求解在立体斜面上滑动的物体的速度

1、5积分5.1几个物理中的实例（1）变速直线运动的路程我们都熟悉匀速直线运动的路程公式.如果物体的速率是则它在J到J 一段时间间隔内走过的路程是出吕“傀（扎 45）对于变速直线运动来说，物体的速率V*时间的函数:v = v(t),函数的图形是一条曲线（见图A-WG ,只有在匀速直线运动的特殊情况 下，它才是一条直线（参见图A-4b）,对于变速直线运动，（扎45）式己不适用. 但是，我们可以把逖段吋间间隔分割成许多小段，当小段足鲂短 时，在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来，物体在每 小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段 甜可里走过的路程都加趙无

2、就得朝J到t逖段时间里走总南翟。22 / 17VV ta tb tc圏 A-10 ta Std设时间间隔Ct - t J被1 =亦二“ 5、tj t皆分割成n小段，每小 段吋间间隔都是仁则在55r J各吋刻速率分别是v(q)、讥t)、v(tjc如果我们把各水段时间的舖率;成是不变的，则按照匀速 直线运动的公?,物体在这些小段吋间走过的路程分等于vCt；At, () 仁v(+)At.v(t )At.于是，在整个(t-t )这段时间里的总路程是n.DA（A.46）S= V（ti）At + V（t2）At + 呎+ + v（t jZSt=1=1现在我们来看看上式的几何意义.在函数v = vM图形中，

3、通过t二5J各点垂线的高度分别是、v（j）见图A- 10b）,所加（；】）_ 叫心）、vlgt就分 n别是图中那些狭长矩形的面积，而F代ti）Zt则是所有 i=这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状图形的面积。在上面的计算中，找们把各小段时间t里的速率看做是不变的，实际上在每小段时间里多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确. 要使计算精确，就需要把小段的数目価大，同时所有小段的Zit缩短（见图A- 10c）. t愈短，在各小段里XT就改变得愈少，把各小段里的运动看成匀速运动 也就愈接近实际情况。所以要严格地计算变速运动的路程我们就应对（X 46）式取rif 8. t-*。的极限，即CA

4、.47)nS= IlIII当n愈来愈大，/it愈来愈小的时候，图A-10中的阶梯状图形的面积就愈来愈接近（t）曲线下面的面积（图A-10d）o所以仏4R式中的极限值 等于（t -t ）区间内（t）曲线下的面积。b3.总之，在变速直线运动中，物体在任一段时间间隔（t-t）里走过的路程 bQ妾期CA.绑）式来计算，这个极限值的几何意义相当于这区间内（t）曲线下的面 积。（2）变力的功当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置吕=移到吕二片的过程中, 恒力F对它所作的功为A. 48)如杲力F是随位置变化的，即F是呂的函数 2F（）则不能运用扎4刃式 来计算力F的功讥这时，我们也需要象计算变速运动的路程

5、那样，扌ECs - S）DK这段距离分割成n个长度为弓的小段（见图All）I1Sa二 Si % Sj图 A-12并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算岀每 小段路程/Xs上的功，然启办起耒取L8、sO的极限值.具体地说设力 F柜春小段路程内商数分别为F（S）、？（內）、FCsjX F（sn）,则左各小茯 路程上力F所作的功分别为F（spAs. F（s3）As.、F（叩汛在 Cs - S）整段路程上力F的总功蹴”a a近似地等于F（i）Zs.因为实际上在每小段路程上力F1=1都是变化的，所以严格地计算，还应取11-8、呂-0的极限值，即(A.49)A= lim yF(SjA

6、S,n-*同上例，这极限值应是4-间内卩仏）下面的面积（见图A-1狄03禺為图 A-12F(s)Sn=3b5 2定积分以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算象（A.餌）和（扎49）式中给出 的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f （K）, Z （=a）, X、x *、X, b把自变量X在（b-d）区间内的数值分成n 1. Vn.小段，i殳每小段的犬小为h，求nf8、xO时n工F（莓）的极限0 1=1示，即通常扌哒类形式的极限用符J： 仗）錄表b玖(A.50)J严）也二宓若畑艮 n-*br ftx）dx叫做!：= a到K=blZ间内F仗）对北的定积分，f仗）叫做被积

