232相似三角形的判定(共6课时）

1、23.2相似三角形的判定 （第1课时,天峰初中 李贤武 2013.10.20,一.复习回顾,1.辨析 (1) 四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ (2) 四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 2.什么样的两个多边形是相似多边形？ 3.什么是相似比（相似系数）,前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题,二.引入新知,如图1，ABC与ABC相似. 则图1中的两个三角形记作“ABCABC”，读作“ABC相似于ABC”，“”叫相似符号,即写成ABCABC，表明对应关系是唯一确定的，即A与A、B与B、C与C分别对应.如果仅说“这两个三角形相似”,没有用“”表

2、示的，则没有说明对应关系,两个三角形相似，用相似符号表示时，与全等一样，应把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边,23.2相似三角形的判定（第1课时,对于ABCABC，根据相似形的定义，应有：A=A，B=B，C=C,三边对应成比例也可写成AB:BC:CA=AB:BC:CA,相似三角形的对应关系,练习： 1. 已知ABCDEF,请指出所有的对应边和对应角.并分别指出它们的关系. 2.如果将上题中“ABCDEF”改为“ABC与DEF相似”你还能指出它们的对应关系吗,相似三角形的对应关系,将ABCABC的相似比记为,而ABCABC的相似比记为,相似三角形的相似比,练

3、习： 3.已知ABCDEF，AB=2，DE=3则ABC与DEF的相似比 和DEF与ABC的相似比 是否相等？如果不相等， 和 满足什么关系？如果AB=2，DE=2呢,=1,简析： = ，= ， ，,相似三角形的相似比,三.类比猜想,1. 两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2. 是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3. 猜想：两个三角形相似是不是也有简便的 方法？ 简析： 1.两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形还有HL. 2.不需要所有的对应边和对应角都相等. 3.猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等,四.探究论证,在ABC中，D

4、为AB上任意一点，如图2所示.过点D作BC的平行线交AC于点E，那么ADE与ABC相似吗,已知:在ABC中，DE BC, DE分别交AB，AC于D，E. 求证： ADEABC,由已知和图2可知ADE与ABC相似必须有： A=A,ADE=B, AED=C,1.根据相似多边形的定义ADE与ABC相似必须满足哪些条件,分析,2.已经具备哪些条件？为什么？还需要什么条件,已有条件：A=A,ADE=B, AED=C ， ，还需要条件,证明,过点D作AC的平行线，交BC 于F,DEBC,DFAC,又 四边形DFCE是平行四边形,DE=FC,又A=A,ADE=B,AED=C,ADEABC,F,五.定理归纳,

5、由以上探究过程你能得出什么结论？ 如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？如图3所示,定 理: 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似,符号语言: 在ABC中, 若 DEBC,（如图3所示) 则 ADEABC,六.巩固练习,1.如图4，在 ABCD中，DE交BC于F,交AB的延长线于点E. （1）请写出图中相似的三角形； （2）请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式； （3）请说明AEBF与ADBE是否相等,六.巩固练习,2. 在ABC中BD是角平分线，过点D作DEAB交BC于E,AB=5cm，BE=3cm，求EC的长,相似三角形的判定(第二课时,

6、授课人 张华安,地点 城北中学,23.2 相似三角形的判定,第二课时,一、知识回顾,1、根据相似多边形的定义，你知道什么样的两个三角形相似吗,满足： 对应角相等 对应边成比例 两个条件的两个三角形是相似三角形,2、相似三角形判定定理的预备定理,DEBC,ADE ABC,一、知识回顾,在ABC的边AB（或延长线） 上截取AD=AB. ADEABC ADE=B B=B ADE=B 又 A=A AD=AB ADEABC（ASA） ABCABC,二、课堂活动,已知：在ABC和ABC中.A=A ， B=B C=C 求证：ABCABC,D,E,证明,过点D作DEBC 交AC于点E.则有,由上面的数学活动我

