重点增分专题十二计数原理、概率、随机变量及其分布列讲义理

1、重点增分专题十二 计数原理、概率、随机变量及其分布列全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷川2018几何概型-T 10古典概型-T 8求二项式系数问题-T 5二项分布、导数的应用及变量的数学期望、决策性问题-T 20相互独立事件及二项分布-T 82017数学文化、有关面积的几何概 型T二项分布的方差-T 13频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用-T 18正态分布、二项分布的性质及概率、方差-T 192016与长度有关的几何概型-T 4几何概型、随机模拟-T 10柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望-T19互斥事件的概率、条 件概率、随机变量的 分布列和数学期望-

2、T 18（1）概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题（或填空题）和一道解答题.（2）选择题或填空题常出现在第410题或第1315题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般.考点一二项式定理保分考点练后讲评大稳定一一常规角度考双基1.求特定项的系数（2018 全国卷川）卜2 +1）的展开式中X4的系数为（）B. 20A. 10C. 40D . 80解析：选C p +打的展开式的通项公式为Tr + 1 = C5 ( x) 5 D = C5 .2x 令10- 3r = 4,得r = 2.故展开式中x4的系数为d 2 2= 40.2.求特定

3、项系数（2017 全国卷I ）f+ 讣1 + X）6展开式中X2的系数为（A. 15B . 20C. 30D . 35解析：选C （1 + X）6展开式的通项 Tr+1= Cxr，所以f+ A）1 + X）6的展开式中的系数为 1xC + 1XC 6= 30.3.有关系数和问题在p+jXj的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32 :1,贝U x2的系数为A. 50B . 70C. 90D . 120解析：选C33令x= 1，则$+寸XJ = 4n，所以卜+JXJ的展开式中，各项系数和为4n,又二项式系数和为4门2n，所以刁=2n= 32,解得n = 5.二项展开式的通项+1 = C5x5

4、 r=C333rx5 2，令 5 r = 2,得 r = 2，所以 x2 的系数为 c532= 90,故选 C.4.求参数值若二项式Rx + x的展开式中4的系数是84,则实数a等于（）k X丿XA. 2C. 1解析：选C二项式+ X的展开式的通项Tr - C727- rx7-rarx- r =匸讣72r令7 2r = 3,得r = 5,所以T6= 4da5= 84,解得 a= 1.5.二项式系数或各项系数的最值的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是 （）A. 7D . 28C. 28解析：选B因为只有第5项的二项式系数 d最大，所以2= 4,即n= 8.r卜丄L1眾丿=

5、4-6C6令8 = 0，解得r = 6,故常数项为T7= = 7.故选B.的展开式的通项公式为Tr + 1 =22-1 C 4 于一X8 3r,6.求多项式的特定项系数(x2 + X + y)4的展开式中，x3y2的系数是 解析：法一：(X2 + X + y)4= ( X2 + X) + y4,其展开式的第r + 1项Tr+1 = c4(x2 + X)4-V,因为要求 x3y2的系数，所以 r = 2，所以 T3= d(x2 + x)4-2y2= 6(x2 + x)2y2. 因为(X2 + X)2的展开式中X3的系数为2,所以X3y2的系数是6X 2= 12. 法二：(X2 + x+ y)4表

6、示4个因式X2+ X + y的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选 X,剩下的一个选 X, 即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是d cU 12.答案：12解题方略1.求二项式与代数式积的展开式特定项系数问题的关键是将二项式看作一个整体，利用分配律整理所给式子；二是利用二项展开式的通项公式，求特定项，特定项的系数即为所要求的系数.2.求(X + y + Z)茁勺展开式的特定项的系数问题的技巧若三项能用完全平方公式，那当然比较简单，若三项不能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数;(x+y+ z)n看作

