(完整版)平面向量的数量积及应用(含答案),推荐文档

1、平面向量的数量积及应用基础知识1向量数量积的定义：(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量 a、b，作 u uv a、 u uv b，则 称作向量 a 和向量 b 的夹角，oaob记作a，b，并规定其范围是 当a，b时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作. (2)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积(3) 向量数量积的定义：(4) 向量数量积的性质：如果 e 是单位向量，则 aeea；ab；aa|a|2或|a|；cosa，b；|ab| |a|b|. 2向量数量积的运算律(1)交换律 ab ；(2)分配律(ab)c (3)数乘向量结

2、合律 (ab) . 3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab；(2)设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab；(3)设向量 a(a1，a2)，b(b1，ubu2v)，则|a| ，cousuuv a，b .(x - x) + ( y - y )221212(4) 若 a(x , y ) , b(x , y ) 则= (x - x , y - y ) ，= 1122ab4向量的应用(1) 向量在平面几何中的应用2121ab平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表现出来，用向量

3、方 法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将；通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；把运算结果“翻译” 成几何关系(2) 向量在解析几何中的应用设直线 l 的倾斜角为a，斜率为 k，向量 a(a1，a2)且平行于直线 l，则 a 称为直线 l 的， 可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量 a 共线，因此(1，k)也是直线 l 的方向向量(3) 向量在物理中的应用向量在力的分解与合成中的应用由于力是向量，它的分解与合成与向量的相类似，可以用向量来解决基础练习1(2009全国，6)设 a、b、c 是单位向量，且 ab0，则

4、(ac)(bc)的最小值为()a2b. 22c1d1 2 2若向量 a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则 x 的值为()a3b1 或 3c1d3 或 1 3若非零向量 a、b 满足|ab|b|，则()a|2b|a2b|b|2b|a2b|c|2a|2ab|d|2a|2ab|bc2abacabacam4. 设点 m 是线段 bc 的中点，点 a 在直线 bc 外，16，|，则|()a8b4c2d15 25. 设 a(4,3)，a 在 b 上的投影为 2 ，b 在 x 轴上的投影为 2，且|b|14，则 b 为()22a(2,14)b(2，7)c(2，7)d(2,8)典型例题题型一平面向量

5、数量积的运算例 1 (1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a 与 b 的夹角为 30，分别求 ab.acbdad ac(2)如图所示，在平行四边形 abcd 中，(1,2)，(3,2)，则.练 1(1)(2010广东卷，文)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则 x()a6b5c4d3（2）已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.求 a 与 b 的夹角 ；求|ab|；若aba，bcb，求abc 的面积题型二向量的夹角、模、垂直问题oaobocnanb【例 2】(2009宁夏、海南卷)已知点 o，n，p 在abc 所在平面内，且|，nc

6、pa pbpb pcpc pa0， ，则点 o，n，p 依次是abc 是 ()a重心、外心、垂心b重心、外心、内心c外心、重心、垂心d外心、重心、内心oaobadab练 2在oab 中，a，b，od 是 ab 边上的高，若，则实数 等于()a(ba)a. |ab|2a(ab)b. |ab|2a(ba)c. |ab|a(ab)d. |ab|例 3 若 a(cos，sin)，b(cos，sin)且|kab| 3|akb|，k 0，kr.(1) 试用 k 表示 ab；(2)求实数 k 的取值范围；(3)求 ab 的最大值、最小值，并求出取得最值时 a 与 b 的夹角 的大小练 3.已知向量 a(si

7、n，1)，b(1，cos)，22.(1)若 ab，求 ；(2)求|ab|的最大值题型三平面向量的应用 1例 4 已知ofq 的面积为 s 且offq1.(1)若2s0，则abc 为锐角三角形（）abcd8. 已知圆 o 的半径为 1，pa、pb 为该圆的两条切线，a、b 为两切点，那么papb的最小值为()2222a4b3c42d32二、填空题9(2008江西高考)如图，在正六边形 abcdef 中，有下列四个命题：a.acaf2bc； b.ad2ab2af；ac adad abad af efad af efc.；d()() 其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)ha hbbh hc10

