等腰三角形典型例题练习(含答案)

1、等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一 选择题（共2小题）1 如图，/ C=90 AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm，则点 D到AB的距离为（B 3 cmC. 2cmD.不能确定2.如图，已知 C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边 ACD 和等边 BCE,连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个结论： AE=BD CN=CM MN / AB其中正确结论的个数是（）A. 0B . 1C. 2D. 3二.填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别是 BC, AC , AB上的点

2、，DE丄AC , EF丄AB , FD丄BC ,则 DEF 的面积与 ABC的面积之比等于.三.解答题（共15小题）E、F分别为 AB、AC上的点，且 / EDF+ / EAF=180 求证5.在 ABC中，/ ABC、/ ACB的平分线相交于点 0,过点0作DE / BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .6. 已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断 ABC 是什么三角形？并说明理由.7.如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD .连接DE .(1) / E

3、等于多少度？(2) DBE是什么三角形？为什么？/ ACB=90 CD是AB边上的高,/ A=30 求证：AB=4BD .9.如图， ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点F.求证: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线 于E,求证：BD=2CE .11. （2012?牡丹江）如图 ， ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分 别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图，

4、连接AP./ PE丄 AB , PF丄 AC , CH 丄 AB , Saabp=AB?PE, SaacpAC?PF, SaabcAB?CH .|：J:又 T SAABP+SaACP=SaABC ,/ AB=AC , pe+pf=ch .(1) 如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并加以证明：(2) 填空：若/ A=30 ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，则AB边上的高 CH=.点P到AB边的距离 PE=.12数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在

5、CB的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE与DB的大小 关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB (填 ”,或=”).(2 )特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB (填”， N ”或=”).理由如下：如图2，过点E作EF / BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3) 拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若 ABC的边长为1, AE=2，求CD的长(请你直接写出结

6、果)D月C13.已知：如图， AF平分/ BAC , BC丄AF于点E,点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M .若/ BAC=2 / MPC，请你判断/ F与/MCD的数量关系，并说明理由.14.如图，已知 ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC边上，且 AE=CD , AD与BE相交于点F.(1) 线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2) 求/ BFD的度数.15.如图，在 ABC中，AB=BC , / ABC=90 F为AB延长线上一点，点 E在BC上，BE=BF，连接 AE、EF 和CF,求证：AE=CF .16.已知：如图，在 OAB 中，/ A

7、OB=90 OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90 OE=OF，连接 AE、BF .问线 段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.17. （2006?郴州）如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一点，过 D分别向AB , AC引垂线，垂足分别为 E, F，CG是AB边上的高.（1）DE , DF , CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2） 若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18.如图甲所示，在 ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P,贝U P点到两腰的距离之和等于定长（腰上 的高），即PD+PE=CF，

8、若P点在BC的延长线上，那么请你猜想 PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一 选择题（共2小题）1 .如图，/ C=90 AD平分/ BAC交BC于D，若BC=5cm , BD=3cm，则点D到AB的距离为（）B. 3cmC. 2cmD.不能确定解答：解：/ / C=90 AD平分/ BAC交BC于DD到AB的距离即为CD长CD=5 - 3=2故选C .2.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边 ACD和等边 BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N .给出以下三个

9、结论：AE=BDCN=CMMN / AB其中正确结论的个数是（）A. 0B.1C. 2D. 3分析：由厶ACD和厶BCE是等边三角形，根据 SAS易证得 ACEDCB，即可得 正确；由 ACEDCB，可得/ EAC= / NDC，又由/ ACD= / MCN=60 利用ASA，可证得 ACMDCN，即可得正确；又可证得 CMN是等边三角形，即可证得 正确.解答：解: / ACD 和 BCE 是等边三角形，ACD= / BCE=60 AC=DC，EC=BC，/ Z ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB，即/ ACE= / DCB，/ ACEDCB (SAS )， AE=BD，故 正确

10、； Z EAC= Z NDC，/ Z ACD= Z BCE=60 / Z DCE=60 / Z ACD= Z MCN=60 / AC=DC，/ ACMDCN (ASA )，/ CM=CN，故 正确；又 Z MCN=180 - Z MCA - Z NCB=180 -60 - 60 60 CMN是等边三角形，Z NMC= Z ACD=60 / MN / AB，故正确.故选 D.二填空题（共1小题）3.如图，在正三角形 ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE丄AC，EF丄AB，FD丄BC，则 DEF的面积与 ABC的分析：首先根据题意求得：/ DFE= ZFED= / EDF=60

