2020大一轮高考总复习文数(北师大版)课件：第3章第2节第3课时利用导数证明不等式专题.ppt[文字可编辑]

1、第,三,章,导数及其应用,第二节,导数的应用,第三课时,利用导数证明不等式专题,栏,目,导,航,02,01,课堂,考点突破,课后,高效演练,01,课堂,考点突破,利用导数证明与不等式有关的问题,析考情,利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，常作为解答题的一问出现，难,度较大解决此类问题一般是通过构造函数把不等式转化为函数的单调性或最值问,题求解,提能力,命题点,1,构造函数证明不等式,典例,1,2016,全国卷,设函数,f,x,ln,x,x,1,1,讨论,f,x,的单调性,x,1,2,证明当,x,1,时,1,x,ln,x,3,设,c,1,证明当,x,0,1,时,1,c,1,x,c,x,1,

2、1,解,由题设,f,x,的定义域为,0,f,x,1,令,f,x,0,解得,x,x,1,当,0,x,1,时,f,x,0,f,x,单调递增；当,x,1,时,f,x,0,f,x,单调递减,2,证明,由,1,知,f,x,在,x,1,处取得最大值，最大值为,f,1,0,所以当,x,1,时,ln,x,x,1,x,1,1,1,故当,x,1,时,ln,x,x,1,ln,1,即,1,x,x,x,ln,x,3,证明,由题设,c,1,设,g,x,1,c,1,x,c,c,1,ln,ln,c,x,则,g,x,c,1,c,ln,c,令,g,x,0,解得,x,0,ln,c,当,x,x,0,时,g,x,0,g,x,单调递增；

3、当,x,x,0,时,g,x,0,g,x,单调递减,c,1,由,2,知,1,c,故,0,x,0,1,ln,c,又,g,0,g,1,0,故当,0,x,1,时,g,x,0,所以当,x,0,1,时,1,c,1,x,c,x,x,命题点,2,构造函数证明与函数零点,方程的根,有关的不等式,a,典例,2,2018,太原模拟,已知函数,f,x,ln,x,x,1,求,f,x,的最小值,2,若方程,f,x,a,有两个根,x,1,x,2,x,1,x,2,证明,x,1,x,2,2,a,1,a,x,a,1,解,f,x,2,2,x,0,x,x,x,所以当,a,0,时,f,x,0,f,x,在,0,上单调递增函数无最小值,当

4、,a,0,时,f,x,在,0,a,上单调递减，在,a,上单调递增,函数,f,x,在,x,a,处取最小值,f,a,ln,a,1,2,证明,若函数,y,f,x,的两个零点为,x,1,x,2,x,1,x,2,由,1,可得,0,x,1,a,x,2,令,g,x,f,x,f,2,a,x,(0,x,a,则,2,1,1,4,a,x,a,g,x,x,a,x,2,2,2,2,0,2,a,x,x,2,a,x,所以,g,x,在,0,a,上单调递减,g,x,g,a,0,即,f,x,f,2,a,x,令,x,x,1,a,则,f,x,1,f,2,a,x,1,所以,f,x,2,f,x,1,f,2,a,x,1,由,1,可得,f,

5、x,在,a,上单调递增，所以,x,2,2,a,x,1,故,x,1,x,2,2,a,命题点,3,利用赋值法证明不等式问题,典例,3,2017,全国卷,已知函数,f,x,x,1,a,ln,x,1,若,f,x,0,求,a,的值,2,设,m,为整数，且对于任意正整数,值,1,1,1,n,1,2,1,2,2,1,2,n,m,求,m,的最小,解,1,f,x,的定义域为,0,若,a,0,因为,1,1,f,2,a,ln 20,所以不满足题意,2,a,x,a,若,a,0,由,f,x,1,知,x,x,当,x,0,a,时,f,x,0,当,x,a,时,f,x,0,所以,f,x,在,0,a,单调递减，在,a,单调递增,

6、故,x,a,是,f,x,在,0,的唯一最小值点,因为,f,1,0,所以当且仅当,a,1,时,f,x,0,故,a,1,2,由,1,知当,x,1,时,x,1,ln,x,0,1,1,1,令,x,1,n,得,ln,1,2,n,n,2,2,从而,1,1,1,1,1,1,1,ln,1,2,ln,1,2,2,ln,1,2,n,2,n,1,n,1,2,2,2,2,1,1,1,故,1,2,1,2,2,1,2,n,e,1,1,1,而,1,2,1,2,2,1,2,3,2,所以,m,的最小值为,3,刷好题,x,a,1,2018,合肥质检,已知函数,f,x,x,e,1,若,f,x,在区间,2,上为单调递增函数，求实数,