8、. 已知点 h 为abc 的垂心，且3，则的值为11. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b| 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab.12. 若等边abc 的边长为 2 3，平面内一点 mcm1cb2cama mb三、解答题满足63，则.oaobococmamb13已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在上是否存在点 m，使，若存在，求出点 m 的坐标；若不存在，请说明理由14已知 a(sin，1)，b(1，cos)，c(0,3)，22.(1)若(4ac)b，求 ；(2)求|ab|的取值范围oqoaop15. 如图，a 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 p 在单位

9、圆上，aop(00)，过 a、b 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 m.(1)证明：线段 fm 被 x 轴平分；(2)计算fmab的值；(3)求证：|fm|2|fa|fb|.平面向量的数量积及应用答案基础知识1向量数量积的定义：(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量 a、b，作 u uv a、 u uv b，则 称作向量 a 和向量 b 的夹角，oaob记作a，b，并规定其范围是 当a，b时，我们说向量 a 和向量 b 互相垂直，记作. (2)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积(3) 向量数量积的定义：(4) 向量数量积的性质：如果

10、 e 是单位向量，则 aeea；ab；aa|a|2或|a|；cosa，b；|ab| |a|b|. 2向量数量积的运算律(1)交换律 ab ；(2)分配律(ab)c (3)数乘向量结合律 (ab) . 3向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab；(2)设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 ab；(3)设向量 a(a1，a2)，b(bu1u，uv b2)，则|a| ，cosuuuav，b .(x - x) + ( y - y )221212(4) 若 a(x , y ) , b(x , y ) 则= (x

11、- x , y - y ) ，= 1122ab4向量的应用(1) 向量在平面几何中的应用2121ab平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由表现出来，用向量方 法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将；通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题；把运算结果“翻译” 成几何关系(2) 向量在解析几何中的应用设直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，向量 a(a1，a2)且平行于直线 l，则 a 称为直线 l 的 ，可以根据向量的知识得到向量(1，k)与向量 a 共线，因此(1，k)也是直线 l 的方向向量(3)

12、 向量在物理中的应用向量在力的分解与合成中的应用由于力是向量，它的分解与合成与向量的相类似，可以用向量来解决基础练习1(2009全国，6)设 a、b、c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最小值为()b. 222a2c1d1解析：不妨设 a(1,0)，b(0,1)，c(cos，sin)2. 则易得(ac)(bc)1 2sin(4) 故得其最小值为 1答案：d2若向量 a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则 x 的值为()a3b1 或 3c1d3 或 1答案：b3. 若非零向量 a、b 满足|ab|b|，则()a|2b|a2b|b|2b|a2b|c|2a|2ab|d|2a|2a

13、b|答案：abc2abacabacam4. 设点 m 是线段 bc 的中点，点 a 在直线 bc 外，16，|，则|()a8b4c2d1bcbc解析：216，|4，abacabac又|，两边平行整理得：ab ac0，abc 为直角三角形又 m 为 bc 的中点，1 ambc|2|2，故选 c.5 2答案：c5. 设 a(4,3)，a 在 b 上的投影为 2 ，b 在 x 轴上的投影为 2，且|b|14，则 b 为()22a(2,14)b(2，7)c(2，7)d(2,8)答案：b典型例题题型一平面向量数量积的运算例 1 (1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a 与 b 的夹角为 30，分

14、别求 ab.解析：当 ab 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0，ab|a|b|cos025110； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180，ab|a|b|cos18025(1)10.当 ab 时，它们的夹角为 90，ab|a|b|cos902500.3当 a 与 b 的夹角为 30时，ab|a|b|cos3025 2 5 3.acbdad ac(2)如图所示，在平行四边形 abcd 中，(1,2)，(3,2)，则.ad解析：由于四边形 abcd 为平行四边形，设 o 为 ac 与 bd 的交点，连结 o 点与 dc 的中点 e，则21 acbd 1oe2 2 (2答案：3)ac