7、 J a函数，掃b分别叫做定积分的上限和下限。用定积分的符号来表示，（扎4和（扎49）式可分别写为(A51)(A.5 2)血=F(s)ds在变速直线运动的路程公式（扎51）里，自变量是t,被积函数是v（t）,积 分的上、下限分别是和5 在变力作功的公式（A. 52）里，自变量是吕，被积函 数是FG）,积分的上.下險分别是礼兀求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理;如杲被积函数f3是某个函数的导数，即则在x=a?ljx = b区间内f（K）对K的定积分等于在这区间内的増量，即0例题坍推导匀变速直线运动的路程公式。 = JA 由=d（Vo + at）dt =十护0 例题18若在扎52

8、）式中力FG）与距离平方成反比；F） =巧求功A （见图 A-15）.a Sbs和求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数今使物体获得一水平速度 V而滑动，如图一,求:物体在轨道上任意一点的速度与设*为速度与水平线的夹角。*的关系,4恰好满足卩=tga，a为斜面的倾角。解：物体在某一位置所受的力有：重力G，圏一弹力N以及摩擦力f。摩擦力f总是与运动速度的方向相反，其数值f =4n =Amgcosa =tgamgcosa = mg si重力在斜面上的分力为 G1，如图二，将G1分解为两个分力：是Gi沿轨迹切线方向的分Cl八6G图二力，g1 = G1s 神社mgs

9、iais 他nG, =Gi cos$ = mgsinot cos，如图三。根据牛顿运动定律,得运动方程为G；- f = ma()G； = man()由（）,图三aT = (mgsi nasi n - mgs in a) =gsi na(si n* -1) m而a讦理,得到T dt()dV = g sina (sin 0 -1)dt,式中*是的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分， 要设法在*与中消去一个变量，才能积分，注意到dt更J卑d V V d*()ds而 卑 表示曲线在该点的曲率半径P,根据（）式,d*.V2mg sino cos = m ()由式()()()，可得到pl

10、 /=(tg* -sec)d,V dV *.,=T (tg -secd，积分，得到In V = -Incos* In(sec* +tg*) = In(1 +sin*)，VoV =1+s inA运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条，质量为，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为Li，另一边长度为L2,而且0 V L2 Li，如图一。试求:链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。解：设金属链条的线密度为A = .当一边长度为Li +L2L, +x，另一边长度为L2 -X时受力如图二所示，则根据牛顿运动定律，得出运动方程(Li + x)。T = (Li +x)gT (L? X)Ag =

11、 (L? X )AaLi+ L2因为a妙dt呼知罟，所以dx dt dxVdVdx(Li L2)+2xLi +1_2g,0VdV 打gggdxLi +L2V计咼RK令X止L2,可以求得链条滑离钉子时的速度大小V _ J2L1L2gV7li+L2再由V晋得到XG1dx = dt 让1 +1_2j 2g J(Li -L2)x+x22g0x 7rib：7gdt，积分，得到In2x+(Li -L2)+2j(Li -L2)x + x22x +(1_1 -1_2)+2&1_1 -L2)x+x2 InLi L2嵌,令L2,可以求得链条滑离钉子所需的时间为t _ IL1 + L2In L1+ L2 +2( L

12、L2 _ j L1 + L2In/L1 + JL2二 V 2gn二 V 2g“兀-賦Li - L2求解棒下落过程中的最大速度在密度为Pi的液体上方有一悬挂的长为，密度为p2的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若p1卩2，求:棒下落过程中的最大速度。解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力 G和浮力F的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有匚dVmg -F = m dt随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为()零，即F =mg时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为 L1，设棒的截面积为，则有PiSJg =p2SLg,解得

