导数背景下零点问题集合与其他知识的交汇问题

1、问题3导数背景下零点问题一、考情分析近几年高考命题情况来看，对这部分内 容的考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点主要有两种考查类型：（1）确定函数零点图象交点及方程 根的个数问题；（2）根据函数零点图象交点及方程根的个数求参数的值或取值范围问题.二、经验分享（1）用导数确定函数零点或方程根个数的方法： 构建函数g

2、（x）（要求g（x）易求，g（x） = 0可解），转化确定g（x）的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出g（x）的图象草图，数形结合求解 利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数（2）解决复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： 在该区间上构造与方程相应的函数； 利用导数研究该函数在该区间上的单调性，若是单调函数，则进行下一步； 判断该函数在该区间端点处的函数值异号； 得出结论（3）在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴（或

3、某直线）的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.三、知识拓展 三次函数的零点对于三次函数的导函数为（X），恒成立，则f x是增（减）函数，f x有1个零点;2.若f Xi； = O有两个不同实根人必，若，则f X有2个零点;若，则f x有1个零点;若 /h)/()0， k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；(3 )若I,记函数1h(a) 4 h(b) :，所以:茫.+ ：* :令：；_：!，得 1 一当时，：则单调递减；当时， ，则单调递增；所以 为-的极值点因为 H ,沐，又 在住，订上连续且单调所以 在-

4、 .;上有唯一零点取满足且 则 因为且，所以 所以，又在v 上连续且单调所以，在-二”上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点心、屮讪肺、fg gg + l + （l-i）Z+l（3）H 时，由五x（M,；心H爲）呦，则有21呦唤呦1胡 由于畑/匕学3当工时，寫拦E：在|（上单调递增所以 1：- 即-，得：e 当，I时, 在门上单调递减;在雷总恤撚上， 在11上单调递增;在门上，所以 订空叫冷:耳冈2x牛 maxd易知在和L：叮|上单调递减fc+l 43 _ 3故，而，所以不等式（*）无解 e e e综上，实数：.的取值范围为 门卜：、或【点评】证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的

5、最大值确定，进而再通过零点存在定理 来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关 键【小试牛刀】【启东中学2018届高三上学期月考】设31,函数+ （1）证明；在0, qa上仅有一个零点;（2）若曲线在点i处的切线与轴平行，且在点r .处的切线与直线平行,（0是坐标原【解析】（1）（尤）（宀2却）（x+旷 f XR0,；/（尤）=（1 +聲冶-口在（亠，垃）上为增函数.:a 1 -/（0）Tpv0又=-1,QnoI. .1,即o,由零点存在性定理可知，f（x ）在（-，畑）上为增函数,且-f x在0a -1上仅有一个零点（2）心（咒十1，设点P（

6、X0,y。）,则广 d区+y = f（x ）在点P处的切线与x轴平行，-f （对二八区+1） =，二x）= _1,点M处切线与直线0P平行，点M处切线的斜率1 2k =广（册）=昇（冊十1） = _又题目需证明必存二_1 ,即?F一，. j则只需证明(加十1)乞叫柄T)，,即m+Uem. 令莒(也)=*-1：删+ 1),则g心卜矿-1 ,易知，当m三 . ,0时，g m : 0,单调递减，当m iO,盧”时，g m 0,单调递增，窖(加)葩=茗()=0 ,即茗脚1 =声一加+1王0.m 作 em,(二) 根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围【例2】【盐城中学2018届高三上第一次阶段

7、性考试】已知函数f( x)=计+ 1(沦0)jT +2x+1(x0 时，由 f (x)- 1=0 得+ 1_1 =0 ,得 x=0,Q由,y=f (f (x)- a) - 1=0 得 f (x)- a=0 或 f (x)- a= - 2, 即 f (x) =a,f (x) =a - 2,作出函数f (x)的图象如图:x dy= -v 十1 1(x 0),e1 _xy =,当x ( 0,1 )时,y 0,函数是增函数,x ( 1,+ g)时,y v 0,函数是减函数e1x=1时,函数取得最大值：1十丄,e1v a-2 a 2=1 +a 3+1e11:1 ：时，即 a( 3,3+ )时,y=f (