15、bdad ac22()(1,2)，所以1223.练 1(1)(2010广东卷，文)若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则 x()a6b5c4d3解析：由题意可得 8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，183x30x4.答案：cabbc（2）已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.求 a 与 b 的夹角 ；求|ab|；若 a，b，求abc 的面积解析：(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab612ab6.cos|a|b|4 32. 又 0， 3 . (2)|a

16、b (ab)2 |a|22ab|b|2 162 (6)9 13.abbc22 (3)与的夹角 3 .abc 3 3.又| ab|a|4，| bc| |b|3， s21 ab|bcabc2143 2333abc|sin题型二向量的夹角、模、垂直问题【例 2】(2009宁夏、海南卷)已知点 o，n，p 在abc 所在平面内，且|oa|ob|oc|，nanb nc0，papbpbpcpcpa，则点 o，n，p 依次是abc 是 ()a重心、外心、垂心b重心、外心、内心c外心、重心、垂心d外心、重心、内心解析：由|oa|ob|oc|，可知点 o 到abc 三个顶点的距离相等，所以点 o 是abc 的外

17、心设 bc 的中点为 m，由nanbnc0，得na2nm0，所以点 n 是abc 的重心由papbpcpa，得pa(pbpc)pacb0，所以pacb，同理，pbac、pcab，所以点 p 是abc 的垂心故选 c.答案：c练 2在oab 中，oaa，obb，od 是 ab 边上的高，若adab，则实数 等于()a(ba)a. |ab|2a(ab)b. |ab|2a(ba)c. |ab|a(ab)d. |ab|adabodoaoboaodoaob解析：，()，(1)(1)ab，od abod oboa又od 是 ab 边上的高，0 即()0，(1)ab(ba)0，整理a(ab)可得 (ba)2

18、a(ab)，即得 |ab|2 ，故选 b.答案：b例 3 若 a(cos，sin)，b(cos，sin)且|kab|3|akb|，k0，kr.(1) 试用 k 表示 ab；(2)求实数 k 的取值范围；(3)求 ab 的最大值、最小值，并求出取得最值时 a 与 b的夹角 的大小解析：(1)|kab|k21ab 4k .3|akb|，(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2，且|a|b|1，(2)|a|b|1，ab|a|b|cosa，b|a|b|1，3.k21 4k 1. 又 k0，k24k10，2 3k21k21111ab1(3)ab 4k 4(kk)2，当且仅

19、当 k1 时，(ab)min2，此时 cos|a|b|2.60.当且仅当 k2 3时，(ab)max1，0.练 3.已知向量 a(sin，1)，b(1，cos)，22.(1)若 ab，求 ；(2)求|ab|的最大值a解析：（1） a= - 4(2) 由 a(sin，1)，b(1，cos)，得 ab(sin1,1cos)，(sin1)2(1cos)2|ab| 32(sincos)32 2sin( )4，当 sin(4)1 时，|ab|取得最大值，即当 4时，|ab|的最大值为题型三平面向量的应用21. 1例 4 已知ofq 的面积为 s2of fqof且1.(1)若 s2，求向量fq与的夹角 正

20、切值的取值范围；(2)设|3of|c(c2)，s4c，若以 o 为中心，f 为焦点的椭圆经过点 q，当|oq|取得最小值时，求此椭圆方程.1解析：(1)由已知得error!tan2s.由2s2，故 1tanb0)，又设fqof点 q 的坐标为(x0，y0)，则(x0c，y0)1s2c33 |y |2|y |4c，|y |2.offq1，ofq|000又1oq19(c 2(c,0)(x0c，y )1，解得 x cc.1当 c2 时，cc随 c 的增大而增大，| x2y2)c4.5 353因此当且仅当 c2 时，|oq|有最小值，此时 q 点坐标为(2，2)或(2，2)x2y2error!解得er