13、，()P2LP.取坐标如图所示，则（）式可以写为dVPzSLg - RSxg = P2SL.dt做变量代换，令=VdV，代入上式，得到dt dx dt dx(1 -E)gdx =VdV;L p2两边积分，得到LiX HVi0(1 -pgdxJoVdv得到，gL貫（）122匕2将。式代入。式，得棒的最大速度为趴；运用微分法求解阻尼平抛质量为的物体，以初速为 V0 ,方向与地面成 日0角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即f =-kV，为大于零的常数。求:物体的运动轨道。解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程mg + f = ma其分量式， fx =-kVx =max，()mg

14、kVy = may()将axdVx代入式（），得dt-kVxdVx=mdt改写成些=_kdt,mVxVx dVxV x0x Vx两边积分，得到Vx =V0xek_tm=V0 cos日 edx可见由于空气阻力的存在，方向的速度不再是常数， 而随时间逐渐衰减。由于Vx =竺,dt再积分，并以时，代入得到同理,dVydt积分，k(1由于ay2tmk=g -Vym并以时,2tVo cos日0 m00 (1 -e m )()dVydt（）转化为k mgdVymgk-VyVVoVoSi nS代入，得到V (Vo SinSmg)et mg T)e可见，方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以时代

15、入，得到Jkty =-(VoSinS +)(1 -e m ) kk()由（）（）两式消去，得到有阻力时的轨道方程y=(tgS+kVoCOS%mg)x+mgln(1-kmV。cos%)m_gin(1x). kmVo cos日例如：以初速，仰角45发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为，而实际射程只有.求解飞机的滑行距离2 2飞机以V的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为 CxV，升力为CyV ，其中是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为 飞机从触地到停止所滑行的距离。解：取飞机触地点为 坐标原点，取飞机滑行方 向为轴。飞机在水平方向受力为：摩擦力卩，试求:=An，空气阻力为=

16、CxV2 ；在竖直方向上受力为：重力、支持力2和升力F =CyV ,如图一所示，应用牛顿第二定 律，得到飞机*-HN -CxVmdV dt2N+CyV mg=O.由上两式消去，得到dV2m=-Pmg -(Cx -4Cy)V2. dt和田 dV dV dx 、/ dVdt dx dt dx-ACy)V2.得到 mV 理=-4mg - (Cxdx分离变量，积分mVdVVVo Pmg+(Cx -PCy)V2x0 dx，2得到在飞机触地的瞬间，V=5 支持力，由运动方程，得到2CyVo =mg.CyVo2于是x =-2g(Cy -ACy)lnPCyV。2 +(Cx -PCyW2CxVo2这就是飞机从触

17、地到停止所滑行的距离。Cy社Vo =90km/h,=5 (升阻比)，Cx卩=0.10。代入数值计算后，得到求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为，小球从离地面高度为处由静止下落，小球在小球的正下方地面上 以初速V0同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正 比，比例系数为（常量）。试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示, 两小球的运动方程可统一表示为m与十V-mg, dt它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的, 故dVk/丁 _mV g，dtmWok分离变量= dt.dVk一 一V - g m对于小球，初始

18、条件为t=0 时，V10 =0, y10 = h,故t珂dt,r dV0 nr; V gmy =哩(1 -e m ).k()对于小球，初始条件是时,V20 =V0 , 丫20 = 0,故V1 dV tVoF =0dt,k-g m得到 V2 =( V0 +mg) emg()由()式，得到dy1 _ mg(1Jktmdt-e m ),dy1mg (1丿1I dy1hk=t(1-e m )dt积分，得到(1-e myi =h2+ m gk2由式()得到dy2dtktmdy2 =(Vo+罟)emgmgdtmg、mgtkh =mv0(1 -e k亠卫mVo故 t-ml n(1kkhmVo),把上述结果代入（）或者（），得到两小球相遇的地点2* 丄 mg .丄 m g I “y =(1+ ln(1 kkVokh )丿.mVo积分，得到kty2=m(Vo+学), kk两小球相遇时，y1= y2,相遇时间为t ,由（）两式，得到代入（）（），得到两小球相遇时的速度Vi* 一号1_(1 一弓)一也kmV0Vo*mg kh mg。+T)(f 丿- ggh