求阴影面积的常用方法

1、求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难 点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形 组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现 介绍几种常用的方法。、转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相 等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。例1.如图1,点C、D是以AB为直径的半圆0上的三等分点，AB=12则图中由弦AC AD和窗围成的阴影部分图形的面积为。B图1分析：连结CD OC OD如图2o易证AB/CD，则曲仞和&OUD的

2、面积相等,所以图中阴影部分的面积就等于扇形 OCD勺面积。易得，故=DJT36006、和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组 合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求， 从而达到化繁为简的目的。例2.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=b/DF为4圆，求阴影部分面积。分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形 ABCD扇形ADE只迪 J阴影=障屢伽+ 縫删g 所以，9 用牢 +4x8-1x4x12 = % + S 3602三、重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。 这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。

3、 要准确认清其结构，理顺图形间的大小 关系。例3.如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成 阴影部分图形的面积。涮蔭图4解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面 =2心（丝）2-/ =（壬-1）/积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故22 四、补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。例4.如图5,在四边形ABCD中AB=2 CD=1 Z占=A5 = ZD = 93，求 四边形ABCD所在阴影部分的面积。E图5解：延长BC AD,交于点E,因为厶a，厶5 = 90。，所以nE = ?0。，又 三EDC

4、= 90。，所以CE=2CD, DE = 43 易求得 朋=2希 所以11H衍弘笔=如-S =寸 EE-寸D DE = +五、拼接法例5.如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小 路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。 水平方向的长变成了，所以草地的面积为（2）将左侧的草地向右平移 由于新矩形的纵向宽仍然为 b， b（a-c） = ab - be。六、特殊位置法例6.如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切, 那么图中阴影部分的面积等

5、于 。图e分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置, 将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图阴影部分面积都保持不变，所以可9）。BA00) D图9解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图 9。设切点为H,连结OH、OB由垂BH = -AB = 2r .径定理，知 2。又AB切小半圆于点H,故0H1AB，故OB - 0屮七、代数法 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出 阴影部分面积的方法。例7.如图10，正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画 弧，求图中阴影部分的面积。图10解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，贝W1中

6、正方形的面积是龙+O，而x+y是以半径为a的圆面积的故有签+ WX -hy =盂二（一一1）屮（-4 。解得 2。即阴影部分的面积是 2。需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时， 要具体问题具体分析，从而选 取一种合理、简捷的方法。思考吧 如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆，再以点 C 为圆心、1为半径画弧BD,则图中阴影部分的面积为图H例6:如图，已知 ABC内接于O 0,且AB = BC = CA = 4cm，则图中阴影部分的面积是2cm。B(C)A,fjO例7:如图，A、B、C、D是圆周上的四点，且 AB+ CD = aD BC,如果弦AB的长为8,弦CD的长为

7、4，那么图中两个弓形（阴影部分）的面积和是 。（兀取3）5、环形例&如图，在两个同心圆中, 影部分面积是P是大圆上任一点,PA切小圆于点 A，设PA= 4，则图中阴6、扇形例9:如图，在矩形ABCD中, 于P,则图中阴影部分的面积为AB = 1, ()AD =，以BC的中点E为圆心的 皿介与AD相切2兀3兀（计）匸（C）厂(D)二、组合图形1四边形与圆组合例10：如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是 （A）0；（ B）2；（ C） 3；（ D）4。r 1関IA-l_ 3 一2、圆与圆组合例11：如图，AB、AE则图中阴影部分的面积为分别为两个半圆的直径，弦CD / AB，且与小圆相切，若 CD = 12,点*a/、*二汽沁八fi：、八-:-!A E OB例12:如图，设计一个商标图案8cm，以点为圆心，AD（如图阴影部分），在矩形 长为半径作半圆，则商标图案面积为CBBC的长为半径作）cCfAOB4、扇形与圆组合例13：如图，o O半径为CED：则cED与CAD所围成的阴影部分的面积是 ;三、动态图形1、翻折例14:矩形ABCD的长、宽分别为 5和3,将顶点C折过来，使它落在