7、n个因式X + y+ z的乘积，再利用组合数公式求解.3二项式系数最大项的确定方法若n是偶数，则中间一项 卜2+1项的二项式系数最大；若n是奇数，则中间两项n+1n+1厂9斗第厂项与第一厂+1项的二项式系数S 最大.小创新一一变换角度考迁移1.二项式定理与函数的交汇在(1 + x)6(2 + y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(mn)，贝y f (4,0) + f(3,1) + f(2,2) + f(1,3) + f(0,4)=()A. 1 240B 1 289C. 600D 880解析：选B (1 + X)6的展开式中，乂“的系数为Cm, (2 + y)4的展开式中，yn的系数为C24

8、T,则 f ( m n) =从而 f (4,0) + f (3,1) + f(2,2) + f (1,3) + f(0,4) = C4 -C J4+ C C22 + CCt1 + C0 C4 20 = 1 289.2sin 2 x+ b2.二项式定理与三角函数的交汇已知（1 + ax + by）5（a, b为常数，a N*, b N）的展-x |0,卡的最小 1 L 4丿开式中不含字母 x的项的系数和为 243，则函数f（x） =n富sin fx + n值为解析：令x= 0, y = 1,得(1 + b)5= 243,解得b= 2.因为 x |0, -2，所以 x+n4 sin x + cos

9、 x = /2sin R + 才 j 1,f2,2sin 2 x+ b所以f(x)=护Sin(X +2sin 2 x + 2sin x+ cos xcos x)考点二古典概型、几何概型及条件概率保分考点练后讲评4sin x cos x + 2=sin x+ cos x = 2(sin x +2 f （x） W2述.故f（x）的最小值为2. 答案：21.古典概型（2018 全国卷n ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世30= 7界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如+ 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）1B-T

10、4解析：选C 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ，共10个，随机选 取两个不同的数，共有&0= 45种情况，而和为30的有7 + 23,11 + 19,13 + 17这3种情况,31所求概率为45=-故选C.C2.几何概型（2018 全国卷I ）如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AB AC ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为n,其余部分记为川.在整个图形中随机取一点，此点取自I ,n，川A.p1= p2C.P2= p3的概率分别记为P1 , P2 , P3，

11、则（）B . p1 = p3D . p1 = p2 + p3解析：选a 法一：/ $ abc= 1aB- AC以ab为直径的半圆的面积为2 n(ABKaB，以AC为直径的半圆的面积为 1n ，以BC为直径的半圆的面积为 評,1 1 S： = 2AB- Ac &=bC -严 Ac2AB ACSiSu由几何概型概率公式得 P1=&；, P2 = W；， pi = p2.故选 a.法二：不妨设 ABC为等腰直角三角形,所以区域I的面积即ABC勺面积,AB= AC= 2，则 BC= 2寸2,为 S1 = 2 2X 2= 2,区域n的面积S= nXI2n X 护2 = 2,X = nn AB考点三 随机

12、变量的分布列、均值与方差增分考点广度拓展题型一超几何分布及其均值与方差例1某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学.在这10名同学中,3名同学来10名同学自数学学院，其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;C10 设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 X的分布列和数学期望 E(为 解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A) = c3CtC3C =4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49五. 随机变量X的

13、所有可能值为0,123.F(X= k) = C4CL(k = 0,123).C0才，dd 1c4c6 1所以 RX= 0)=苗=6，P(X=1)=蔬=2，* dd 3 c Vc4c6 1RX=2)=猛=和，P(x=3)=矿30.所以随机变量 X的分布列为:X0123P111621030故随机变量X的数学期望E(X) = 0X 1+ 1X 1 + 2X 10+ 3X 0 = I解题方略1.超几何分布的应用条件及实质(1)条件：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布.(2)实质：古典概型问题.2超几何分布的均值与方差对于实际问题中的随机变量X,如果能够

14、断定它服从超几何分布H N, M n),则其概率CCN可直接利用公式 P(X= k) = cn ( k = 0,1，m其中m= min Mn，且 nW N, M N, n,M N N).题型二相互独立事件的概率及均值与方差例2(2019届高三益阳、湘潭调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为23,他们出线与未出线是相互独立的.(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量E，求随机变

