB的法向量为応云二q凹尸o 巾吓医二取戸可取： 2=(2. 1, 一葩)设二面角E- BD - C的大小为则cos 6 二 nHi l|n2 |【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【分析】(1 )取PB中点N，连结 MN , AN .由三角形中位线定理可得四边形 ADMN 为平行四边形.由 AP丄AD , AB

21、丄AD，由线面垂直的判定可得 AD丄平面PAB .进一步 得到 AN丄MN .再由 AP=AB，得 AN丄PB,贝U AN丄平面 PBC .又 AN /DM，得 DM丄 平面PBC;(2 )以A为原点，方向为x轴的正方向，卜|方向为y轴的正方向，方向为z轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设E ( 2, t, 0 )( 0 Wt W4),再求得 P, D ,B的坐标，得到一、. L的坐标，求出平面 PDE的法向量，再由题意得到平面 个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数入的值.【解答】(1 )证明：如图，取 PB中点N，连结MN , AN .M 是 PC 中点， MN /BC, MN

22、；|bC=2 .又 VBC /AD , AD=2 ,MN /AD , MN=AD ,四边形ADMN为平行四边形.VAP 丄 AD , AB 丄 AD , AP AAB=A ,AD丄平面 PAB.VAN ?平面 PAB , AD 丄 AN，贝U AN 丄 MN .VAP=AB ,.AN 丄 PB,又 MN APB=N ,AN丄平面PBC.VAN /DM , ADM 丄平面 PBC ;(2 )解：存在符合条件的入.DEB 的一z轴的正方以A为原点，上方向为x轴的正方向，I方向为y轴的正方向，方向为 向，建立如图所示的空间直角坐标系.设 E ( 2, t, 0 )( 0 Wt 1=则|cos 瓦*

23、2#3),|巧 DF二一甘+寸石尸32=。 一 1011cos二面角B- EF- D的余弦值为打14.【考点】MT :二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】(I)证明： AD丄平面ABFE，即可证明平面 PAD丄平面ABFE ;(H)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P-ABCD的高.设正四棱锥P - ABCD的高为h, AE=AD=2 ,则 A ( 0, 0 , 0), F (2 , 2 ,0), C (2, 0, 2),-=(2 , 2 , 0 ),“= (2 ,0,2)，匸(1,- h ,1),【解答】(I)证明：直三棱柱ADE - BCF中，AB丄平面ADE ,所以：AB 丄 AD，又 AD 丄 AF ,所以：AD丄平面 ABFE, AD ?平面PAD ,所以：平面 PAD丄平面 ABFE.(n) AD丄平面ABFE, 建立以A为坐标原点，AB , AE , AD分别为x , y , z轴的空间直角坐标系如图:tn* AC=2x+2z=0! = (x, y, z)是平面AFC的法向量，则令 x=1，则 y=z= - 1，即 i= (1 , - 1 , - 1),设1= (x, y, z)是平面ACP的法向量,，令 x=1，则 y= - 1 , z= - 1 - h，即厂=(1 , - 1 , -