《同济版高数下》PPT课件.ppt

1、习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,线面积分的计算,第十一章,一）曲线积分与曲面积分,二）各种积分之间的联系,三）场论初步,一、主要内容,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,一）曲线积分与曲面积分,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计 算,与方向有关,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,曲 面 积 分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,定义,联系,计 算,与侧无关,与侧有关,2021/3/3,7,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,二）各种积分之

2、间的联系,2021/3/3,8,积分概念的联系,发现,被积函数是数量值函数，积分元素是具可加性的量,定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共同点,定义均为由分割、近似、求和、取极限4步骤得到的和式极限,主要性质：线性性质、区域可加性、保不等式性、积分中值定理以及对称性奇偶性,2021/3/3,9,定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共同点,物理意义（除定积分外）：质量、质心、转动惯量、引力,思考,记忆具有这么多共同特点的数量值函数积分有没有简单方法,2021/3/3,10,定义数量值函数的积分,定积分,二重积分,2021/3/3,11,曲面积分,空

3、间曲线积分,三重积分,平面曲线积分,2021/3/3,数量值函数积分的应用,质量,质心,2021/3/3,13,数量值函数积分的应用,转动惯量,计算上的联系,其中,积分理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,2021/3/3,18,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,各种积分之间的联系,梯度,通量,旋度,环流量,散度,场论初步,1) 利用对称性及重心公式简化计算,2) 利用积分与路径

4、无关的等价条件,3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧),4) 利用斯托克斯公式,5) 利用两类曲线积分的联系公式,曲线积分的基本技巧,二、典型例题,例,例. 计算,其中 为曲线,2021/3/3,23,思路,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,2021/3/3,24,例,例. 设在上半平面,内函数,具有,连续偏导数, 且对任意 t 0 都有,证明,对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有,已知平面区域,L为D 的边界, 试证,例,例,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,公式,例,曲面积分的计算法,曲面积分,第一类( 对面积,第二类( 对坐标,二重积分,2) 选择积分变量 代入曲面方程,3) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,1) 确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,基本技巧,1) 利用对称性及重心公式简化计算,2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,辅助面一般取平行坐标面的平面,3) 两类曲面积分的转化,2021/3/3,32,