15、量E的分布列和数学期望 E( E ).解(1)记“甲出线”为事件 A, “乙出线”为事件 B, “丙出线”为事件 C, “甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,11229则 P(D = 1 - P(A B C) = 1-1X4X-=-(2)由题意可得，E的所有可能取值为0,1,2,3 , 112 1则 P(0) = R A B C) = 3X4X5= 30；2 1 2 13 2 1 13 13R =当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解题型三二项分布及其均值与方差例3雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首

16、要任务是控制PM2.5,要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不 同的专家组对 A, B, C三个城市进行治霾落实情况抽查.(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率;(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评 价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为2,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为解(1)随机选取，共有34= 81种不

17、同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有CkclA2 + C) = 42种不同方法, =P(AB C) +RA BC) +RA BC =4X5+齐 了5+存2322131339=2) = P( ABC) + RABQ + P( ABC =空乂4X5 + 护x5 + 空X4X 5 =莎2 3 33=3) = P(ABC =齐 4X 5=10所以E的分布列为E0123P11393306020W11393121目=0X 30 +1X 60+2X 20+3X 帀=莎解题方略求相互独立事件的概率的两种方法正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几直接法个相互独立事件同时发生的积

18、事件或独立重复试验问题,然后用相应概率公式求间接法X,求X的分布列.4214故恰有一个城市没有专家组选取的概率p= 81=云（2）设事件A:“一个城市需复检”，则 P(A) =1 - (D=暮X的所有可能取值为0,1,2,3 ,=C0 辭 4-096，=Cc =c2 丄伫L竺16 划6丿 4 096=c3 5、3 375 辰=4 096 .所以X的分布列为X0123P1456753 3754 0964 0964 0964 096第一关111判断关111邹二关111去式关111笫三关111分柑列关111O111结it孟i11解题方略破解有关二项分布的“四关”即判断离歆书随机变戢X址杏瞒从二项分布

19、! 沾 gp）!即利用二项分布公式尸卞-左）=化泸（1-计1 :T即列出表格，即到离槪率随机变卅的分布列40，N mh求出X取齐个值时的槪率 :利用公式肌好=即求苴期L/XX）=npCl-p） 4c! i K方差！II增分考占 考点四利用均值与方差破解决策性问题讲练考占典例（2018 洛阳第一次统考）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下: 甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成 4元；乙公司，无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成 7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数,

20、 得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司的 50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题: 记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元)，求X的分布列和数学期望 E(X);小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑， 请利 用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.解(1)记抽取的3天送餐单数都不小于 40为事件M&523则 P(M = C0=苗(2)设

21、乙公司送餐员的送餐单数为a,当a = 38时,X= 38X 6= 228,当a = 39时,X= 39X 6= 234,当a = 40时,X= 40X 6= 240,当a = 41时,X= 40X 6+ 1X 7= 247,当a = 42时,X= 40X 6+ 2X 7= 254.所以X的所有可能取值为 228,234,240,247,254.故X的分布列为所以曰X) = 228X 依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38X 0.2 + 39X 0.3 + 40X 0.2 + 41 X 0.2 + 42X 0.1 =39.7 ,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+ 4X 39.7 = 238

22、.8元.由得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元.因为238.8 1)及X的数学期望;一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(卩一3b ,卩+ 3b )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性;下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9. 9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得7 = WSxi16i=1=9.97 ,i = 1,2，16.沁0.212，其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸,用样本平均数

23、X作为1的估计值1，用样本标准差s作为b的估计值b，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(- 3b , 1+ 3b )之外的数据，用剩下的数据估计卩和b (精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布 N2卩，b )，贝U F( 3 b Z 1)16=1 P(X= 0) = 1 0.997 40.040 8.X 的数学期望为 EX= 16X 0.002 6 = 0.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(1 3b, 1 + 3b )之外的概率只有0.0026,天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(1 3b, 1 + 3 b)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率

24、很小.因此一旦发生这种情况， 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.= 9.97 , b 的估计值为 b = 0.212 ,卩+ 3 b )之外，因此需对当天的生产过程由X = 9.97 , s0.212，得 1的估计值为样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(1 3b , 进行检查.剔除(卩一3b ,卩+ 3 b )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 (16 X 9.97 9.22)15=10.02 ,因此卩的估计值为10.02.16Zx2 = 16X 0.212 2+ 16X 9.971 591.134

