二重积分部分练习题

1、1.2x3,一、选择I（2 分）1（3分）2二重积分（16小题，共53.0分）（3分）3若区域D(A) 0;2 2为 0yx ,|x|2,贝U i ixydxdy = =D64(C)3(B) 323(D) 256答（3分）4设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域, 续函数，则二重积分f （x2, y2）dxdy =D2 2.f(x ,y )dxdyD1)f是区域 D : |x|+|y| 1上的连(A) 2(B) 4(C) 8(D)12(3分)5设f(x,y)是连续函数，则二次积分1 y X2y2710dy ： f(x,y)dxf(x,y)dx1 y Xdy * f(x, y)

2、dx(A)(B)(C)1 y 12p：y2dyf(x,y)dx v dy = f (x, y)dx(D)2一 y2 40dy ； f (x, y)dx）（3分）6设函数f（x,y）在区域D: y2x2上连续，则二重积分f (x, y)dxdy可化D累次积分为0x2(A) ,4dv - f (x,y)dy1-y2(C) (dyf(x,y)dx0x2(B) dx - f (x,y)dy -1 -1y2(D) Jdy 扮 f(x,y)dx（3分）7设f（x,y）为连续函数，则二次积分13-y2dy j 2 f (x, y)dx可交换积分次序为 0 y2题目部分，（卷面共有100题，405.0分，各大

3、题标有题量和总分）211 xydxdy (其中 d : 0 y x ,0 x 1)的值为D(D)(A)0dx f(x,y)dy 1 dxf (x, y) dy(B)-2x- 2133 _x202dx 0 f(x,y)dy 1 dx f(x,y)dy 2dx 0 f(x,y)dy(C)13公20dx p f(x,y)dy(D)02 d cosf (r cosv,r sin rdrsin2 二(3分)8设f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为1 y22(A)0dy f (x,y)dx 彳 dy f(x,y)dx22 _x1x2(B)(C)(D)0dy 0 f(x,y)dx 计 dy 0 f

4、 (x, y)dx12 ady士 f (x,y)dx12丄0dy x2 f (x,y)dx（4分）9若区域D为（x 1）2+y2 1,则二重积分i 2cos r(A) 0d0 F(r,Rdr答（）I l f （x, y）dxdy化成累次积分为DJt2cos日(B) _ d 0 F(r, dr2cos 1(C) jdr 0 F(r)drJI2cos 712其中 F(r, 0 )=f(rcos 0 ,rsin 0 ) r.(D) 2 2drF(r)dr0 02答（）（3分）10若区域D为x2+y2 2x,则二重积分（x小旷丘 dxdy化成累次积分为D2cos p(A) 2二(cos sin巧 2r

5、cosdr- 020)d0n2cos V 3(C) 2 p2 (cos= sin r)dor dr2cos V 3(D) 2 2-(cosv sinr)d0 r dr(4 分)11设 I1由 x=0,y=0, x y =2(A) I1 I2 I3;(C)I1 丨3 D;11ln(x y)7dxdy,l2 = (x y)7dxdy,I311 sin7(x y)dxdy其中 D 是D1,x+y=1所围成的区域，贝U I1, I2,I3的大小顺序是dxdy(B)I3 I2 I1;(D)I3 I1 I2.(5分)12设I2厂I皿1+cos x+sin y，则I满足(A) d I32(C) D II 1

6、, I2 , I31 1（4分）13设x y 其中D是由直线x=0,y=0,匚及x+y=1所围成的区域，则2 J(B)I1 I2 v I3;(D)l3 I1 I2.的大小顺序为（A）I3 I2 I1;答（D1 U D2上的连续函数,（C）I1 I3 I2;2(B) 4 f (x , y)dxdyD2（3分）14设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且DJ。2= ：,f（x,y）是定义在 则二重积分（A） 2 f （x2, y）dxdyD12(C) 4 f (x , y)dxdyD11 2(D). f (x , y)dxdy2 D2(3 分)15若区域 d 为 |x| 1,|y| 1,则 11 x

