专题研究正、余弦定理应用举例习题和答案详解

1、第一次作业1如图所示，为了测量某湖泊两侧A, B间的距离，李宁同学首先选定了与 A , B不共线的一点C（ ABC的角A，B，C所对的边分别记为 a, b，c）,然后给出了三种测量方案:测量A，C，b;测量a，b，C;测量A，B，a，则一定能确定 A，B间的距离的所有方案的序号为（）B .D .可以计算出A，B两点的距离为（解析由题意，得B = 30.由正弦定理,ABsin/ ACBAC .AC sin/ ACBsinB，AB sinB50 xA .C.答案 D解析 由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.（2019广东中山上学期期末）如图所示，设

2、 A，B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧， 在所在的河岸边选定一点 C，测出AC的距离为50 m，/ ACB = 45 / CAB = 105后，就A . 50 . 2 mC. 25 .2 m答案 A=50 2 （m）.故选 A.3有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20现要将倾斜角改为 10则斜坡长为（）A . 1千米B . 2sin10。千米D . cos20 千米C. 2cos10 千米 答案 C解析 由题意知 DC = BC = 1，/ BCD = 160 BD2 = DC2 + CB2 2DC- CB-cos160 = 1 + 1 2X 1 x 1cos(180 - 20) = 2

3、 + 2cos20 =4cos210,. BD = 2cos10 .4.两座灯塔 A和B与海岸观察站 C的距离相等，灯塔 A在观察站北偏东 40。，灯塔B在观察站南偏东60则灯塔A在灯塔B的（）A .北偏东10 B .北偏西10 C.南偏东10 D .南偏西10 答案 B5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60另一灯塔在船的南偏西75则这艘船的速度是（）B . 5 ；3海里/时A . 5海里/时海里/时C. 10D . 10 .3海里/时答案 C解析如图，A , B 为灯塔，船从 O 航行到 O, OBO_ =

4、 tan30 ,= tan15 , BO = .3OO, AO = (2 + ；3)OO/ AO BO = AB = 10,. OO (2 + 3) ；3 = 10. OO，= 5.26.（2019湖南师大附中月考）如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得/ BCD = 15 / BDC = 30 CD=30 ,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔咼AB =（）答案 D解析 在厶BCD 中，/ CBD = 180 45 = 135.由正弦定理得所以BC =BC =30sin30 =sin 135，5船的速度为5= 10海里/时.115 .2.在 Rt

5、 ABC 中，AB = BCtan / ACB = 15 .2 X ：3= 15 .6.故选 D.7.个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在 喷水柱正西方向的点 A测得水柱顶端的仰角为 45沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30 则水柱的高度是()A. 50 mB. 100 mC. 120 mD . 150 m答案 A解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在 ABC中，A = 60 AC = h, AB = 100,BC =3h,根据余弦定理得(/3h)2= h2 + 1002- 2 h 100 cos60 即 h

6、2+ 50h 5 000= 0,即(h 50)(h + 100) =0，即h= 50,故水柱的高度是 50 m.8衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别ABC , ABD，经测量AD = BD = 7米，BC = 5 米，AC = 8 米，/ C =/D.(1) 求AB的长度；(2) 若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素， 小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？c 3 = 1.732,2 = 1.414)答案 (1)7米小李的设计建造费用低，86 600元解析(1)在

7、厶ABC中，由余弦定理，得AC 2+ BC2 AB 282+ 52 AB2C0SC=2AC - BC = 2X 8X 5 .7彳+ 7一 AB 2心ABD中，由余弦定理，得cosD=2 X7X7.由/ C= Z D,得 cosC= cosD. AB = 7,. AB 长为 7 米.(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：1 1S abd = ?AD - BD - sinD , Ssbc = 2AC - BC - sinC./ AD - BDAC - BC , Sabd Sabc.故选择 ABC建造环境标志费用较低. AD = BD = AB = 7,.A ABD 是等边三角形，ZD = 60.

8、 S abc = 10 3= 10X 1.732 =17.32.总造价为 5 000 X 17.32= 86 600(元).9. (2019上海市徐汇区模拟)如图，某快递小哥从 A地出发，沿小路 AB t BC送快件到C 处，平均速度为 20公里/时，已知BD = 10公时，/ DCB = 45 / CDB = 30 ABD是等 腰三角形，/ ABD = 120(1) 试问，快递小哥能否在 50分钟内将快件送到 C处？(2) 快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车 沿大路AD t DC追赶，若汽车平均速度为 60公里/时，问，汽车能否先到达 C处？答案不