21、ror!故所求的椭圆方程为10 6 1.练 4如右图，在水平杆子 ab 上用两根垂直的绳子吊 10 kg 的物体 w，acw150，bcw120，求 a 和 b 处所受力的大小(忽略绳子重量)解析：设 a、b 处所受力分别为 f1、f2,10 kg 的重力用 f 表示，则 f1f2f.以重力作用点 c 为cfcecwf1、f2 的始点，作平行四边形 cfwe，使 cw 为对角线，则f2，f1，f，则ecw18015030，fcw18012060，fce90，四边形 cewf 为矩形cecw3cfcw 1|cos3010 2 5本课小结3，|cos601025.1. 在实数运算中，ab0a0 或

22、 b0，而在向量运算中，ab0a0 或 b0 是错误的，应该有以下四种情况：(1)a0，b0；(2)a0，a0；(3)a0，b0；(4)a0，b0，但 ab.ab2. 向量数量积的性质|a| 角度、垂直的问题aa，cos|a|b|，ab0ab，因此，用平面向量数量积可以解决有关长度、3. 以下是向量数量积的向量形式和坐标形式，应恰当合理地运用设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 是 a 与 b 的夹角，则(1)ab|a|b|cosx1x2y1y2；(2)当 a 与 b 同向时， ab|a|b| x2y2 x2y2； 当 a 与 b 反 向 时 ，ab|a|b| x2y2 x2y2. 特 别

23、 地 ， aaa2|a|2x2y2，|a| x1y2.(3)|ab|a|b|，即|ab|x1x2y1y2| x1y2 x2y2.4. 向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，判断两向量是否垂直5. 用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点， 应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论，要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条 件6. 证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：abcdabcd

24、(1) 要证 abcd，可转化证明22 或|.abcd(2) 要证两线段 abcd，只要证存在一实数 0，使等式 成立即可ab cd(3) 要证两线段 abcd，只需证 0.平面向量的数量积及应用活页作业答案一、选择题1. 已知 a，b，ab，ab 均为非零向量，则(ab)(ab)0 是|a|b|的（）a充分不必要条件b必要不充分条件 c充要条件d既不充分也不必要条件解析：(ab)(ab)0a2b20|a|2|b|2|a|b|. 答案：cabcd2已知 a(1,2)、b(3,4)、c(2,2)、d(3,5)，则向量 在向量上的投影为()2 10102 1010a. 5b. 5c. 5d. 5a

25、bcdabcdabcdab解析：(2,2)，(1,3)，设和的夹角为 ，则向量在向量上的投影为|cosabcd|cd|262 1010 5 .答案：a3设向量 a、b、c 满足 abc0，且 ab0，|a|3，|c|4，则|b|（ ）75a5b.c.d7解析：由 abc0 得 c(ab)，又ab0，c2(ab)2a22abb2a2b2，|b|2|c|2|a|242327，即|b|答案：b7. 故选 b.4如图，在平面斜坐标系 xoy 中，xoy60，该平面上任一点 p 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的： op若xe1ye2(其中 e1、e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的单位向量)，则 p

26、 点的斜坐标为(x，y)下列说法正确的是()opopap(x，y)满足|1，则 x2y21bp(x，y)满足 x2y21，则|1op0cp0(x0，y0)满足 x0y21，使得|1d以上说法都不正确opop解析：显然若|1，可以得到21(xe1ye2)2x2xyy2；同时若 p0 点的坐标为(0,1)或(1,0)时，op0p0(x0，y0)满足 x0y 1，且使得|1.答案：c5(2009辽宁高考)平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|33a.b2c4d12解析：因为 a(2,0)，|b|1，所以|a|2，ab21cos601，故|a2b|答案：b6(200