7、ecos(xy) sin(xy)dxdy 二D-1(B) e ;(D) n .(A) e；(C) 0；(4 分)16设 D: x2+y2 0),当 a=时,答(I I ., a2 -x2 _y2dxdy = :.D(A)1、填空(B)體（6小题,共21.0分）（4分）1设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把 D任意分成n个小区域 c（i=1,2,n）,在每个小区域（T i任意选取一点（E i, n i）,如果极限nlim v f（i,（其中入是i（i=i,2,n）的最大直径）存在，则称此极限值为7 i4的二重积分。（4分）2若D是以（0 , 0） , （1 , 0）及（0 , 1）为顶点的

8、三角形区域，由二重积分的几何意义知.（1_x_y） =.D（3分）3设D :0 _ y _ a2 x2,0 _ x _ 0，由二重积分的几何意义知J J Ja2 _x2 _y2dxdy =.D(3 分)4设 D: x2+y2 0,则二重积分JJsi n(x3y2)du =。D(4分)5设区域d是x2+y2 1与x2+y2 2x的公共部分，试写岀丨丨f (x, y)dxdy在极坐标系下先D对r积分的累次积分2cos .亠1_2cos r_ Jdj F(rj)dr fdv0F(rc)dr2djF(r)dr勺刁3（3分）6设D : 0 x 1,0 W y 2（1 x）,由二重积分的几何意义知.1 -

9、XD .三、计算（78小题，共331.0分）（3分）1设f（x,y）为连续函数，交换二次积分 的积分次序。（3分）2设f（x,y）为连续函数，交换二次积分 的积分次序。（3分）3设f（x,y）为连续函数，交换二次积分 的积分次序。（3分）4设f（x,y）为连续函数，交换二次积分 的积分次序。（4分）5计算二重积分其中 D : 0 y sinx,0W x n .（3分）6计算二重积分其中D是由曲线y=x,直线y=0,x=2所围成区域 （3分）7计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。（3分）8计算二重积分其中 D : x yW x,1 x 2.（3分）9计算二重积分其中D是由

10、直线x=0,y= n和y=x围成的区域。（4分）10计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。（3分）11计算二重积分TT其中 D:0 _x , 1 _ y _14（3分）12计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。（3分）13计算二重积分其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。（3分）14计算二重积分1其中D是由双曲线 y ，直线y=x及x=2所围成的区域。x（3分）15计算二重积分其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。（3分）16计算二重积分其中 D : |x|+|y| 1.（3分）17计算二重积分其中 D

11、 : |x|+|y|0）所围成的区域。（4分）20计算二次积分（4分）21计算二重积分其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。（4分）22计算二重积分其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。（4分）23计算二重积分其中D是由曲线x =1 v y ,y=1 x及y=1所围成的区域。（4分）24计算二重积分其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）25计算二重积分其中D为丫 - -与x=0所围成的区域。（4分）26计算二重积分1 2其中D是由抛物线yx2及直线y=x+4所围成的区域。2（4分）27计算二重积分其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）28计算

12、二重积分其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。（5分）29计算二重积分其中D是由x=o, y = . 2 ，y=x所围成的区域。（4分）30计算二重积分其中 D : 0 y sinx,.（5分）31计算二重积分其中 D: 1： , 0 yW 2.（4分）32计算二重积分其中D是由抛物线y二,X及y=x2所围成的区域（4分）33计算二重积分2 2其中D :笃+与兰1a b（4分）34计算二重积分其中 D :2 x _ y _1.1 x2,0 _x _1（5分）35计算二重积分其中 D ：acosv : r - a,0（a 0）2（4分）36利用极坐标计算二次积分j/dxJx

13、+y dy（5分）37利用极坐标计算二重积分其中 D : K x2+y2 0,y x.（4分）38利用极坐标计算二重积分其中 D : a2 x2+y2 0,y 0,a 0,x=0 处广义。（5分）39试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线 x+y=3所围成三角形内的平均值。（6分）40试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。 （4分）41由二重积分的几何意义，求（4分）42计算二重积分 其中 D : x2+y2w 2 及 x y2.原式=（3分）43计算二重积分其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。（4分）44计算二重积分2 2

14、 2 2其中 D : x +（y 1） 1,x +（y 2） W 4,yW 2,x 0.（5分）45计算二重积分 其中 D : x2+y2w 5, x 1 y2.（5分）46计算二重积分其中D是由（x 2）2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域。（4分）47计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。（3分）48计算二重积分 其中 D : x2+y2W R2.（5分）49计算二重积分其中区域D = 1 x（4分）50计算二重积分其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域（4分）51计算二重积分其中 D : x2+y2 0.（5分）52计算二重积分2 2其中D :