7、们可以得到判定三角形相似的定理,定理1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等.那么这两个三角形相似. （可简单说成：两个角对应相等的两个三角形相似,想一想,1、ABC和ABC中A=80、B=40、A=80、C=60.那么这两个三角形相似吗？ 2、等边三角形都相似吗？ 3、一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？ 4、有一个内角对应相等的两个等腰三角形相似吗? 5、各有一个内角为100的两个等腰三角形相似吗,练一练,写出图中的相似三角形,ADEABCEFC,ABCBDC,ACBADCCDB,例题欣赏,E,证明： ABBD、EDBD ABC=CDE=90 1+A=90 ACE

8、C 1+2=90 A=2 ABCCDE,如图:C是线段BD上的一点， ABBD ， EDBD.ACEC 求证：ABCCDE,能力与提高,如图所示：已知RtABC和RtDEF不相似其中C、F为直角.能否将两个三角形分别分成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？ 请设计出一种分割方案,提示1：将一个三角形分割成两部分， 有几种可能形式,一种不经过三角形顶点的直线分割 一种经过其中一个顶点的直线分割,提示2：经过一个内角的顶点的直线分割时，其他 两个角有无变化,其他内角不变，因此这两个三角形都进行直线分割时，就余下四个内角,2,1,在ACN和FME中， 1=E

9、 B=2 CANEFM,N,M,方法,在ABC中，作1=E，交AB于点N，在DEF中，作2=BFM交DE于点M,则ANCFME、BCNFDM,ACB=DFE=90 A+B=90 D+E=90,又1+NCB=90 2+EFM=90,D=NCB B=2,BCNFDM,直线CN、FM就是所求的分割线,证明,相似三角形的判定(第二课时,授课人 张华安,地点 城北中学,第三课时,23.2 相似三角形的判定,图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为,观察：如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢,将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE AC时，ADE与ABC

10、相似此时,知识探索,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗,如图,在ABC和ABC中,求证:ABC ABC,证明:在线段AB(或它的延长线)上截取A D=AB,过点D作DE/ BC,交AC于点E,D,E,ADE ABC,又,A=A,ADEABC,ABCABC,A=A,定理2： 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似,可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似,在ABC和ABC中,ABCABC,A=A,思 考,对于ABC和ABC,如果 B=B,这两个三角形一定相似吗? 试着画画看,D,例题解析,

11、例1:证明图中AEB和FEC相似,例 2:如图矩形ABCD是由三个正方形, ABEG,GEFH, HFCD组成的,找出图中的相似三角形,解: AEFCEA.理由是:设小正方形的边长是1,由勾股定理得,AEF = CEA=135,AEF CEA,想一想,1. 在ABC中,DE分别在ABAC上,请你加一个条件使ADEABC,这个条件可以是,DEBC,2.下列说法中错误的是（） (A)有一个角是30的两个等腰三角形相似 (B)有一个角是60的两个等腰三角形相似 (C)有一个角是90的两个等腰三角形相似 (D)有一个角是120的两个等腰三角形相似,想一想,如下图所示,在ABC中,DE分别在ACAB上,

12、 且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=_,2.如图，在44的正方形方格中，ABC和DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：ABC= ， DEF= ； （2）判断ABC与DEF是否相似，并证明你的结论,练一练,1. 根据下列条件,判断ABC和 ABC是否相似,并说明理由: A=120,AB=7cm,AC=14cm, A =120, AB=3cm, AC =6cm,2.如图，在ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm,求证：ABDABC,达标练习,3. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的 点,且BP=3PC,Q是CD的中点,

13、试判断ADQQCP吗?说明理由,4.如图，在ABC中，D在AC上，已知 AD=2 cm，AB=4cm，AC=8cm,求证：ABDABC,5.如图AB=4,AC=5,CD=3,BE=6 求证： ADEABC,D,6.已知ABC 中C90，D、E分别是AB、AC上的点且ADAB= AEAC 求证：EDAB,相似三角形的判定(第二课时,授课人 张华安,地点 城北中学,23.2 相似三角形的判定,第四课时,判定两个三角形全等的方法有那些,复习回忆,ASA,AAS,全等三角形的判定定理,判定两个三角形全等的方法有那些,复习回忆,全等三角形的判定定理,SAS,SSS,你觉得三角形全等的判定方法与三角形相似