27、9浙江高考)设向量 a，b 满足：()3.a24 ab4b22|a|3，|b|4，ab0，以 a，b，ab 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为a3b4c5d6abac解析：设a，b，则abc 为直角三角形，将半径为 1 的圆在abc 的平面上移动，则该圆最多只能与abc 的一个角的两边相交，故选 b.答案：b7. 在abc 中，有如下命题，其中正确的是()abacbc abbccaabacabac 0若()()0，则abc 为等腰三角形 若abbc0，则abc 为锐角三角形abcd解析：在abc 中，abaccb，错误；若abbc0，则b 是钝角，abc 是钝角

28、三角形，错误答案：c22228. 已知圆 o 的半径为 1，pa、pb 为该圆的两条切线，a、b 为两切点，那么papb的最小值为() a4b3c42d32 1解析：如图，设apo，papb| pa|2cos2|pa|2(12sin2)(|op|21)(12|op|2)2|op|2|op|232223，当且仅当|op|2|op|2，即|op|4 2时，“”成立答案：d二、填空题9(2008江西高考)如图，在正六边形 abcdef 中，有下列四个命题：acafbcadabafac adad abad af efad af efa. 2；b.22；c.；d()() 其中真命题的代号是(写出所有真命

29、题的代号)acafaccdadbc解析：2，a 对adaoabaf取 ad 的中点 o，则222，b 对 ad ab3设 abac ad63|1，则2cos 3，而21cos 1，c 错 ad af efef af efef af efad af ef又()(2)2()()d 对真命题的代号是 a，b，d.答案：abdha hbbh hc10. 已知点 h 为abc 的垂心，且3，则的值为hb hahchb caha hbhb hc bh hchb hc解析：依题意得()0，因此，3.答案：3311. 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b| 3，则向量 a 和向量 b 的数

30、量积 ab.解析：由题意得 ab|a|b|cos302 3 2 3.答案：3 1 2 6312(2009天津高考)若等边abc 的边长为 2 3，平面内一点 mcmcbca满足，ma mb则.由题意有|cos606，()()()() 1 1 5 2 解析：ca cbca cbma mbmccamccb3ca6cb6cb3ca2 5 7 2579ca236cb218cacb91236121862.故填2.答 案 ：2三、解答题oaobococmamb13已知(2,5)，(3,1)，(6,3)，在上是否存在点 m，使，若存在，求出点 m 的坐标；若不存在，请说明理由omoc解析：设存在点 m，且(

31、6，3)(01)，ma(26，53)，mbmamb(36，13)，111(26)(36)(53)(13)0，即 45248110，解得 3或 15.omom22 11，)(2,1)或( 5 5 22 11存在 m(2,1)或 m( 5 ， 5 )满足题意14已知 a(sin，1)，b(1，cos)，c(0,3)，22. (1)若(4ac)b，求 ；(2)求|ab|的取值范围解析：(1)4ac(4sin，4)(0,3)(4sin，1)，14acb，4sincos10.sin22. (2，2)，2(，)5526或 6 ，即 12或12. (2)ab(sin1,1cos)，(sin1)2(1cos)

32、2|ab| 32(sincos)32 2sin( )4， 3由(1)知44 4 ，2sin(4)( 2 ，12 2sin(4)(2,2 2|ab|(1, 2115(2009珠海质检)如图，a 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 p 在单位圆上，aop(0)， oqoaop，四边形 oaqp 的面积为 s.oa oq(1) 求s 的最大值及此时 的值 0；34(2) 设点 b 的坐标为(5，5)，aob，在(1)的条件下，求 cos(0)解析：(1)由已知，a，p 的坐标分别为(1,0)，(cos，sin)，oqoa oq(1cos，sin)，1cos，又 ssin， 2oa oq4ssincos1sin( )1(00)，过 a、b 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 m.fm ab(1) 证明：线段 fm 被 x 轴平分；(2)计算的值；(3)求证：|fm|2|fa|fb|.x1x2x2x解析：(1)设 a(x1， 8 )，b(x2， 8 )，由 y 8 得 y4，x1x1直线 am 的方程为 y 8 4 (xx1)，x2x2直线 bm 的方程为 y