导数的应用—单调性与极值的习题课(老师

1、2导数的应用一单调性与极值的习题课【复习目标】1. 理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2. 理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3. 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4. 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问

2、题；【基础过关】1.函数的单调性；若 f (x) 0,则f (X)为为 .(逆命题不成立) 如果在某个区间内恒有 f(x)9，则f(x)_.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数f(x)的；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺求f (x)，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根;序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间;确定f (x)在各小开区间内的 间内的增减性.2.可导函数的极值极值的概念 设函数f(X)在点X0附近有定义，且对 X0附近的所有

3、点都有 _f (xo)为函数的一个极大(小)值.称X0为极大(小)值点.求可导函数极值的步骤：求导数f (x)；求方程f (x) = 0的；检验f(x)在方程f (x) = 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，,根据f(X)的符号判定函数f(X)在各个相应小开区(或)，则称2yy0 f TJ)C那么函数y= f(x)在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y = f(x)在这个根处取得.【基础训练】例1如果函数y = f(X)的图像如右图，那么导函数y = f ,(x)的图像可能是(0X例2.曲线y=x _21 nx的单调减区间是()A. (0,1; B

4、.1,+); C.(二,1及(0,1 ； D.1,0)及(0,1;2例3.若函数f(x)= a在x=1处取极值，则a =x+1例4.函数f (x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f (X)在(a, b)内的图象如图所示，则函数 f (X)在开区间(a,b)内有极小值点例5.若f(X)= X3 +3ax2+3(a+2)x中1有极值，则a的取值范围是【典型例题】1(2011浙江五校联考)已知函数f(x) = X3+ ax2 + bx + c(x 1,2)，且函数f(x)在x= 1和x =22处都取得极值.3 (1)求a，b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解 (1) T f(x) =

5、x+ ax? + bx + c,.f (x) = 3x2+ 2ax + b.f L 2L 0 L= 1 由题易知，V 0；当 xC ( 3, 1)寸，f (X) V 0；当 x (1,2时，f(X) 0. f(x)的单调递增区间为-1， 2加(1,2.2.设函数 f(X)=x3 3ax+b(a H0).(I)若曲线y = f(x)在点(2, f (x)处与直线y =8相切，求a,b的值;(n)求函数f (x)的单调区间与极值点.(川)若b = -1且f(x)在x = -1处取得极值，直线y=m与y = f(x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。思考：若是有1个不同的交点呢？ 2个不同的

6、交点呢？3已知函数f(x) = 4x3 + ax2 + bx+ 5的图象在x= 1处的切线方程为 y= 12x.(1)求函数f(x)的解析式;求y= f(x)的单调递增区间. 解 (1)f (x) = 12x2 + 2ax + b,f (1) = 12+ 2a + b=- 12,又x= 1, y=- 12在f(x)的图象上, 4 + a + b+ 5=- 12,由得a= 3, b= 18, f(x)= 4x3 3x2 18x + 5.3由 f (x) = 12x2 6x 18= 0,得 x= 1,-当x变化时，f(x)与f(X)的变化如下表:x(s, 1)1(-1, 2)32十0十丿f (x)

7、十00十f(x)增减增 f(x)的单调递增区间为(汽1), |，+Tx4(2011安徽)设f(x) = e 2,其中a为正实数. 1十ax4(1)当a = 3时，求f(x)的极值点;3若f(x)为R上的单调函数，求 a的取值范围.解对f(x)求导得2,x1 十 ax 2 axf(x)= e “丄 22(1 十 ax J(1)当 a = 4时，令 f (x) = 0，则 4x2 8x+ 3 = 0,解得结合，可知xZ i)12fl 3、9 , 2丿32a十丿f (x)十00十f(x)z极大值极小值Z8所以，X1 = 3是极小值点，X2= 1是极大值点.若f(x)为R上的单调函数，则f(X)在R上

8、不变号，结合与条件 a 0,知ax2 2ax + 1 0在R上恒成立， 因此 = 4a2 4a = 4a(a 1)w 0，由此并结合 a 0，知0v aw 1.所以a的取值范围为(0,1.5.已知函数 f(x)=x 3-ax-1.(1 )若f(x)在实数集R上单调递增，求实数 a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1 , 1)上单调递减？若存在，求出 存在，说明理由；(1 )解 由已知f(x)=3x2-a, /f(x)在(-g，+ g)上是单调增函数，a的取值范围；若不 fx)=3x2-a0在(-g，+ S)上恒成立，即 aw3x2对x R恒成立2 . . 2/ 3x 0, 只需

9、 aw 0,又 a=0 时，f 0) =3x0,故f(x)=x 3-1在R上是增函数，则 aw 0.99(2)解 由 f(x)=3x-aw0 在(-1,1)上恒成立，得 a3x ,x (-1,1)恒成立.2 . . 2 -1x1, 3x 3.当 a=3 时，f(x)=3(x-1), 在 x( -1,1)上，f (x) 3.故存在实数a3,使f(x)在(-1 , 1) 上单调递减I 326已知函数f(x)=x +ax+bx+c,曲线y=f(x )在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0 ，若x=-时,3y=f(x(1)(2)解)有极值.求a,b,c的值；求y=f(x )在-3 , 1 上的最大值

10、和最小值.(1)由 f(x)=x 3+ax2+bx+c,得 f (x) =3x2+2ax+b,当x=1时，切线I的斜率为3,可得2a+b=0当 x=f 时，y=f(x)有极值，则 f(|0,可得 4a+3b+4=0由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为Af CD-I 1+a+b+c=4. c=5.322(2)由(1)可得 f(x)=x +2x-4x+5, f(X)=3x+4X-4, 令 f (X)=0,得 x=-2,x= 2 .3X-3(-3,-2)-213丿231) J丿1/ y+0-0+y8单调递增13单调递减9527单调递增4当X变化时，y,y 的取值及变化如下表： y=f (幻在-

11、3 , 1:上的最大值为13,最小值为罗2(X R),其中 a R.a=1时，求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;aM0时，求函数f(x)的极大值和极小值.当 a=1 时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x2-x,2f (x)=-3x +4X-1,-12+8-1=-5,7 设函数 f(x)=-x(x-a)(1 )当(2 )当 解：(1)f(2)=-2,f (2)=当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0.(2) f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax2-a 2x,2 2f (x) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-

12、a),令 f 0) =0,解得 x=-或 x=a.3由于aM0,以下分两种情况讨论.若a0，当X变化时，f(X)的正负如下表:X(-8, E)3a3(-,a)3a(a,+ 8)f (x)-0+0-f(x)4 3 -= a270因此，函数f(x)在X=a处取得极小值f (-),33(2 )=-厶3；函数若327X(-8 ,a)a( a (a, 1)a E(即+8)f (x)-0+0-f(x)04 3 -a27因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=O ;f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.a0是f(X)在(a，b)内单调递增的条件.5.已知a0，函数f (x) =x3 ax在1, +上是单调增函数，则a的取值范围是326已知X亡R，奇函数f(x)=x ax bx+c在1,+处)上单调，则字母a,b,c应满足的条O27.设 f (x) =x3 2x+5.2(1) 求f fX)的单调区间；(2) 当x : 1, 2时，f