14、的判定方法有联系吗？你有什么猜想？请大家讨论,各抒己见,两角对应相等，两三角形相似,两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似,在一张方格纸上任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗,如图,在ABC和ABC 中,求证:ABC ABC,证明:在线段AB (或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/ BC,交AC于点E,D,E,ADE ABC,又,同理,ADEABC,ABC ABC,判定定理3： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似,可以简单说成： 三边对应成比例，两三角形相似,在ABC和

15、ABC 中,ABCABC,下面两个三角形是否相似?为什么,解:在ABC和DEF中,ABC DEF. (三边对应边成比例的两个三角形相似.,思考题,例 题 讲 解,例1: 如图：点D、E、F分别是ABC三边的中点, 求证: EFDABC,证明: D是AB的中点,F是AC的中点,BC=2DF,同理,EFDABC,三边对应成比例，两三角形相似,牛刀小试,根据下列条件判断ABC与以D、E、F为顶点的两个三角形是否相似,1)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=12,3)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=9，DF=12,2)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF

16、=8，DF=12,ABCDEF,ABC,不 相 似,EDF,DE=6，EF=12，DF=8,ABCDEF,例2: 如图, ABC与 ABC 相似吗?你用什么方法来支持你的判断,ABC ABC,解:如图,设小正方形的边长为1, 由勾股定理可得,1. 如图，判断44方格中的两个三角形是否相似,并说明理由,巩固练习,一“找”：找可能相似的三角形； 二“对应”：对应边、对应角； 三“用”：用判定，用性质，用方程与 函数,总结反思,1、相似三角形的判定方法,平行于三角形一边的直线，所截的两个三角形相似；两角；两边及夹角；三边,2、在解决有关相似三角形的问题时， 我们需注意些,相似三角形的判定(第二课时,

17、授课人 张华安,地点 城北中学,23.2 相似三角形的判定,第五课时,相似三角形判定方法,定义法)三个角对应相等,且三条边对应成 比例的两个三角形叫作相似三角形,5.(判定定理3)三边对应成比例的两个三角形相似,4. (判定定理2)两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似,3. (判定定理1)两角对应相等的两个三角形相似,2. (预备定理)平行于三角形一边的直线与其他 两边(或两边的延长线)相交, 截得的三 角形 与原三角形相似,问题思考,1 两个等腰三角形一定相似吗? 2 两个等边三角形一定相似吗,3 两个直角三角形一定相似吗,自主探究,判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另

18、一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似,在Rt ABC和Rt ABC 中,Rt ABC Rt ABC,斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似,两条直角边对应成比例的两直角三角形相似（,2. 有一锐角相等的两直角三角形相似（,3. 一直角三角形的三边分别为3，4，5，另一直角三角形的两边分别为6，8，则这两个直角三角形相似（,判断题,巩固练习: 在RtABC和RtABC中，已知C =C=90.依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明为什么。 1、A25，B65; 2、AC3，BC4，AC6，BC8; 3、AB 10，AC8，AB15，BC9,如图，已

19、知ABC=CDB=90，AC=b，BC=a， 当BD与a、b之间满足怎样的关系时， ABCCDB,例题讲解,问：若改为ABCBDC，结果如何,如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC上的一点，AE交CD于点F，AEADAFAC， 求证：(1) AE是CAB的平分线； (2) ABAFACAE,要证明ABAFACAE， 只要证明ACFABE,巩固练习,如图，在RtABC中， C=90，CD是AB边上的高. 求证： CD2ADBD. BC2ABBD; AC2ABAD. 能否根据证明勾股定理,拓展练习,相似三角形的判定(第二课时,授课人 张华安,地点 城北中学,23.2 相似三角形的判定,第六课时,证明: A=70B=45C=65 A=D=70 ;B=E=45 ABCDEF(有两角对应相等的两个三角形相似,试一试,1.根据下列各图中给出的条件,确定ABC与DEF是否相似,证明:AB=5 DE=3 ABDE=53,又 AC=3 EF=1.8 ACEF=53,又 A=E=70,ABCEDF (有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,若AB=5、AC=3、DE=3、DF=1.8、B=40E=40,反思:当两个三角形中有两边对应成比例,且其中一边的对角对应相等时,两个三角形不一定相似,ABCDEF,证明,2.在ABC和DEF中