量子力学练习三解答

1、量子力学练习三解答1线性算符厄米算符2 实数 正交 完备体系自由度0, - , -2 oLy 二 ZVPx X PL?z = Xp 一 yg3 两个力学量彼此对易4. 6 22 ,5. 证明： 二 y?zz?yL?x，Ly= %_ ?Z p ? ZxP ?、zp?, ypxZp ,?zipz? p? y 七bx?z p? z y p X p-y ?z, z?p_ 0一 o ? pl ?Ipi?*p?科 p? ziL利用动量分量彼此对易和lz, ? J - i 利用归纳法证明第二个式子(1) 当n= 1时，?x ,x I - -i 一 等式成立(2) 假设当n = k时等式也成立，则有px，xk

2、 - -i kx?kA(3) 当 n= k + 1 时，px,xk+=xk ?x,x+?x,XkX = Xk(,) Mkxkx=i(k+l )Xk等式也成立由(1) (2) ( 3)可得等式成立6. 解：O-O?叩二OQr _O2O=X3 xdX X3-dxdxJ空暑X2屮+x3dT二-3x3-dx由于是任意函数，故7.证明：方法一，设-;m是L?z的本征态，则l?ztm =m-：m , m为整数匚二-；m，L? = -m，i1 Ly，E ， 哄y m1 1=丄（屮 L? ?屮一屮j 一 m, L yL z m i -（其中利用厄米算符定义）m -；m，L?ymm _丄 m1 1m?L?L -

3、y 订一匚？ L * 下.？?zm舟,m卉m，L? = 0L?y，l?z二 i.(丄 Ly)2Lz/ 一二匚24Lz有确定值，所平均值的平方为非负数由于在Lz本征态Ylm中，测量力学量 以Lz均方偏差必为零，即 （L ）2jf 一20Lx_4Lx=0 同理：Ly=0则测不准关系:2 一 2 （.：:L y ）0_Lx =4欲保证不等式成立，必有：&解：Ylm（日，半）是?和L?z的共同本征函数且Ylm =l （l +1严Ylm ,L?zYm = mYlm解:2(Lx)(.Ly)22 2L Lxx2 2=Ly-L y由上例可知： Lx=0下面求：2 2 Lx、L yLx?二 YIm x2Yimd

4、-J由对易关系：i L?x =L?y，Lz二Lyl?z -乞巳等式两边右乘Lx 得:卷 I? 2 =1? I? I? -L? L? L?y z xz y x= L?y( L?xL?ziLy) 一邛二 EE iL?y2L?zLyL?x* ? 2、Ylm L?x Ylm* ? 2、卜 *?2d；.； -YlmL?yL?xL?zYlmd 门-iYlm L?y Ylm d 1即:- YmZLylXYmdi Lx2 二 m .丫；丫訳门L?y2- .(L?zYlm)*L?yL?xYlmd门JYYlmd。十L?y2 -m Y； L?yL?xY|md 门即:将上式两边在Y|mi 衣L 2 = i 衣1?X态下求平均：2 +1? 2xYj2LVNimd二 Yjl? EzhYimd2 2 2 二 L = L yxy 2L?y2Lz2 = L2=!?x2L?y L?2 -Lx2 +Cy2 =l(l +1)办2-m2 2 Y Ym d.12 o 2Lx =L?y1l