第二十一讲：圆(教师

1、例、已知抛物线=x+1和点A（3,1） , B为抛物线上动点，点 P在线段AB上，且BP:P A = 1:2，当第二十一讲：曲线与方程【知识点】1曲线与方程: 在直角坐标系中，如果曲线 C上的点与方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解作为坐标的点都在该曲线上。那么，这个方程叫做该曲线的方程；这条曲线叫做该方程的曲线。解释说明：方程 x2-y=0表示的曲线是什么？方程 x2-y=0,x1表示的曲线是什么?2、曲线的交点两条曲线的交点的坐标就是由这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。3、弦长公式 若曲线f(x,y)=O与直线y

2、=kx +b相交于A(x1, y-,), B(x2, y2)两点,则 | AB | =+k2 |X1 X2 |=+占| *7214、求简单的曲线方程的一般步骤：(1)(2)M的坐标;建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 写出适合条件 P的点M的集合；(4)用坐标表示条件 P ( M),列出方程化方程f(x, y)=0为最简形式;f(x, y)=0;【典型例题】例、到原点0与到定点A(3,0)的距离之比为丄的动点P的轨迹方程为X2 + y2 + 2x 3 = 0。2 例、A为定点，线段 BC在定直线I上滑动,已知|BC|=4，A到I的距离为3,求也ABC的外心的轨迹 方程。解：以l为

3、X轴，A到的垂线为y轴，建立直角坐标系设B(a,0),则C(a +4,0),线段BC的中垂线方程为x = a +2;线段AB的中垂线方程为 y 3 =旦(X -旦),则两条中垂线的交点为 MBC的外心M ,设M (x, y)232 X =a +2X =a +2则3 a a的解为M(x,y)，解得， 1 223,a亡R消去a得，jy一 =-(x一)iy=-a +-a+-I 232I 632y=lx2 +5为三角形的外心的轨迹方程。6 6例、曲线C:f(x,y)=0关于定点A(a,b)对称的曲线 G的方程为f (2a-x,2b - y) = 0。点B在抛物线上移动时，求点 P的轨迹方程。解：设 P

4、(x,y),B(Xi,yi) ；B在抛物线上二 yj =Xi+1(1)1 BA =3BP= (3 Xi,1 yi)= 3(x Xi, y yi)3=-X 一23_213 - Xi = 3(x -Xi) 二i 0恒成立，I AB| = Ji+22 |花-X2 |= 75j（-号）2-4（一1） =5= b = 2【说明与提高】上两例题中的解法就使设而不求，即没有直接求出交点的坐标、而是利用了一元二次方程 的韦达定理（根与系数的关系）。第二十一讲：圆【知识点】1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长（定长大于零）的点的轨迹。2、圆的标准方程：已知圆心坐标为O（a,b），半径为（0），求圆的方程。

5、圆上任取一点P（x, y） , |OP |=ru （x-a）当D2 +E2 -4F =0 ,方程表示一点；当 D2 +E2 -4F c。，方程无解，无图形。理解：（1）圆的标准方程中，有 abj三个参数；圆的一般方程有D,E,F三个参数；圆的方程的主要特征：有x2, y2，且系数相等。（2）在利用待定系数法时，选择策略：与圆心、半径密切的选圆的标准方程。4、点和圆的位置关系 2 2设点 P （X0,y0）和圆（x-a） + （yb）=r 则: 点 P在圆内 U （人a）2 +（丫0 b）2 cr2 ；点 P在圆上 H（X0 a）2 +（丫0 b）2 = r2点 P在圆外 U（X0 a）2 +（

6、y0 -b）2 Ar2 ； 5、直线与圆的位置关系 已知直线 Ax + By +C = 0 和圆（x a）2 +（ y b）2 = r2（1）利用! Ax+By+C ;0 2的解的个数：无解二相离；一解U相切；两解二 相交。 l（xa）2+（y-b）2=r2（2）圆心（a,b）到直线的距离为d :当d r台相离；d = ru 相切；d vru 相交。6、圆与圆的位置关系 圆Ci的半径为ri，圆C2的半径为2 ；圆心距I C1C2 | ； 当|C1C2|r1+r2时，两圆相离；当|C1C2Fr1中r2时，两圆外切;当IC1C2戸1 -2 I时，两圆内切；当I ri -2 | C1C2 |V1 +

7、2时，两圆相交;当IC1C2 |0），该圆的圆心坐标为（一D -旦），半 2 21 径为 r = Jd2 +E2-4F。21 2 1 2分析：r = Jk +2 -4k =j4-3k ，当k=0时，r最大；此时圆心为(0,1)。例、已知集合M- 2=(x, y)|x2 +y2 4与 N =( x, y) | (x 1)2 +( y 1)2 0满足 M R N = N，则r的取值范围是(0,2-72。y2+2x+4y-3=0上至U直线x + y+1=0的距离为 42 的点共有2个。4x+3y=11的距离等于 1，则半径 R的取值范围是例、(1)圆 X2 +(2)若圆(X-1) 2+(y+1) 2