8、f (x)- a) - 1 有 4 个零点, ee11时，即a=3+时则y=f (f (x)- a) - 1有三个零点，ee时,y=f (f (x) - a) - 1有1个零点当a=1+1时，则y=f (f (x)- a) - 1有三个零点e,1a 1-当e时，即aa -2 乞 111 + _,3 )时,y=f (f (x) - a) - 1 有三个零点. e3个零点.故答案为:1一,32；3+ 它I e【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以

9、解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【小试牛刀】已知函数f(x) = x2 + xsi n x+ cosx的图象与直线y = b有两个不同交点，求b的取值范围.【解析】f(x)= x(2 + cosx),令 f (x)= 0,得x= 0. 当 x0时，f( x)0,f(x)在(0,)上递增.当x0时,f (x)1时，曲线y = f (x)与直线y = b有且仅有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1, +g).(三) 根据函数零点满足条件证明不等式2019届高三第一次(2月)模拟】已知函数【例3】【江苏省南通、扬州、泰州、苏北

10、四市七市A*(1) 讨论；的单调性；(2) 设； 的导函数为.，若 有两个不相同的零点 _ . 求实数的取值范围； 证明：叩畑+ 【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可;问题转化为证， 即证，设函数 -., 根据函数的单调性证明即可.# x-a【解析】(1)的定义域为 少：-隅:，且；： 当时，：成立，所以在或为增函数；当 时，(i )当 ：时，：所以； 在仗一：如上为增函数；(ii )当：时，：所以； 在Q .辽上为减函数.(2)由(1)知，当时，； 至多一个零点，不合题意；当 时

11、，的最小值为，依题意知二0又，: 在茲为减函数，且函数 的图象在. “上不间断.所以在悶珂有唯一的一个零点.综上，实数：的取值范围是设.?-：-x! x2又*+- = 0,+?则f JW n + 0 iF不妨设勺7 ,由知0Xjj产（也）成立.所以加+ 2日円（筍）+ x/（x2） 2血+彳,即成立五、迁移运用1.【江苏省无锡市 2019届高三上学期期中】已知函数在1/ +唱;上的零点为1 1在（0上的零点为七则+ 的范围为 X1 a2f(刃*【答案】（1,）4【解析】i/（x） = tx + 1 = 011,由得，因为,所以 ，2-4 + 4x1+-24-因此.,因为厂 从而2k?，函数，令

12、 y=-/f + 1 + x1 + t】 I1 + 1 + k因此I- = k + - xi巾2 二则y = + jTffzl0）|III由题意，直线可得y=k（x-）恒过定点（，0），即X2h* * k 0恰有三个公共点，STH其直线必与（X）的相切，因为f （X）关于（，0）对称，所以Xi+X3=.11.：=-：，导函数几何意义：f（ 2x ） =-si n2 ci=k所以切线方程：y-沁亡Ml陆V过（，0 ）i所以2仇脚炉，斗亠=二=（:皿严;故答案为：3. 【江苏省无锡市天一中学 2018-2019学年高三11月月考】设 I.是自然对数的底数，函数广 （aex-x,xa（x）在（乩 Q

13、）单调递减，且：在m有一个小于时，；在Uj单调递增，也3;-，疔迹在讥十雌有一个小于1的零点，因此满足条件(1) 时，；在严:m单调递减，Ao)= uoW(a)在卜亦上没有零点.又打启朋t冷! . -,故，在(；.；间上也没有零点，因此不满足题意|时，； 在 -上单调递减，在 心4上单调递增,又-，故， 在尊Q上也没有零点，因此不满足题意(4ex-itx0J在壮列上只有零点2,满足条件.；时，： 在上没有零点，在L. ) ?：! 上有两个不相等的零点, 且和为=,故满足题意的范围是J二沪:三./lx)=x+kv-4的零点在区间综上所述，、的取值范围为Z也，故答案为汕驰.4. 【2017-201

14、8学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数(k ,k +1 )内,则正整数k的值为【答案】2【解析】 由函数的解析式可得函数在0：上是增函数，且-一1：一一-；、.，故有一亠-根据函数零点的判定定理可得函数在区间2,3上存在零点，结合所给的条件可得，故k二2,故答案为2.I x+21,% 075. 【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数 几列二匕叱“ 0在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为【答案】ef、x+21 (jc0|【解析】考查函数 小)= 血_丘,其余条件均不变,则: 当 X? 0 时，f(x)=x+2x,单调递增,f(-1)=-1+2-10,由零