25、 ,i =1A AA123 A , 1 + 3b)之外的数据9.22 ,剩下数据的样本方差为 (1 591.134 9.221515X 10.022) 0.008 ,因此b的估计值为P0.008沁0.09.解题方略利用正态曲线的对称性求概率的策略(1)解题的关键是利用对称轴X =卩确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对 应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.2(2)对于正态分布N( 1 , b )，由x= 1是正态曲线的对称轴知:对任意的a,有R X卩a) = R冷卩+ a)；RXxo); P( avXvb) = P(Xb) P(Xw a).(3)对于特殊区间求概率一定要掌握

26、服从d 2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P( d Xw卩+d ) , R 2 d Xw 卩+ 2 d ) , P( 3 d Xw+ 3 d )转化，然后利用特定值求出相应概率.同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与每课一悟誇素养落地功在平时x轴之间的面积为1这些特殊性质.多练强化(2018 聊城期末)已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N1 000 , d 2)，且 P(X800) = 0.1 , RXA1 300) = 0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在1 200 , 1 300)的概率;现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的

27、三件产品使用寿命在800,1 200)的件数为Y,求Y的分布列和数学期望 E( Y). . 2解：(1)因为 XN1 000, d ) , P(X 1 300) = 0.02 ,所以 P(1 200w X 1 300) = P(X 1 200) = P( X800) = 0.1.所以 P(1 200 w X1 300) = 0.1 0.02 = 0.08 ,即其使用寿命在1 200,1 300)的概率为0.08.(2)因为 R800 w X1 200) = 1 2RX800) = 1 2X 0.1 = 0.8 =45所以Yb, 4所以RY= 0) = f - 5卜在,=c3O15卜 S， _

28、/4)_ 64厂 125,所以Y的分布列为Y0123P1124864125125125125数据分析一一随机变量及其分布列与期望问题的求解典例某网络广告公司计划从甲、乙两个网站中选择一个网站拓展公司的广告业务,为此该公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量如图所示的茎叶图.甲乙5185 S 425 2 42 5 06 032 B 0 6 5540(1)请说明该公司应该选择哪个网站；(2)根据双方规定，该公司将根据所选网站的日访问量进行付费，(单位：万次)，整理后得到日访问量n(单位：万次)n 2525 n35付费标准(单位：元/日)5007001 000付费标准如下:(2)设选择甲网

29、站每日需付的费用为随机变量X,选择乙网站每日需付的费用为随机变考虑到资金有限，若要使该公司每个月(按30天计)付的费用最少，则该公司应该选择哪个网站?解(1)根据题中的茎叶图得,X甲=110X (15 + 24 +28+ 25+30+36+ 30 +35 +32+ 45) = 30,2 I222222s甲 = 10(15 30) + (24 30) + (28 30) + (25 30) + (30 30) + (36 30) + (30量Y,则随机变量X的分布列为X5007001 000P0.20.60.2其数学期望 E(X = 500X 0.2 + 700X 0.6 + 1 000 X 0

30、.2 =720,故该公司若选择甲网站，则每个月需付的费用为720X 30= 21 600(元).随机变量Y的分布列为Y5007001 000P0.30.40.3其数学期望 E(Y = 500X 0.3 + 700X 0.4 + 1 000 X 0.3 = 730，故该公司若选择乙网站,则每个月需付的费用为730X 30= 21 900(元).因此应选择甲网站.素养通路数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.本题先分析茎叶图中的数据，分别求出甲、乙的平均数

31、、方差，然后做出最佳选择，再通过分布列、数学期望的计算后的“数据分析”，对实际问题做出合理的判断.考查了数据分析这一核心素养.专题过关检测A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练、选择题1投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为A. 0.648B. 0.432C. 0.36D . 0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k = 2) = C3x 0.6 2X (1 0.6)，投中3次的概率为 Rk = 3) = 0.6 3,所以通过测试的概率为P(k= 2) + F(k= 3) = c3x