11、即可证得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF : AB=1 : 二又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.解答:解：/ ABC 是正三角形，B= / C= / A=60 / DE 丄 AC , EF 丄 AB , FD 丄 BC , / Z AFE= / CED= / BDF=90 / Z BFD= Z CDE= Z AEF=30 / Z DFE= Z FED= Z EDF=60 ,B?_2DEF 是正三角形，/ BD : DF=1 :二,BD : AB=1 : 3, DEFABC ,/ DF : AB=1 :二 DEF的

12、面积与 ABC的面积之比等于 1: 3.-,三解答题（共15小题）4.在 ABC中，AD是Z BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且Z EDF+ Z EAF=180 求证DE=DF分析:解答:即 Z EMD= Z FND=90 / AD 平分 Z BAC , DM 丄 AB , DN 丄 AC , / DM=DN（角平分线性质）Z DME= Z DNF=90 过D作DM丄AB，于M , DN丄AC于N，根据角平分线性质求出 DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求 出Z AED= Z CFD，根据全等三角形的判定 AAS推出 EMD幻 FND即可.证明：过D作DM丄AB，于M

13、, DN丄AC于N ,Z ACB的平分线相交于点/ Z EAF+ Z EDF=180 / Z MED+ Z AFD=360 - 180180/ Z AFD+ Z NFD=180 / Z MED= Z NFD , 在厶EMD和厶FND中rZMED=ZDFNJDJ1E=ZDDIF ,EMD FND，二 DE=DF .DM 二 DMO,过点O作DE/ BC,分别交 AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC .分析：根据OB和0C分别平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO ,OE=EC 然后即可得出答案.解答：解：丁在厶ABC中，O

14、B和OC分别平分/ ABC和/ACB ,/ Z DBO= / OBC , / ECO= / OCB ,/ DE / BC , / Z DOB= Z OBC= Z DBO , Z EOC= ZOCB= Z ECO ,/ DB=DO , OE=EC , / DE=DO+OE , / DE=BD+EC .6.已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC，垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断 ABC是什么三角形？ 并说明理由.分析：用(HL)证明 EBDFCD，从而得出Z EBD= Z FCD，即可证明 ABC是等腰三角形.解答： ABC是等腰三角形.证明：连接 AD

15、, / DE 丄 AB , DF 丄 AC , / Z BED= Z CFD=90 ,且 DE=DF ,/ D是厶ABC的BC边上的中点，BD=DC ,/ Rt EBD 幻 Rt FCD ( HL ) , / Z EBD= Z FCD , / ABC 是等腰三角形.7.如图， ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD .连接DE .(1) Z E等于多少度？ ( 2) DBE是什么三角形？为什么?分析：(1) 由题意可推出Z ACB=60 , Z E=Z CDE ,然后根据三角形外角的性质可知：Z ACB= Z E+Z CDE ,即可推出Z E 的度数；(2) 根据

16、等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是Z ABC的角平分线，即得：Z DBC=30 ,然后再 结合(1)中求得的结论，即可推出 DBE是等腰三角形.解答：解：(1) / ABC 是等边三角形,/ Z ACB=60 ,/ CD=CE, Z E= Z CDE, v Z ACB= Z E+ Z CDE ,甘60 二30“ ,(2 ABC是等边三角形，BD丄AC， ABC=60 ，么肢冷厶抚册，/ Z E=30 / Z DBC= Z E, / DBE 是等腰三角形.8.如图，在 ABC 中，/ ACB=90 CD 是 AB 边上的高，/ A=30 求证：AB=4BD .分析:解答:分析：由

17、厶ABC中，/ ACB=90 / A=30 可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明.解答：解：/ Z ACB=90 / A=30 / AB=2BC，/ B=60 又 v CD 丄 AB，/ Z DCB=30 / BC=2BD . / AB=2BC=4BD .9.如图， ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE，DE与BC相交于点F.求证：DF=EF .过D点作DG/ AE交BC于G点，由平行线的性质得 Z 1= Z 2，Z 4=Z 3,再根据等腰三角形的性质可得 Z B= Z 2， 则Z B= Z 1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定

