用特征方程求数列的通项

1、用特征方程求数列的通项、递推数列特征方程的研究与探索递推（迭代）是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的?（一）、若数列an满足a1 b, an 1can d(c0）,其通项公式的求法一般采用如下的则an 1nS1(ant1an1),8.1上鸟玄.s?(a.t2an1),即an1han、an 1t2an分别参数法，将递推数列转化为等比数列:设anC(an t),则 an 1can(c1)t，令(c 1)t d，即 t可得an 1c(an宀），是以c为公比的等比数列，an(ai将aib代入并整理，得a

2、nI n bcd .故数列an 1 cand对应的特征方程是: x=cx+d仿上,（二）、二阶线性递推数列an 1用上述参数法我们来探求数列panqan i,an 1tan的特征：不妨设an 1ta ns(anta n 1 )，则an 1人 S t(S t)anStan 1，令 st q若方程组（探）有两组不同的实数解(Si ,ti),(S2 ,t2 ),tian (a2 tiaJSi , ti t2,由上两式+消去an i可得ana2 tiai n.SiS1 tit2a2 t2 ain.S2 .S2 ti t2（2）若方程组（探）有两组相等的解SitiS2，易证此时t2ti Si ，则an

3、iti anSian tian iSi (an itl an 2)S1(a2tiai），an in iannSia 2SiQiSiannSi是等差数列，由等差数列通项公式可知Sin i.a2Siai2，所以aaiSia 2 Si a i2Sia2 Sia in2.n Si -Si这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（探）消去t即得S2 PS q0，显然Si、S2就是方程x2px q的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列an i pan qan i的特征方程,所以有结论： 若递推公式为an i pan qan i,则其特征方程为x

4、2px qi、若方程有两相异根Si、S2，则annC2S2 ；是公比为Si、S2的等比数列，由等比数列通项公式可得 an ian i t2an (a2 t2iai)S2ni ,其中Ci、C2可由初始条件确2、若方程有两等根SiS2，则an（Cinq）.定。（三）分式线性递推数列an ia an b( a, b, c, d R,c 0)， c and将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t，则an i taU tand(aanCt) cb dt,an dba ctdt，即 ct2 (a d)tb 0，记的两根为ti,t2，(1)t2，将ti,t2分别代入式可得an Iti以上两式相除

5、得an i tia ctian i t2a ct2an W，于是得到t2nan为等比数列，其公比为an t2actiact2，数列ana的通项an可由ant2ai tiai t2a cti(a)ni求得;ct2(2)若 tit2，将 tti代入式可得an i ti(a,考虑到上式结构特点, an d两边取倒数得ian i tiia ctic(an ti)andti由于tl t2时方程的两根满足2tia d，二 accti dctii于是式可变形为一a n i tica ctiIan tiIanti为等差数列，其公差为act1数列an的通项an可由-an ti(n i)ai ti求得.a cti

6、这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列,ax bex d而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列an 1 a an b的特征方程为xe an d即ex2(d a)x b 0，此特征方程的两根恰好是方程两根的相反数，于是我们得到如下结论:分式线性递推数列ana anc an-的特征方程为x竺上dex d1、若方程有两相异根Si、S2，则OnanS2鱼成等比数列，其公比为a cSi ；a eS2 2、若方程有两等根SiS21成等差数列，其公差为an S1a csi值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用， 但将递推数列转化为等比(等差)数列的思想方法更

7、为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的 参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致,三、例题例1、已知数列a11,a25,且 an 14an 4an 1 (n 2)，求通项公式an。解 设an 1 tans(an tan 1)，二an 1 (S t)an Stan 1令S t 4St 4可得于是an 1 2an2(an2an 1)22(ani2an 2)2n1(a2 2a1)3 2n 1an 12an1歹an是以肆211为首项、专为公差的等差数列,从而an(3n1) 2n2例2、设数列an满足a12,an15a，求 an.2an 7解：对等式两端同加参数2，代入上式an得a

8、n两式相除得an 11an 12邑1an即址an 2是首项为aiai1,公比为1的等比数列,43anan2 431n，从而 an4 3n 124 3n 11四、本课小结:1. 可用特征方程解决递推数列的三类模型.线性递推关系：已知a1 b,an 1 can d(c 0),.齐次二阶线性递推关系：已知a1 a, a2 b, 且an 1 pan qan 1,.分式递推关系:a anb已知 a1 b ,an 1c an d2. 特征根方程及求法.anai，n 1 pan q的特征根方程为x=px+q，其根为，则an 1=p( an 1)a1(n 1).an 2a2(n 2)的特征根方程为X2px q

9、设两实根为，pan 1 qan.若时,则 an =C1 n 1.已知数列an满足：an 1an 2.已知数列 an满足 a1=3, a2 =6, an 2=4an 1-4 an 求an3.已知数列 an满足 a1=3, a2 =6, an 2 =2an 1 +3an 求 anC2n1,其中C1, C2是由a1, a2确定.若=时,则an (GnC2)n1其中C1, C2是由，a1 a2确定.an五、练习panranai且a1且Ph的特征根方程x詈q若方程的两根为,则也an 1p ranran即等比数列an1h 0,则an 12rP h即anan等差数列2,nN,a14,求 an-4.各项均为正

10、数的数列anai=a,a2=b，且对任意的 m+n=p+c的正整数 m, n, p, q.aman都有(1 an)(1 am)(1apaqan)(11 4当a=- ,b=-时，求通项an2 5:已知数列an满足ai2,an12 ,n Nan 1,求通项an.6.已知数列aj满足ai2、a23,an 2 3an 12an（n N ），求数列a.的通项a.7.已知数列an满足ai1,a22,4an 2 4an 1 an(n N )，求数列an的通项 an&已知数列an满足ai2，an2），求数列an的通项an9.已知数列an满足ai2, an 12an4an16(nN*），求数列an的通项an练习

11、答案1、解：作特征方程x2,则xaian111是以1为公比的等33比数列.于是an 1=( a1 3)321113)，an311( 1)n 1,n223N.2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得=2 故设 an =( C1 + C2 n) 2n 1 ,其中3=q +c2,6=( C1 +2c2)Z 所以 C1 =3, C2=0,则 an =3 2n 13、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以an=C13n1 +C2（ 1）n 1其中3=C| +C2, 6=3 C1-C2，得 Ci =- , C2=-所以 anJ.3n1 + 3( 1)n 144444、apaq解:

12、由am an5P 5q得(1 am)(1 an)(1 ap)(1 q)(1 讪1 aja1ana2an 1(1a2)(1将a5代入上式化简得an2an 1考虑特征方程x2x 1得特征根x 1an 12x 22an 111an1an 121an 11，所以数列an 1是以a-i11为首项，公比为-an12an 1113an 11an1a1 133an 12数列，故an111 n 1-(J（1）n 即 a3n1nnan13 333n 1所以的等比an 1)5、解：考虑特征方程11，得特征根x 1，x所以数列anai1 1为首项，公差为1的等差数列,故丄an 16.解：其特征方程为x23x 2，解得 Xi 1,X22，令 anc,C22n,a1 C 2c22a2 G 4c23，7.解：其特征方程为4x2CiC24xa2 (G3 12c2)4411，an21，解得x12，得 ；64X23nan2“