用轴对称解决距离问题专题侯金枝

1、用轴对称解决距离问题专题名：侯金枝工作单位：北京师范大学朝阳附属中学通讯地址：林萃西里 8 号邮政编码：100192手 机话： 82726438电子信箱 :11用轴对称解决距离问题专题在我们的教学过程中，及时归纳、总结同类题以及变式题，不仅有助于提高自己的专业水平，积蓄自己的数学素养，也能带给我们发自内心的自信，使自己尽快成长。如果能做到持之以恒,必然厚积薄发，小而言之。在教学中可以轻而易举的实现“题串式”的讲解，那么您所教的学生一定会受益匪浅。大而言之,不想成功都不容易。在这里我就“用轴对称求最短(长)距离问题”做一个归纳、总结。例

2、1(1)如左图，A、B是两个村庄，直线I是一条饮水渠，问该在饮水渠的 什么地方建一座供水站P才能使所修管道最短?(2)如图1，A、B是两个村庄，直线I是一条饮水渠，问该在饮水渠的什么地方建一座供水站P才能使所修管道最短?At图1BA图2分析：(1)如左图，根据“两点之间线段最短”，连接AB交I于P,则P即为 所求做。根据两点之间线段最短，我们要找到点B关于河边I的对称点B1,则线段AB1与 河边I的交点就是所求的供水站P.作法:如图2.(1)作点B关于直线I的对称点Bi;连结AB1,交直线I于点P.则沿路径AP f PB饮马,总路程AP+PB最短.理由：如图2,在直线I上任取一点Pi(不与P重

3、合)，连结APi、BP 1、BiPi.由轴对称的性质,得 PB= P Bi, BP 1= PiBi.在ABiPi 中,ABi APi+ BiP 1,即卩 AP+PBiBAi,即 PB+PACB+CA,所以PB+PA+ABCB+CA+AB,即CB+CA+AB为最小值.所以点C即为所求.变式训练2参考答案:作法:如图.(1)作点A关于直线a的对称点D; 作点A关于直线b的对称点E;连结DE交直线a于点B,交直线b于点 则点B、C就是所求的点.变式训练3参考答案:作法:如图6.(1)作点B关于直线I的对称点Bi;(2)连结Bi A并延长交直线I于点P.bD则点P就是所求的点.变式训练4参考答案:作法

4、:如图10.(1)作 AE/ I 并使 AE = d;(2)作点B关于直线I的对称点Bi；连结EBi,交直线I于点D.(4)在直线I上向左作线段CD;则线段CD的位置就是所求.变式训练5参考答案:作法:如图.(1)作点A关于直线a的对称点(2)作CB丄b于B连结CB交直线a于点P.1/C则点P、B就是所求的点.变式训练6参考答案：tert 1)所画的点尸在丸:上冃不是AC的中点和AC的端点，郎给4弘(2) 1A R关于的对称点延K阳交AC于点P为所求(不写丈宇说明扣分)绘3分. (说9b出的点P大约是囲边形M少的半專和点.面无刘称的li圈痕迹岛1分)(3) 遙片儿片乩片険轉C和耳久耳&罐籍规D

5、 jlAP/ APB* LnP| = Z丘片G二 2L/lP,fl + ZfiP,C = l80 二片在.忆上，同瑾.厲iliflrxc上.在肿舟和ABF円中，ZDPF = 21胪刀丄二叭珥.齐巴公共，:-A DP,爲孚 A BPFj.(丨 I 分)所以DP叽D匕=B片，于是关于M对称.设P是片巴上任一点连结PD、PE,由对你杵.得乙DEI = EBP丸、LDrC= ISFS所以点P是四进形的半筹角点. (2分)(9分)li变式训练7参考答案:解: (1)依题意，得4+加+尸0,l16+4b + c = 0.解得严-6,c =8.抛物线的解析式是y = X2 -6x +8 .(2)依题意，得

6、C(0,2) , D(8,6).作点C(0,2)关于x轴的对称点C (0 , 2)，求直线C D的解析式为直线CD与x轴的交点即为P点.因此，P点坐标为(2,0).,(3)左右平移抛物线 y = X2 -6x +8 ,因为线段A B = 2和CD= J82中42 = 45均是定值，所以要使四边形 小；,因为AB=2，因此将点C 作点C1关于x轴的对称点ABDC的周长最小，只要使A C+B D的值最5分向右平移2个单位得0(2, 2),C2 , C2点的坐标为(2 , -2),设直线C2D的解析式为y=kx + b ,将点 C2 (2, -2)、D (8, 6)代入解析式，得pk +b = -2, 8k+b=6.解得4k=,3b 14b = 一3414直线C2D的解析式为亍直线C2D与x轴的交点即为B点，可求73B ( , 0),因此 A (- , 0).2所以当四边形ABDC的周长最小时，y=x25x + M