15、点存在定理，可得f (x)在(-1,0)有且只有一个零点;则由题意可得x0时,f(x)=ax-lnx有且只有一个零点， 即有a= 有且只有一个实根.令=x当 xe 时，g(x)0, g(x)递减；当 0x0, g(x)递增即有x=e处取得极大值,也为最大值，且为1 ,e如图g(x)的图象，当直线y=a(a0)与g(x)的图象 只有一个交点时，则a二.回归原问题，则原问题中a=e.jfiy6. 【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测(一)】已知函数：,若曲线e x +1(e为自然对数的底数)上存在点,则实数a的取值范围为Xo,y使得【答案】【解析】结合函数的解析式:2e2xe可得：严(2) 二

16、严+1)，令 y =0,解得：x=0,当 x0 时,y 0,当 x0, y 0,则x (-g,0 ),函数单调递增，x( 0,+ g)时，函数y单调递减，则当x=0时，取最大值,最大值为e, y。的取值范围(0, e,结合函数的解析式：mo h+x可得：小)-y,则 f (f (y) =f (c) f (y) =cy,不满足 f (f (y) =y. 同理假设f (y0)=c0,g (x)在(0, e)单调递增，1当x=e时取最大值,最大值为 g e ,当xt0时，- e a的取值范围一：,丄.I e7【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】已知函数/二卫X*(27)JT

17、, eR.求函数：的单调增区间;若函数：有三个互不相同的零点0, ,其中.若 ，求a的值；:若对任意的都有； 心：成立，求a的取值范围.【解析】(1)由题意，求得函数的导数：；)-*押加r当已丄兰仝吳*二，即胪J时，随述恒成立，在R上单调递增;* _社厢5当-；：-时，令，解得彎-泰鵠；二的解集为-(怕班匹(沁L巳+鑒?即fU)的单调增区间为IF n19f f、亠曲亠fW = x3 -3jc2 + (2-a)x-x(xt ,)(x - 3q)(2)(1由题意可知，jtHt=4t 同，解得.，_卄/(Jf) = x3 * 3+(2 - a)x = x(x2 3x + 2 - ) - x(x- 3

18、 -(11)由题意可知，右+命=3* r虚=2 a- - -. ，2-aO若，即匸:一一时，勺在心老上恒成立，且，-,符合题意;当q 0时，设代叩 m =侃心）,则I】 0七g当.丁雳三d时, . IL；代:;_： ; i .-亠I：禺 + 2-0 = 0SfttU*)二卅 - 3af|-(3xJ-a(3xJ-6x)+ 2)整理得+ 3Xj + 7 0，即（対+ i）（琲-4后+ ?） 2 0,解得龙進呈一，8.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数 “八F（1 ）若-”：，求曲线：在点处的切线方程；（2） 若函数有且只有一个零点，求实数：的取值范围；（3）若函数:弑兀-泣鏡n

19、：邻对m： 1卜迺）恒成立，求实数：的取值范围.（是自然对数的底数, 隔0牯）【解析】（1）当“2时，咻2恥“II,则我3二，所以叩X rK所以切线方程为- -.fa(2)当卩.时，：，恒成立，所以； 单调递增,因为，所以； 有唯一零点，即卩.符合题意;(i )当当 时，令*，解得 ，列表如下:，即时，所以符合题意;使得所以不符题意;因为 /(a 1) (a 1J 1 1 2 fn(口 - 1)则 h（） = 1 -,所以单调递增，即，所以：,综上，的取值范围为 （Yl J 叨(3)尊(jc) = alnx + e31 -ex?二当卩.时，讥了恒成立，所以单调递增,所以.，即卩.符合题意；当必

20、:心时, gn（x） 0恒成立，所以9仗）单调递增,又因为所以存在抵&机你 剧，使得，=a*且当_ _时，即在，上单调递减,所以.，即不符题意；综上，：的取值范围为|附；训9 【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市 ）2019届高三第一学期期末】已知函数f(K)= x2 - a/nx - 1 卫鳖圧(1 )当a=2,求函数；的极值；(2)若函数/化J有两个零点，求实数a的取值范围【解析】(1)当a=2时，：，令，解得x=1.列表:xe 1)1(1 +切一0+极小值所以，当x=1时，：有极小值，:没有极大值f(jc = Jr2 - alnx - l,x 0*u(2)因为所以，.x当少肘时，：

