用思维演绎真知

1、用思维演绎真知，追求“思考的深度，理解的宽度，演绎的缜密”数学教育之化境【案例1】冷静从合情思考问 题：要购买一块绸布，宽为1米，长为a米，（a 1）用来剪出三块矩形旗帜.要 求：1.裁剪截出矩形旗帜的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同2.尽可能少的出现废料.3.画出所有可能的裁剪示意图,并求（写）出相应的a值（命题时可以保留根号,也可以提出近似的要求）友情提示：请认真阅读下面的例题，并掌握它。解方程：X4 X2 1解答：X2呼（负值不合,舍去）思考与分析：方案1：a 73 ,方案 2: a罷,方案3: a乎，方案4 a片方案1方案2*J-d*32方案3a 2a方案4宀L叶若提出近似的要求:比

2、如结果保留到个位，或0.1，那么上面的示意图和答案分别要作什么样的变更?a 渥=1. 4 14, a 疵=1.732, af =1.225, a= 1.2启 迪：如果我们能帮助学生在初中阶段形成“冷静从容，合情思考”品质，（帮助 学生在高中达到“思考的深度，理解的宽度，演绎的缜密”之境界），这恐怕是大部 分数学教师所追求的吧。【案例21 “方程”与“算术”的对弈 问题：某人在一条河流中逆流而上，在 A处遗失了携带的物品（可漂流），在继续前进30分钟后发现遗失物品，即刻顺流而下去追赶物品，在离A处3千米的B处追上物 品，求水流速度.思考与分析：（算术方法）：w人在静水中游速.V 水速T人离开物品

3、的速度是 W- V + V = W人追赶物品的速度是人离开物品的时间二人追赶物品的时间物品漂浮了 1小时. v=3千米/时（方程方法）：AC=2（W v）AB=3 BC=一（W2V）3B A3VC412（W V） 3W V启 迪：“算术方法”是“巧劲”需要学生聪慧;“方程方法”是“钝劲”需要学生踏实.“算术方法”难想，但解决问题的过程比较巧;“方程方法”合情合理，但有可能方程难解甚至暂时解不了 .【案例3】操作与思考问 题：已知如图，/ BAC=100，/ B=60, CD平分/ ACB / EAC=20，求/ DEB勺度思考与分析：按题意画出精确地符合条件的图形，那么/ DEB的度数可用量角

4、器测量知道是20,从而，可/ AED=20 .即该题只要证DE是/ AEB的角平分线就可以了 .ADA 坯N E ZEM/ 启 迪：学生的思维状态如果滞留在“纯几何计算”的范畴里，B就难以想到A通过证明DE是/ AEB的角平分线来解决问题的思路了。BD但是我们平时的几何教学中，重视动手，学生有“量一量”的意识，恐怕会给我们带来欣喜的。【案例4】拓宽知识放飞思维问 题：如图，Rt ABC中, AC二BC=,3Rt EDC中, EC=CD=2.绕点 C顺时针旋转 ECD60得到 ECD，过点C作CML D E于M交AE于N.求MN的长.思考与分析：（解析法）点E点D可求，直线ED可求，CML D

5、E.则CM的斜率可求，则直线CM可求，点M可求，直线AE可求，则点N可求.利用两点之间距离公式求出 MN的长启 迪：面向全体学生，不仅仅是，提醒我们不要抛弃一个差生，我们同样不要漠视了一大批优生的学习潜质，在合适的时候做一点合适的知识拓宽，恐怕在数我还是要友情提学教学实践中，百分之九十的老师都是这样做的吧，但是,示一下：把思维发展放在第一位，知识拓宽只是顺势而为。【案例5】追溯、变式、引申问题：如图，给出四个不同形态的图2（在同一平面内，有任意三点都不在同一直线上的n个点，将每间隔k个点的两点,顺次连接起来而形成的图形，我们姑且称其为CCn角星”）(1)在图1中，求:A2A3A4a An 在图

6、2中，求:A2在图3中，求:A2图4是顺次连接每间隔k个点的两点形成 孔n角星”A3A4A5A3A4 a . An求：AA3A4A5.An写出n、k必须满足的条件思考与分析:启 迪：请反思一下问题（1）的求解的路径请反思一下问题（2）提出的思考的方向与问题（1）的方向有什么变化?问题（1）是在设置好的情景中按要求解决问题，我们学会用不同的方式来解决（一题多解）。问题（2）的提出，是研究问题的视角变化，我们要学会提出问题（一题多变）请思考问题（3）和（4）是如何在前面两个问题的基础上进行的变化（变式与引申）【案例5】深入浅出 搭建进步的阶梯问题：（1）线段AB上有一点C AB=3 BC=1求AC

7、长?（2） A、B、C是直线上I的三点，AB=3, BC=1,求AC长?（3） A、B、C是直线上I 的三点，且AB=a, BC=b,求AC长?思考与分析：（略） 启 迪：让每个孩子都会去学数学，让每个孩子都不怕学数学，让每个孩子都学好数 学。简单的问题，同样有浓浓的数学味。【案例6】尊重学生尊重真理问 题：如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m（m0个单位，所得抛物线与x轴交与C D两点，与原抛物线交与点P.（1）求点A的坐标，并判断 PCA存在时它的形状（不要求说理）（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含 m的式子表示）；若不存在，请说明理由;（3）厶CDP的面积为S,求S关于m的关系式。mJ丄m2 222思考与分析：点A的坐标是（2,0）,厶PCA是等腰三角形，存在。0C二AD二m, OA=CD=2点P坐标