15、写+占1a2 b2（5分）53计算二重积分 其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。（5分）54计算二重积分 其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。（5分）55计算二重积分其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p0）所围成的区域。（6分）56计算二重积分D是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。（6分）57计算二重积分其中D是由抛物线y= . （x 1）和直线y=x,y=2所围成的区域。（5分）58计算二重积分其中D是以0（0 , 0）, A（10, 1）和B（1 , 1）为顶点的三角形区域。（5分）59计算二重积分 其中D是由x=1,y=x3,y=.所围成

16、的区域。（8分）60计算二重积分其中D是以O（0 , 0）, A（1, 1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。（3分）61计算二重积分其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。（4分）62计算二重积分 其中D是由y=X2,y=0,x = 1所围成的区域。（5分）63计算二重积分 其中 D : x2+y2 0,y 0.（5分）64计算二重积分 其中 D : x2+y2 2x,x2+y2 4x.（5分）65计算二重积分 其中 D : x2+y2 2x.（4分）66利用极坐标计算二重积分 其中 D : n 2 x2+y2 4 n 2（4分）67计算二重积分 其中 D : x2+y20,y 0.2

17、 2 2 一（7分）68设区域D: x +y 0）,计算二重积分其中fC 1当 x , y 其它点（4分）69利用极坐标计算二重积分其中 D : x2+y2 ,y 0.（a）（3分）7利用极坐标计算二重积分其中 D : K x2+y2 8.（3分）71计算二重积分其中 D : x2+y2 1,x2+y2 0.2 2（5分）73计算二重积分xyedr，其中区域D为x2+y2 1在第一象限部分。D（5分）74将二重积分ii f （x, y）dv化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D、,0 y 1.（6分）75利用极坐标计算二重积分其中 D : x2+y2 x.（5分）76计算二重积分其中D

18、: y x16-y2 ,0 y 0.（6分）77计算二重积分其中 D : x2+y2 0）,x 0,y 0.（5分）78利用极坐标计算二重积分其中 D : K x2+y2 0,y 0.=答案=答案部分，（卷面共有100题,405.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（16小题，共53.0分）（2分）1答案B.（3分）2答案B.（3分）3答案A.（3分）4答案（B）.（3分）5答案（C）.（3分）6答案C.（3分）7答案B.（3分）8答案C（4分）9答案C.（3分）10答案D.（4分）11答案C.（5分）12答案A.（4分）13答案B.（3分）14答案 （A）.（3分）15答案C.（4分）16答

19、案B.二、填空（6小题，共21.0分）（4分）1答案函数f（x,y）在D上（4分）2答案（3分）3答案（3分）4答案 0.（4分）5答案记 F（r, 0 ）=f（rcos 0 ,rsin 0 ） r,（3分）6答案三、计算（78小题，共331.0分）（3分）1答案1 2x22原式=J0dxjX f（x, y）dy + （ dx Jx f （x, y）dy（3分）2答案2y42原式=o dy J f （x, y）dx 2 dy f （x, y）dx2 2（3分）3答案原式= dx 2* 42 -2f（x, y）dy（3分）4答案1ey原式=0dy 1 f（x, y）dx（4分）5答案原式（3分）

20、6答案原式（3分）7答案原式（3分）8答案原式（3分）9答案原式（4分）10答案原式（3分）11答案原式（3分）12答案原式或解原式（3分）13答案原式（3分）14答案原式（3分）15答案原式（3分）16答案原式（3分）17答案原式（4分）18答案原式（4分）19答案原式（4分）20答案原式（4分）21答案原式（4分）22答案原式（4分）23答案原式（4分）24答案原式（4分）25答案原式（4分）26答案原式（4分）27答案原式（4分）28答案交点为（1,1） 2,- （2,4）气2丿原式（5分）29答案原式（4分）30答案原式（5分）31答案原式（4分）32答案交点为（0,0）, （1 , 1）原式（4分）33答案由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|=y.原式（4分）34答案原式（5分）35答案原式（4分）36答案原式（5分）37答案原式（4分）38答案原式（5分）39答案9而D的面积=2所求平均值=3.（6分）40答案15xiif（x,y）dxdy dx （x by）dy_0xD二：（4x2 72x2）dx76-3而D的面积2所求平均值=123（4分）41答案原式=|