18、易得 DFG EFC，即可得到结论.证明：过D点作DG/ AE交BC于G点，如图，/ Z 仁Z 2，Z 4=Z 3，/ AB=AC，/ Z B= Z 2，/ Z B= Z 1，/ DB=DG，而 BD=CE，/ DG=CE，在厶DFG和厶EFC中fZ4=Z3N .一， / DFG EFC，/ DF=EF .DG 二 CE解答:10.已知等腰直角三角形 ABC，BC是斜边.Z B的角平分线交 AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，F,由已知条件可证得 BFE全幻 BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明 ADBFAC可得 FC=BD，所以 BD=2CE .证明：如图，分别延

19、长 CE，BA交于一点F ./ BE 丄 EC，/ Z FEB= Z CEB=90 / BE 平分 Z ABC，/ Z FBE= Z CBE， 又 v BE=BE，/ BFE BCE (ASA) . / FE=CE . / CF=2CE ./ AB=AC，Z BAC=90 Z ABD+ Z ADB=90 Z ADB= Z EDC，/ Z ABD+ Z EDC=90 又 vZ DEC=90 Z EDC+ Z ECD=90 / Z FCA= Z DBC= Z ABD .11. (2012?牡丹江)如图， ABC中.AB=AC , P为底边BC上一点，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足

20、分别为 E、F、H .易证 PE+PF=CH .证明过程如下：如图，连接AP ./ PE丄 AB，PF丄AC，CH 丄 AB， / Saabp=AB?PE，Saacp一AC?PF，SaabcAB?CH .2 ， 2 ， 2又/ Saabp+Saacp=Saabc，.一AB ?PEAC ?PF丄AB ?CH .2 2 2/ ab=ac，/. pe+pf=ch .(1) 如图，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2) 填空：若/ A=30 ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，_则AB边上

21、的高CH=分析：(1)连接AP .先根据三角形的面积公式分别表示出Saabp，Saacp， Saabc，再由Saabp=Saacp+Saabc即可得出pe=pf+ph；(2)先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由 ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH PF，则可分两种情况进行讨论：P为底边BC上一点，运用结论 PE+PF=CH ;P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH .解答：解：(1)如图，pe=pf+ch .证明如下：/ PE丄 AB，PF丄AC，CH 丄 AB， /. Saabp一AB?PE，Saacp丄AC?PF，SaabcAB?CH，2 2 2/ Saabp=S

22、aacp+SaABC，.AB?PEAC?PFAB ?CH，又 t AB=AC，/ PE=PF+CH ;(2) FAACH 中，/ A=30 / AC=2CH ./ Saabc=AB?CH，AB=AC，二 X2CH?CH=49，/ CH=7 .分两种情况： P为底边BC上一点，如图./ PE+PF=CH，/. PE=CH - PF=7 - 3=4; P为BC延长线上的点时，如图./ PE=PF+CH，/. PE=3+7=10 .故答案为 7; 4 或 10.12数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC ,如图，试确定线段 AE与D

23、B的大小关系，并说明理由 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1 ）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB （填”， N ”或=”）.（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB （填 ”，N ”或=”）.理由如下：如图2,过点E作EF/ BC，交AC于点F.（请 你完成以下解答过程）（3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形 ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC 若 ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求岀（

24、2）过E作EF / BC交AC于F,求出等边三角形（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（/ D= / ECB=30 求出 / DEB=30 求出 BD=BE 即可；AEF，证 DEB和厶ECF全等，求出 BD=EF即可；2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1 .解答:解：（1）故答案为：=.(2)过 E 作 EF / BC 交 AC 于 F，丁 等边三角形 ABC，/ Z ABC= / ACB= / A=60 AB=AC=BC，/ Z AEF= Z ABC=60 Z AFE= Z ACB=60 即 Z AEF= Z AFE= Z A=60 /

25、 AEF是等边三角形，AE=EF=AF，/ Z ABC= Z ACB= Z AFE=60 / Z DBE= Z EFC=120 Z D+ Z BED= Z FCE+ Z ECD=60 / DE=EC，/ Z D= Z ECD，/ Z BED= Z ECF，在厶DEB和厶ECF中rZDEB=ZCF ZDBU=ZBFC，DEB ECF，/ BD=EF=AE，即 AE=BD，故答案为：=. bDE=CE(3)解：CD=1 或 3,1.1 = 2BE BN，2-1 BN/ AM / EN ,AMB ENB , 理由是：分为两种情况:过A作AM丄BC于M ,: ABC是等边三角形,瓦圉1Dv/|则 AM