21、，所以在代；-H-J上单调递增，只有一个零点，不合题意,，由得，所以在上单调递减，；在更;上单调递增,所以在处取得极小值，即为最小值1当 时，： 在(学ii上单调递减，： 在爲-H-J上单调递增,只有一个零点，不合题意；2当0 2时，J- alnx - 1 令-川肚 - 1 = 01，使得；F面先证明Sx = xinxf9x) = Ihjc + 设1 . 1，令:-，解得.列表/ 11xIffw一0+极小值彳右)xlnx - 1所以所以，当二，fl有极小值e，故.込，即因此，根据零点存在性定理知，在e乓俳上f(Q必存在一个零点,V二0,血)最多有两个零点又x=1也是；的一个零点，则；有两个相异

22、的零点，符合题意3当时，故fl注意到 ，取订-,贝 y，-，：-、- . -：-.-： (c + I)2 - a(a + 1)-1 = a0因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点,又x=1也是：的一个零点，则： 有两个相异的零点,综上所述，实数a的取值范围是血期松側感.符合题意10.【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】已知函数)4 + 朋 j (a ,冒).(1 )当a= b = 1时，求的单调增区间;(2 )当a0时，若函数 恰有两个不同的零点，求b的值;(3 )当【解析】a= 0时，若：-的解集为(m, n)，且(m, n)中有且仅有一个整数，求实数(1)当 a= b= 1 时

23、，b的取值范围.令厂Ci i,解得或所以f (x)的单调增区间是-和 -(2)法一：二，令-,得或，2b因为函数f (x)有两个不同的零点，所以 或: 亍 ；当时，得a= 0，不合题意，舍去:当直寻=0时,代入得心絆+心;:产如R b p 4 治h即万Q +宀）所以芥乳 法二：由于，所以: i:,11又因为用b0?由 r：-； - j得,令；：.：一 i,得当m时，戎崇农h（x）递减：当-：匚-时，拡鸿:沱，递增当黒注李占珀时，A：，单调递增当 时，的值域为RA b ，亠、 ft 4 - x3 4故不论 取何值，方程有且仅有一个根;o x2 /当Y0时，曲扁=肌-羽= ：*，bb 4 -4所以

24、-时，方程恰有一个根2,a口*F此时函数 m：心+匚:：）恰有两个零点-2和i.（3）当：时，因为所以-当|时，因为试瓊:沱，所以 在上递增,9 = -b0所以在仃,+罄/上，尊= I心-用證?，不合题意:所以？在，.递增，在 所以 =叫認=要使有解，首先要满足用土 -:,解得因为函数；有两个零点，所以H，解得 ,要使：的解集(m,n)中只有一个整数，则(ln2 -4j0即解得In3InZ .94设 W V，则.-，当J，时，就域;E”递增：当 沙QV卜换时，逾跳,递减所以,所以：.,2e 4ln3 ln2.所以由和得，：.11.【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】已知函数(加鏤二).(1

25、 )若一 ，3 一 ，求函数 - -的图像在- 处的切线方程;(2)若1 - .，求函数 - 的单调区间;(3)若 I,已知函数在其定义域内有两个不同的零点，且不等式/ fl)恒成立，求实数-的取值范围.f(x) = lnxx 【解析】(1)当时，:”：一，：，所以；：；，： I I 一 ：即函数，的图像在I处的切线方程为，I;/*(对=Inx 城. .1 , bx(2 )当I时，当 时，-在? I! ?上恒成立，即：在梦上单调递增;当 时，-的解集为，：的解集为二讪即；的单调增区间为/(x)=川肚(3 )当时，单调减区间为；丄， a - X， :X当：即：时，则在L+上恒成立，则 单调递减,

26、函数 最多有一个零点，所以卩.不符题意;H3+羁+0-fW/极大值当 时，令；-；-,解得，列表如下:由表可知，此时，小-u,所以存在,使得，f(a) ilna - a2 = a(2lnu - a)= 2lnax设，令1=0?解得，列表可知，贞叽尊应-2 0 ,所以曲x 0 , 故存在一:声C，使得设-，因为，所以 I，因为-(jix |J HX1a (1 - m)x. + mx 因为，解得：.，且:W)，所以上誇，即，设h()= m(E - l)lnt + fnt - I + 1?”怦)二 W +扩;二 当二时，旷範焉疋;在I上恒成立，所以单调递增，2所以沁(“)-;，即 在上单调递增，述)

