专题立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊)(最新整理)

1、专题二立方和（差）公式、和（差）的立方公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1） 平方差公式(a + b)(a - b) = a2 - b2 ；（2） 完全平方公式(a b)2 = a2 2ab + b2 。我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式(a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ；（2）立方差公式(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 ；（3） 三数和平方公式(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) ；（4） 两数和立方公式(a + b)3 = a3 + 3a2

2、b + 3ab2 + b3 ；（5） 两数差立方公式(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 。对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。例 1 计算：（1） (3 + 2 y)(9 - 6 y + 4 y2 ) ；（2） (5x - 1 y)(25x2 + 5 xy + 1 y2 ) ；224（3） (2x +1)(4x2 + 2x +1) 。分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式= 33 + (2 y)3 = 27 + 8 y3 ；（2）原式= (5x)3 -

3、( 1 y)3 = 125x3 - 1 y3 ；28（3）原式= 8x3 + 4x2 + 2x + 4x2 + 2x +1 = 8x3 + 8x2 + 4x +1。说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“ +2x ”改成“ -2x ”则利用公式计算；若将第二个因式中“ +2x ”改成“ +4x ”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算(2x +1)(2x +1)2 = (2x +1)3 = (2x)3 + 3(2x)2 1+ 3(2x) 12

4、+13 = 8x3 +12x2 + 6x +1。例 2 计算：（1） (x3 -1)(x6 + x3 +1)(x9 +1) ；（2） (x +1)(x -1)(x2 + x +1)(x2 - x +1) ；（3） (x + 2 y)2 (x2 - 2xy + 4 y2 )2 ；分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键. 解：（1）原式= (x9 -1)(x9 +1) = x18 -1 ；（2）解法一：原式= (x +1)(x2 - x +1)(x -1)(x2 + x +1) = (x3 +1)(x3 -1) = x6 -1；解法二：原式= (x +1)(

5、x -1)(x2 +1) + x(x2 +1) - x= x6 -1 ；（3）原式= (x + 2 y)(x2 - 2xy + 4 y2 )2= x6 +16x3 y3 + 64 y6 。说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦.例 3 因式分解：（1） x3 y3 +125 ；（2） a - 27a4 ；（3） x6 - y6 。分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的 a, b 是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。解：（1）原式= (xy)3 + 53 = (xy + 5)(x2 y2 - 5xy + 25) ；（2）原式=

6、a(1- 27a3 ) = a13 - (3a)3 = a(1- 3a)(1+ 3a + 9a2 )（3）原式= (x3 )2 - ( y3 )2 = (x3 + y3 )(x3 - y3 ) = (x + y)(x2 - xy + y2 )(x - y)(x2 + xy + y2 ) 。说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。例设 x + y = 5, xy = -1 ,试求 x3 + y3 的值。分析：对于立方和公式 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) ，我们不难把它变成：a3 + b3 = (a + b)(a

7、+ b)2 - 3ab ，即 a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) ，再应用两数和、两数积解题较为方便。解： x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) = 53 - 3(-1) 5 = 140 。说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。例5例6如果dabc 的三边 a, b, c 满足 a3 - a2b + ab2 - ac2 + bc2 - b3 = 0 ，试判断dabc 的形状。分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。解：因为 a3 - a2b + ab2 - ac2 + b

8、c2 - b3 = 0 ，所以 a3 - b3 + (-a2b + ab2 ) + (-ac2 + bc2 ) = 0 ，即(a - b)(a2 + ab + b2 ) - ab(a - b) - c2 (a - b) = 0 ，(a - b)(a2 + b2 - c2 ) = 0 ，所以 a = b 或 a2 + b2 = c2 ，因此dabc 是等腰三角形或直角三角形.说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形. 练习1. 计算：（1） (4 + a)(16 - 4a + a2 ) ；（2） (2a - 1 b)(4a2 + 2 ab + 1 b2 ) ；339

9、（3） (-x -1)(x2 - x +1) ；（4） x(x - 2)2 - (x2 - 2x + 4)(x + 2) 。2. 计算：（1） (x + 2)(x - 2)2 (x2 - 2x + 4)(x2 + 2x + 4) ；（2） (2x + 3y)3 ；（3） (5 - 1 b)3 ；3（4） (m -1)3 (m2 + m +1)3 。3. 分解因式：（1） (2x +1)3 + x3 ；（2） 27x3 - 8 y3 ；（3） 2x3 - 1 y3 ；4（4） m6 - 64 。4. 化简：a - ba - ba a - b ba +ab + b- 。5. 若 a + b + c

10、 = 0 ，求证： a3 + a2c + b2c - abc + b3 = 0 。6（1）已知 m + n = -2 ，求 m3 + n3 - 6mn 的值；（2）已知： x - y = 1，求 x3 - y3 - 3xy 的值.7. 已知两个正方体，其棱长之总和为 48cm，体积之和为 28cm3，求两个正方体的棱长.8. 已知 a + b = 1，求 a3 + 3ab + b3 的值。9. 已知 a - b = 2, ab = 48 ，求 a4 + b4 的值。10. 已知实数 a, b, c 满足 abc 0 ， a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 2, a3 +

11、 b3 + c3 ，求 abc 的值。答案：1（1） 64 + a3 ；（2） 8a3 -1 b3 ；（3） -x3 -1 ；（4） -4x2 + 4x - 8 。272（1） x6 - 64 ；（2） 8x3 + 36x2 y + 54xy2 + 27 y3 ；（3）125 - 25b + 5 b2 - 1 b3 ；（4） m9 - 3m6 + 3m3 -1。3273、（1） (3x +1)(3x2 + 3x +1) ；（2） (3x - 2 y)(9x2 + 6xy + 4 y2 ) ；（3） 1 (2x - y)(4x2 + 2xy + y2 ) ；（4） (m + 2)(m - 2)(

12、m2 - 2m + 4)(m2 + 2m + 4) 。4b425提示： a3 + a2c + b2c - abc + b3 = (a + b + c)(a2 - ab + b2 ) = 0 。6（1）-8（2）17两个正方体的棱长分别为 1cm 和 3cm.8.19.5392110.6（兴化市第一中学张俊）“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learnin

13、g is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of en