32、 0.6 2x (1 0.6) + 0.63=0.648.2 小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件 B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B) =(4C.g5D. 5解析：选A 小赵独自去一个景点共有4X 3X 3X 3= 108种可能性,4个人去的景点不同的可能性有3. (2018全国卷川)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付242a4= 4X 3X 2X 1= 24 种， P(A| B)=而=9.=6)，则 p=()A. 0.7C. 0.4B . 0.6D . 0.3解析：选B由题意可知，10位成员中使用移动支

33、付的人数X服从二项分布，即XB（10 ,P)，所以 DX= 10p(1 p) = 2.4，所以 p= 0.4 或 06又因为 P(X= 4)P：X= 6), 所以 Cop(1 P)60.5，所以p= 0.6.4.若 X +X）的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为 （）A. 40B . 20C. 20D . 40解析：选D令X= 1，可得a+ 1 = 2, a= 1,（2X的展开式中1项的系数为（一1）3c522,X丿XX项的系数为c523,.x ”的展开式中的常数项为（1）3C22 + c523= 40.故选D.5. （X2 + 2x + 3y）5的展开式中x5y2的系数为（）A

34、. 60B . 180C. 520D . 540解析：选D （X2 + 2x + 3y）5可看作5个（x2+ 2x + 3y）相乘，从中选2个y,有d种选法； 再从剩余的三个括号里边选出 2个X2，最后一个括号选出 X，有C Cl种选法，所以 対的 系数为 32d d 2 C 1 = 540.6.在平面区域（ X, y）|0 w Xw2,足yw X2的概率为（）03383二、填空题x6的项为7.在(X2 4)5的展开式中，含解析：因为(X 2 4)5 的展开式的第 r + 1 项 Tr +1 = C5(x 2)5r ( 4)r = ( 4)rC5x102r令 10 2r = 6,解得 r =

35、2,所以含 X6 的项为 T3= ( 4)2c5x6= 160x6.答案：160X6&已知在四棱锥 P-ABCD中，PA底面 ABCD底面ABCD是正方形，P4 AB= 2,现在该四棱锥内部或表面任取一点Q则四棱锥O-ABCD的体积不小于彳的概率为3解析：当四棱锥 O-ABCD勺体积为2时，设O到平面ABCD勺距离为h,3则有3x22X h= 3，解得h = g如图所示，在四棱锥P-ABCD内作平面EFGH平行于底面 ABCD且平面EFGH与底面ABCD的距离为1.因为PA!底面ABCD 且 PA= 2，所以PA= 4,又四棱锥P-ABCD与四棱锥P-EFGH相似，所以四棱锥O-ABCD的体积

36、不小于的概率为P3V四棱锥P-EFGH 二住)=27V四棱锥 P-ABCD pA丿匕丿64答案：649.在一投掷竹圈套小玩具的游戏中，竹圈套住小玩具的全部记2分，竹圈只套在小玩具一部分上记1分，小玩具全部在竹圈外记0分.某人投掷100个竹圈，有50个竹圈套住小玩具的全部，25个竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以频率估计概率，则该人两次投掷后得分E的数学期望是解析：将“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部501251在竹圈外”分别记为事件A, B, C,则P(A)=而=2, P(B) = P(C) = 100 = 4.1 1 1某人两次投掷后得分三

37、的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P( ,0) F1 = 116,1 1 1p( E = 1) = 2X 4X 4= 3,1 11 15p( E = 2) = X- + 2XX-=,4 42 4 16,1 1 1P( E = 3) = 2x 4x-= 4,1 1 1P( E = 4) = 2 X 2= 4.故E的分布列为E01234P115111681644115115所以 E(E) = 0X 花+ 1X 8+ 2X 花 + 3X 4 + 4X 4=空5 答案：-三、解答题10. （2019届高三贵阳摸底考试）某高校学生社团为了解“大数据时代”下毕业生对就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷计分调查（满分100分），得到如图所示的茎叶图,女生男生（1）计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度;（2）从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求被抽到的女生人数X的分布列和数学期望.解：（1）男生打分的平均分为110X (55 + 53+62+ 65 +71 + 70+73+ 74+86+ 81) =