9、能能解析 由题意知，AB = 10公里,在厶BCD中，由= -B ”得BC = 5 2公里，sin 45 sin 30v快递小哥行走的路程为AB + BC = (10+ 5电公里，其需要的时间t = 10；“2X 60 51.21(分),因为51.2150，所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到 C处.1在 ABD 中，由 AD2= AB 2+ BD2-2AB X BD X cos120= 102+ 102 2X 10X 10X （-刁=300，得 AD = 10 3公里,5 2sin30，CD在“CD 中，/ CBD = 105,由急=得 CD = 5(1 + .3)公里，则汽车到达 C处所

10、需时间t = 10 3* 當 * 3)X 60 + 15= 20+ 15 3 45.98(分), 因为45.9851.21，所以汽车能先到达 C处.第二次作业1由下列条件解厶ABC，其中有两解的是（）A . b = 20, A = 45 C= 80 B . a= 30, c= 28 , b= 60 C. a= 14, c= 16, A = 45 D . a= 12, c= 15, A = 120答案 C解析对于A，由A = 45 C= 80得，B = 55由正弦定理asi nAbsi nBsinC得a=bsi nAsi nB= 冥二,c= 2豐汁,此时 ABC仅有一解，A不符合条件；对于 B,

11、由a= 30, c= 28, sin55sin55B = 60。，由余弦定理 b2= a2 + c2 2accosB，得 b2= 844，可得 b = 2 211，此时 ABC 仅有一解，B不符合条件；对于 D，由a= 12, c= 15,知ac,则Aa,故C45，由正弦函数的图像和性质知，此时厶ABC有两解，故选C.2. （2016课标全国 川，理）在厶ABC中,B = n BC边上的高等于iBC，则cosA =（）C.1010答案解析设厶ABC中角A, B, C的对边分别是a, b, c,由题意可得ga= csinn=_22c,贝V aABC 中，由余弦定理可得 b2= a2 + c2 2

12、ac= |c2 + c2 3c2 = |c2,则 b =亠2%由余弦定理，可得cosA =亡2=2bcfc2+ c22c22X10-cX c卅故选C.3. (2015 东，文)设厶ABC的内角A, B , C的对边分别为 a, b, c.若a= 2, c= 2.3, cosA =中且 bc，贝U b=()A . 3B . 2 2C. 2D. . 3答案 C解析由余弦定理得 a2= b2+ c2 2bccosA，即 4= b2+ 12 6b? b2 6b+ 8= 0? (b 2)(b 4)= 0,由 b2ab= 1,所以cosC的最小值为1,故选C.2ab 4ab4ab 225. （2019安徽

13、合肥模拟）在厶ABC中，A = 60 AB = 2,ABC的面积为-2,则BC的长为（）AhB. 3C. 2 ,-3答案解析1 1 因为 S= 2AB - ACsinA = x 2 x写,所以AC = 1,所以所以BC = 36.如图，在 ABC中，/ B = 45, D是BC边上一点,AD = 5, AC = 7, DC = 3,则ABBC2= AB 2+ AC2 2ABACcos60 = 3.的长为（）B.詈C6C. 2答案 C解析 在厶 ABC 中,/ AD = 5 , AC = 7 , DC = 3, cos/ADC =心十 DC；心2AD - DC/ADC = 120 / ADB =

14、 60 在厶ABD 中，AD = 5，/ B = 45 / ADB = 60 由正弦 定理仁=鴛，得AB =苧7设 ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,且acosC+：= b,则A = 答案na2+ b2 c2T3a2 + b2 c2 T3解析由余弦定理得cosC= 一，将其代入acosC+Fc= b中得,ax 一+庁c= b，化简整理得 b2 + c2- a2= 3bc，于是 cosA = b := f ，所以A =nac&设 ABC的三个内角 A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足 両=猛，则A =答案n4解析令.一k,由正弦疋理，得a= ksinA , c=

15、 ksinC.代入已知条件得.i ，tanAsi nCcosA si nC=1,n A (0, n ), A -.49. （2018江苏）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c,Z ABC = 120 / ABC的平分线交AC于点D，且BD = 1,则4a+ c的最小值为 .答案9解析因为Z ABC 120 Z ABC的平分线交 AC于点D，所以Z ABD Z CBD 60由, 1 11三角形的面积公式可得 qacsin120= qasin60 + qcsin60,化简得 ac= a+ c,又 a0, c0,所以 1+ -= 1,则 4a+ c= (4a + c)(-+ -)= 5+ c + 4a5+ 2,cj4a= 9,当且仅当 c= 2a时取a ca c a c a c等号，故4a+ c的最小值为9.10. (2017课标全国 川，理) ABC的内角A , B, C的对边分别为 a, b, c,已知sinA + . 3cosA = 0, a= 2 , 7, b = 2.(1) 求 c；(2) 设D为BC边