矩阵的特征值和特征向量.ppt

1、2021年3月3日星期三,1,第三章,矩阵的特征值与特征向量,2021年3月3日星期三,2,第三章 矩阵的特征值与特征向量,1 方阵的特征值与特征向量,2 矩阵的对角化,2021年3月3日星期三,3,第1节,方阵的特征值与特征向量,2021年3月3日星期三,4,定义3.1,3.1.1 特征值与特征向量的基本概念,2021年3月3日星期三,5,例1,解,是,不是,2021年3月3日星期三,6,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的,2021年3月3日星期三,7,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵A的特征值与特征向量,2021年3月3日星期三,8,矩阵的特征方程

2、和特征多项式定义3.2,A的特征方程,A的特征多项式,A的特征矩阵,特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值,2021年3月3日星期三,9,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵A的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3.对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量 便得属于,的全部特征向量,2021年3月3日星期三,10,例2：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,2021年3月3日星期三,11,得基础解系,得基础解系,2021年3月3日星期三,12,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可

3、取为,2021年3月3日星期三,13,对应的特征向量可取为,2021年3月3日星期三,14,3.1.2 特征值与特征向量的性质,定理1,定理2,推论,若 n 阶方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关,2021年3月3日星期三,15,定理3,2021年3月3日星期三,16,2) 由于,2021年3月3日星期三,17,定理4,设 A 是 n 阶方阵,是,的特征值,若 为 A 的特征值，则,2021年3月3日星期三,18,例3,设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,1） A的主 对角线元素之和 （2,解,的特征值依次为,2021年3月3日星期三,19,例4,试证 n

4、 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充要条件是 A 中至少 有一个特征值为0,证明,因为,为A的特征值,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零,2021年3月3日星期三,20,第2节,矩阵的对角化,2021年3月3日星期三,21,定义3.3,设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得,则称A相似于B，或说A和B相似(similar) ,记做AB,性质,1）反身性 A相似于A,2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A,3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C,3.2.1 相似矩阵及其性质,2021年3月3日星期三,22,方阵的迹定义3.4,方阵的迹是它的主对角线上的

5、元素和,例5,Tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1,2021年3月3日星期三,23,性质： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) (2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质3.1,2021年3月3日星期三,24,相似矩阵的性质,若A和B相似，则,A和B有相等的秩,2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2,证明（1,2021年3月3日星期三,25,3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2,4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5,推论,如果矩阵A相似于一个对角矩

6、阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值,2021年3月3日星期三,26,定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量,充分性,3.2.2 矩阵的对角化,2021年3月3日星期三,27,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B，使得,由B可逆便知,都是非零向量，因而都是A的特征,向量，且,线性无关,2021年3月3日星期三,28,推论,如果n阶矩阵A的特征值,互不相同,则A相似于对角矩阵,定理3.7,n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量,2021年3月3日星期三,29,相似变

7、换,若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵,2021年3月3日星期三,30,例 矩阵 A = 能否相似于对角阵,解 =(- 2)(-1)2,所以 A的特征值为 1 = 2 2 =3 = 1,对于 2 =3 = 1，解方程组 (I A )= 0 对系数矩阵作初等变换,2021年3月3日星期三,31,解方程组 得通解,为任意常数,因为 2 =3 = 1 是二重根，而对应于2 =3 = 1无两个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似,2021年3月3日星期三,32,例 用相似变换化下列矩阵为对角形,解,A的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,2021年3月3日星期三,33,2021年3月3日星期三,34,练一练,用相似变换化矩阵为对角形,2021年3月3日星期三,35,应用 :利用对角化计算矩阵的乘方,2021年3月3日星期三,36,设,解,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例7,2021年3月3日星期三,37,2021年3月3日星期三,38,2021年3月3日星期三,39,THE END,P88将一个方阵A对角化的三步骤. 思考? 第三章作业: 1(4),3,7,9,10(3),11,15,16,2021年3月3日星期三,40