27、“1所以，即符合题意；1心 j n.1 - m.”l-m 当时，址逍肿壷的解集为I，即：在I上单调递减，.1- m,八1- m因为 ，所以在：上恒成立，即在I上单调递减，mm1 VFl1因为i -匚 所以，在:：上恒成立，即不符合题意；mz综上，-.12.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f (x) = (2 - a) (x - 1)- 2lnx,g (x) =xe1(a R,e为自然对数的底数)(I)当a=1时，求f (x)的单调区间；f 1 (n)若函数f (x)在.0,上无零点，求a的最小值；I 2丿(川)若对任意给定的xo( 0,e,在(0,e上总存在两个不同的Xi

28、 (i=1,2 ),使得f (Xi) =g (xo)成立, 求a的取值范围.【解析】(1)当 a=1 时,f (x) =x - 1 - 2lnx,则 f( x) =1 - x由 f ( x) 0,得 x 2;由 f ( x)v 0,得 0 v xv 2.故f ( x)的单调减区间为(0,2,单调增区间为2,+ R);上恒成立不可能，(2)因为f ( x)v 0在区间i i；二：故要使函数：二只要对任意的匚-.旦牛，X 士)令-上无零点,f (x) 0恒成立,即对 6(0,新 2-99z(x-l)-21nx 21nx+22 ,则心.(小(xT) 乂恒成立.再令 niC:r)=21njd2)迁(,

29、寺),x2, v 2 , 2_-2(l-x) m &)一 T- n 则2 L 0,于是I(x)在(0,号)上为增函数，所以lGXl(-)=2-41n2故要使恒成立，只要a 2 - 4In2,+ ),X-1(1)综上，若函数f (x)在0,上无零点，则a的最小值为2 - 4ln2 ;I 2丿(3) gz( x) =e1x-xe1x= (1 -x) e1：当x( 0,1 )时,g ( x) 0,函数g (x)单调递增；当x( 1,e时,g ( x)v 0,函数g (x)单调递减.又因为 g (0) =0,g (1) =1,g (e) =e?e1- e0,所以，函数g (x)在(0,e上的值域为(0

30、,1.当a=2时,不合题意；2当 a2 时,f，( x) =Yy-,x ( 0,eXXX2 当 X=时,f ( x) =0.2 2由题意得,f (x)在(0,e上不单调，故J二,即：一一此时，当x变化时,f ( x) ,f (x)的变化情况如下:X(喘)(倍,e2-af ( X )0+f ( X )最小值/又因为,当xt0时,2 - a 0,f (x+巴f(7T) =a-21rL-r|f(e)=(2-a) -1)-2,a.a,所以,对任意给定的xo( 0,e,在(0,e上总存在两个不同的 Xi (i=1,2 ),使得f ( x) =g (xo)成立，当且仅当a满足下列条件：( QfO(厂)0a

31、-21nv0l (2-a)(e-l)-2l oo令 h ( a)=一二1. 一 匚 i :,2 a则 h,令 h( a) =0,得 a=0或 a=2,故当a (-g ,0 )时,h ( a) 0,函数h (a)单调递增；当zi1. 1 U.时,h ( a)v 0,函数h (a)单调递减.所以，对任意1 ,有 h (a)w h ( 0) =0,即对任意 1恒成立.3由式解得：.el综合可知，当a的范围是X： 匸I时,对任意给定的x( 0,e,在(0,e上总存在两个不同的 Xi(i=1,2 ),使 f (Xi) =g (X0)成立.13 .【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已

32、知函数mo +(4疋-氏+加(a,b)有一个零点为4,且满足f(0)=1.(1) 求实数b和c的值；(2) 试问：是否存在这样的定值X0,使得当a变化时，曲线y = f x在点X0, f X0处的切线互相平行？若存在，求出Xo的值；若不存在，请说明理由;(3 )讨论函数 gxf(x)ia 在0,4上的零点个数.加)N+l b_1【解析】(1)由题意.-,解得- 4 ;c = 1念)=/+(4)4丿假设存在xo满足题意,则=-:是一个与a无关的定值,是一个与a无关的定值，4 n jc+1+臼i 4 -,即-：. - - 4则2xo -4 = 0,即X。= 2,平行直线的斜率为JR(x)=/(x)+a=x +(4)兀(3)(1.(兀)=3#+ 2(-4)兀_&+-I4丿,二