7、a,的取值范围,2,若,a,0,x,0,1,设直线,y,g,x,为函数,f,x,的图像在,x,x,0,处的切线，求证,f,x,g,x,x,1,a,1,解,易得,f,x,x,e,由题意知,f,x,0,对,x,2,恒成立,故,x,1,a,对,x,2,恒成立,1,a,2,a,1,故实数,a,的取值范围为,1,x,2,证明,a,0,则,f,x,x,e,函数,f,x,的图像在,x,x,0,处的切线方程为,y,g,x,f,x,0,x,x,0,f,x,0,令,h,x,f,x,g,x,f,x,f,x,0,x,x,0,f,x,0,x,R,1,x,1,x,0,1,x,e,x,0,1,x,0,e,则,h,x,f,x

8、,f,x,0,x,e,e,x,0,e,x,x,0,设,x,1,x,e,x,0,1,x,0,e,x,R,则,x,x,e,x,0,1,x,0,e,x,0,1,x,0,x,在,R,上单调递减，而,x,0,0,当,x,x,0,时,x,0,当,x,x,0,时,x,0,当,x,x,0,时,h,x,0,当,x,x,0,时,h,x,0,h,x,在区间,x,0,上为增函数，在区间,x,0,上为减函数,x,R,时,h,x,h,x,0,0,f,x,g,x,x,x,x,e,2,2018,上饶模拟,已知函数,f,x,x,1,求曲线,y,f,x,在点,2,f,2,处的切线方程,3,2,设,G,x,xf,x,ln,x,2,

9、x,证明,G,x,ln 2,2,e,x,e,2e,e,e,e,1,解,f,x,f,2,且,f,2,2,2,x,2,4,2,e,e,e,所以切线方程,y,x,2,即,y,x,2,4,4,2,2,2,x,x,2,2,2,2,x,2,证明,由,G,x,xf,x,ln,x,2,x,x,0,1,1,x,G,x,e,2,G,x,e,2,0,x,x,x,所以,G,x,在,0,为增函数,5,又因为,G,1,e,3,0,G,2,e,0,2,2,1,所以存在唯一,x,0,1,2,使,G,x,0,e,x,0,2,0,x,0,1,即,e,x,0,2,且当,x,0,x,0,时,G,x,0,G,x,为减函数,x,0,x,

10、x,0,时,G,x,0,G,x,为增函数,1,所以,G,x,min,G,x,0,e,x,0,ln,x,0,2,x,0,2,ln,x,0,2,x,0,x,0,1,2,x,0,1,1,1,记,H,x,2,ln,x,2,x,1,x,2,H,x,2,2,0,x,x,x,所以,H,x,在,1,2,上为减函数,1,3,所以,H,x,H,2,2,ln 2,4,ln 2,2,2,3,所以,G,x,G,x,0,ln 2,2,3,2018,贵阳模拟,设,f,x,e,ax,1,a,0,1,求函数,f,x,的最小值,g,a,并证明,g,a,0,2,求证：对任意,n,N,都有,1,x,x,n,1,2,n,1,3,n,1

11、,n,n,1,2,n,1,n,1,成立,3,解,1,由,a,0,及,f,x,e,a,可得,函数,f,x,在,ln,a,递减，在,ln,a,递增,函数,f,x,的最小值,g,a,f,ln,a,a,a,ln,a,1,则,g,a,ln,a,故,a,0,1,时,g,a,0,a,1,时,g,a,0,从而,g,a,在,0,1,递增，在,1,递减，且,g,1,0,故,g,a,0,2,证明,由,1,可知,当,a,1,时,总有,f,x,e,x,1,0,当且仅当,x,0,时,成立,即,x,0,时，总有,e,x,1,于是可得,x,1,x,n,1,x,e,x,n,1,e,n,1,x,1,1,n,n,n,1,令,x,1,即,x,可得,e,n,1,n,1,n,1,2,n,1,2,n,1,1,n,令,x,1,即,x,可得,e,n,1,n,1,n,1,3,n,2,3,n,1,2,n,令,x,1,即,x,可得,e,n,1,n,1,n,1,n,n,1,1,n,1,令,x,1,即,x,可得,e,n,1,n,1,n,1,对以上各等式求和可得,1,2,3,n,n,1,n,1,n,1,n,1,n