26、 / EM ,如图1过E作EN丄BC于N,/ AB=BC=AC=1 ,/ AM 丄 BC , / BM=CM=2bc,/ DE=CE ,2 2EN 丄 BC , / CD=2CN ,如图2,作AM丄BC于M，过E作EN丄BC于N ,则 AM / EM ,/ ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1 ,1 1BC=-2 r/ AM 丄 BC , / BM=CM=/ AM / EN , AE=MI,/ DE=CE , EN 丄 BC ,2“，MN=1 , / CN=1 nil/ CD=2CN ,一CD=2CN=113.已知：如图，AF平分/ BAC , BC丄AF于点E，点D在AF上,ED=EA

27、 ,点P在CF上,连接PB交AF于点M .若/BAC=2 / MPC , 请你判断/ F与/ MCD的数量关系，并说明理由.分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出/ CDA= / CAD= / CPM，求出/ MPF= / CDM , / PMF= ZBMA= / CMD，在 DCM 和厶PMF中根据三角形的内角和定理求出即可.解答：解：/ F=Z MCD ,理由是：/ AF 平分/ BAC , BC 丄 AF , / Z CAE= / BAE , / AEC= / AEB=90 在厶ACE和厶ABE中rZAEC=ZAEBm 怔二应,/ ACEABE (

28、ASA ) / AB=AC ,bZCAE=ZB.AE/ Z CAE= Z CDE AM 是 BC 的垂直平分线，/ CM=BM , CE=BE , / Z CMA= Z BMA ,/ AE=ED , CE 丄 AD , / AC=CD , / Z CAD= Z CDA ,/ Z BAC=2 Z MPC ,又：Z BAC=2 Z CAD ,/ Z MPC= Z CAD , / Z MPC= Z CDA , / Z MPF= Z CDM ,/ Z MPF= Z CDM (等角的补角相等),/ Z DCM+ Z CMD+ Z CDM=180 , Z F+Z MPF+ Z PMF=180 ,又/ Z

29、PMF= Z BMA= Z CMD , / Z MCD= Z F .14.如图,已知 ABC是等边三角形，点 D、E分别在BC、AC边上,且 AE=CD , AD与BE相交于点F.(1) 线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.(2) 求Z BFD的度数.分析：(1)根据等边三角形的性质可知 Z BAC= Z C=60 , AB=CA ,结合AE=CD ,可证明 ABE CAD ,从而证得结论；(2)根据 Z BFD= Z ABE+ Z BAD , Z ABE= Z CAD ,可知 Z BFD= Z CAD+ Z BAD= Z BAC=60 解答：(1)证明：/ ABC 为等边三角形,/ Z

30、 BAC= Z C=60 AB=CA .在厶ABE和厶CAD中，AB 二 ACZBAE=ZC / ABECAD / AD=BE .AE=CD(2)解：/ Z BFD= Z ABE+ Z BAD ,又丁厶ABECAD , / Z ABE= Z CAD . / Z BFD= Z CAD+ Z BAD= Z BAC=60 15.如图,在 AABC中,AB=BC , Z ABC=90 , F为AB延长线上一点，点 E在BC上,BE=BF ,连接 AE、EF和CF , 求证：AE=CF .分析：根据已知利用SAS即可判定 ABECBF ,根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF .解答：证明：/ Z

31、 ABC=90 / Z ABE= Z CBF=90 又； AB=BC , BE=BF , :. ABE 耳 CBF (SAS). / AE=CF .16.已知：如图，在 OAB 中，/ AOB=90 OA=OB，在 EOF 中，/ EOF=90 OE=OF，连接 AE、BF .问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由.分析:可以把要证明相等的线段AE ,CF放到 AEO , BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO ,OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去/ BOE的结果，当然相等了，由此可以证明 AEO BFO ;延长BF交AE 于 D，交 0A 于 C，可证明 / BDA= / AOB=90 则 AE 丄 BF .解答:解：AE与BF相等且垂直，理由：在 AEO与厶BFO中，/ Rt OAB 与 Rt OEF 等腰直角三角形，： AO=OB，OE=OF，/