8、=F2上有且仅有两个点到直线(C )A. R1B . R3C . 1R3D . RM 2例、(1)用两种方法判断直线 y =x2与圆(X1)2+(y 1)2 =4位置关系;(2)用三种方法求直线 y =x2被圆(x-1)2 +(y-1)2 =4所截得弦长。解:(1)解法一：圆心(1,1)至直线x-y-2= 0的距离d=-=J20. X -4x +3=0有两个不同解.方程组有两组解，即直线与圆相交于两点；AB = J1 +k2 X -X2=(1 +k2j(X1 +X2)2 -4x1X2 解1:利用圆心，弦的中点，一个交点构成的直角三角形； (画图) 解2:联立方程组，求出两个交点的坐标，再利 用

9、两点间的距离公式； 解3 :利用弦长公式例、已知圆心在(1,1)的圆截直线y=x-2所得弦长为2迥，求该圆的方程。解：利用弦心距，弦长的一半，与半径r构成的直角三角形圆心(1,1至直线x-y-2 =0的距离为 ：i2U2, 弦长的一半为血V2二 r =J(V2)2 +()2 =2二圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4.总结：圆的弦长最大为 2r ；圆的弦长问题都可利用这个直角三角形。例、求过点A(2, -3),B( 2,-5)，且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程。解法1：设X2+y2+Dx +Ey+F =0,列三个方程求 D、E、F ；解法2：设圆心的坐标为C(2a+3,a),贝

10、U |CA|=|CB匕a=圆心=半径|CA|;解法3：求AB的中垂线与X-2y-3=0的交点，即为圆心AB的中垂线为y-(/) =_2(x-0)与x-2y-3 = 0联立，得圆心 C(-1,-2)r WCA|= J(-1 -2)2 +(_2 + 3)2 =皿所求圆的方程：(x+1)2 +(y+ 2)2 =10.例、圆C:x2 +y2 =2外有一点P(4,2) , (1)求过点P的圆的切线方程；(2)若PR为两个切点，求直线RP?的方程。解:设切线方程为y_2=k(x-4)和X =4(不是圆的切线)，即kx y+24k=01t-/2解得，k=1和 ”.切线： x-y-2=0和x-7y+10=0;

11、Jk2 +17(2)画图分析，F1P2的斜率为-2,设直线RP2的方程为y = -2x+b,即2x + y-b=0,9 需 8+2b 9752 -4k又P(4,2)到直线PP2的距离为厂 h 二亍心1或19由题意可知，gPP2 :2x +y 1 =0.例、从点P(m,3)向圆(X +2)2 +(y +2)2 =1引切线，则切线长的最小值为(A) 2 晶(B)5(C)726(D)4+72例、已知曲线 C : X2 +y2-2x-4y+m=0 ；(1) 当m为何值时，曲线C表示圆；(2) 若曲线C与直线X +2y -4 =0交于MN两点，且OM丄ON ( 0为坐标原点)，求m的值。(1 )由 D2

12、 + E2 -4F 0，得 m5。(2)设 M (xm , yiM ), N(Xn ,Xm )，由 OM 丄 ON 得 Xm Xn + yiM yN = 0。:M,N 在直线 x=-2 y+ 4”. Xm =-2yM +4,Xn =-2yN+4二(-2yM +4)(2yN +4)+yM yN =0= 5yMyN 8(yM + yN)+16 =0(1)联立方程组消去X得,5y2 -16y +8 +m =0两根为yM ,yN代入(1)得， 5：丄血 _8x16+16=0解得，m=8(=,5).555【有空看看】 1、过点P(2,4)作互相垂直的直线Ii，l2，若li交X轴于A，12交y轴于B，求线

13、段AB中点M的轨迹方程。解法一：设M(x, y)为所求轨迹上任一点，M为AB中点， A(2x,0),B(0,2y), h 丄丨2且 l1,l2 过点 P (2, 4), PA丄 PB44 2 y 4-kPA = (XM 1), kPB =-2 2x22 2x当X=1时，A ( 2, 0)、B (0, 4)，此时AB中点M的坐标为(所求点M的轨迹方程为X+2 y-5=0PA =g=-121,X+2 y -5=0( x 丰 1)2),它也满足方程X +2 y -5=0.解法二：连结 PM.设 M(x,y),则 A (2x,0),B(0,2y ) / l1丄丨2,二 yPAB为直角三角形1I PM I =- I AB I2即 J(x-2)2 +(y-4)2化简：x+2 y -5=0所求点M的轨迹方程为或利用PB”PA=0X +2 y-5=0、*2、过P(1,0)引圆X2 + y2 =4的割线交圆于AB两点，O为坐标原点;求lABI的范围；(2)求MOB的面积的最大值；若AAOB的面积为g，求直线AB的方程。(1)/3,4 1(2) SoB -O