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数据融合技术
上海交通大学
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上海交通大学《数据融合技术》课件,数据融合技术,上海交通大学,数据,融合,技术,课件
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2012/2/291数据融合技术鲍其莲Qlbaopublic数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/292第2章最优估计与滤波理论 最小二乘法估计 最小方差估计 线性最小方差估计 维纳滤波数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲- 最小二乘法 加权最小二乘法 举例比较2012/2/293数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2942.3 维纳（Wiener）滤波 设：X(t)=S(t)+V(t) 其中 ：X(t)为量测量，S(t)为有用信号，V(t)为干扰信号。S(t)，N(t)为平稳过程且相互独立。 理想滤波系统的输出: 目的：设计一线性定常系统线性定常系统，使滤波器输出为： 满足：dtXhty)()()(0min)()()(22tytIEtE dtShtII)()()()()(tStI数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/295 滤波系统的理想输出 若则dtShtII)()()()()(tStI1)(),()( jHtthI)(thI)(th)(tS)(tX)(tN)(tI)(ty)(t 数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/296 nx ns nv真实信号观察/测量数据加性噪声/干扰 is nx nh nh i x n i nsnsne线性估计线性估计问题最小均方误差(MMSE)估计(minimum mean-square error)估计误差 2minnE e nh n(1)维纳滤波问题描述维纳滤波-对真实信号的最小均方误差估计问题.维纳滤波-对真实信号的最小均方误差估计问题.数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/297平滑滤波预测 niixinhns0 11npniixinhns 10Niixinhns线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/298 121003210012000100001210NxxxxhNhNhNhhhhhhhNssss 1, 1, 0,0Nninxihnsni问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列问题在于估计滤波器的参数/单位冲激响应序列滤波问题滤波问题数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/299正交方程正交方程 : jjnxneEjjnxneEjhneneEjhn,0, 1, 0,022标准方程标准方程 (Wiener-Hopf equations): autocorrelation sequence of cross-correlation sequence of and xxsxRmiE x ni x nmx nRmE s n x nms nx n(2)维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程 ,sxxxiRmh i Rmim is nx nh nh i x n i nsnsne 2minnE e nh n任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交任何时刻的估计误差都与用于估计的所有数据（即滤波器的输入）正交数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2910注意: 一种线性最小方差估计 求解Wiener-Hopf equationWiener Filters下标i的取值范围决定了滤波为FIR,非因果IIR或因果IIR is nx nh nh i x n i数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2911 TTNnxnxnxnNhhh11110xhFIR (Finite Impulse Response) Wiener Filter求解求解 Wiener-Hopf Equations -FIR滤波器滤波器 s nnTh x数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2912 1210032130122101121012101, 1, 0,10NhhhhRNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRNRRRRNmimRihmRxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxsxsxsxsxNixxsx nnsENRRRRsxsxsxsxxP 1210 nnERNRNRNRNRRRRNRRRRNRRRRTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR 0321301221011210RhPRhPTTor 维纳维纳-霍夫方程 展开为矩阵形式霍夫方程 展开为矩阵形式数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2913Solution: nnnEnnsEnnnsxxxxxRPxhPRhTT1TT1opt1数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2914FIR维纳滤波器结构Wiener Filters( )s m( )x m(1)x m(2)x m(1)x m p ( )s m1xx xsw R P数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2915 【例】如图，信号与噪声统计独立，其中噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N2的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。)()()(nwnsnx)( )(nsny)(nhmssmR6 . 0)()(ns)()()(nwnsnx数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2916 解：依题意，已知信号的自相关和噪声的自相关为：代入式mssmR6 . 0)()()(mmRww) 1 (2)0(6 . 06 . 01) 1 (6 . 0)0(210hhjhhj)0(h) 1 (h45. 0) 1 (6 . 0) 0 (1)()() 0 ()(10min2hhmRmhRneEmssss)()()()(10mjRmjRmhjRwwNmssoptss解得：0.451，0.165。 求得最小均方误差：数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2917标准方程 : dzzzHjnhzSzSzHzSzHzSnoptoptxxsxoptxxoptsx121 mimRihmRixxsx,求解求解 Wiener-Hopf Equations -非因果非因果 IIR滤波器滤波器Solution :数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2918求解求解 Wiener-Hopf Equations -因果因果 IIR滤波器滤波器标准方程 : 0,0mimRihmRixxsx数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2919 随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一个物理可实现的系统或模型的响应，如图所示 随机信号模型)(1nw)( ns)( zA)(1nw数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2920 由于，如图所示。把这两个模型合并最后得到维纳滤波器的信号模型其中传递函数用B（z）表示。x的信号模型维纳滤波器的输入信号模型)(ns)(zA)(1nw)(nw)(nx)(nx)( zB)(1nw)()()(nwnsnx数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2921 白噪声的自相关函数为它的z变换就等于。输出信号的自相关函数为，根据卷积性质有)()(2111mmRwww21w)(mRss )()()()()()()(11rkssrmnwraknwkaEmnsnsEmR)()()(11rkmRrakawwkrkrl设lkwwwwkllkakalmRlmRlkaka)()()()()()(1111数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2922(*) 对式（*）进行Z变换得到系统函数和相关函数的z变换之间的关系：(*)同样，进行z变换得)()()()()(lalalkakalfl令)()()()()()()()(111111mamamRmfmRlflmRmRwwwwlwwss)()()(121zAzAzRwss)()()(121zBzBzRwxxlkwwsslkakalmRmR)()()()(11数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2923 利用卷积性质还可以找到互相关函数之间的关系：)()()()()()(1mnsknwkbEmnsnxEmRkxs)()()()(11mbmRkmRkbswksw)()()(11zBzRzRzswxs变换：)(zB)(zB)(1zB如果已知观测信号的自相关函数，求它的z变换，然后找到该函数的成对零点、极点，取其中在单位圆内的那一半零点、极点构成另外在单位圆外的零、极点构成，这样就保证了是因果的，并且是最小相位系统)()()(121zBzBzRwxx数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2924 可得由于系统函数的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则也是一个物理可实现的最小相移网络函数。对进行白化，即把当作输入，当作输出，是系统传递函数。可得由于系统函数的零点和极点都在单位圆内，即是一个物理可实现的最小相位系统，则也是一个物理可实现的最小相移网络函数。对进行白化，即把当作输入，当作输出，是系统传递函数。)()(1)(1zXzBzW)(1zB)(1zB)(zB)(nx)(nx)(1nw数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2925 重新考虑前述问题，待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图所示，为了便于求这个，将的滤波器分解成两个级联的滤波器：和重新考虑前述问题，待求的问题就是最小均方误差下的最佳，如图所示，为了便于求这个，将的滤波器分解成两个级联的滤波器：和G（z），则），则利用白化方法求解模型利用白化方法求解模型)(zH)(zHopt)(1zB)()()(zBzGzH)()()(nwnsnx)( )(nsny)(nh)(nx)( )(nsny)(1zB)(zG)(1nw数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2926 zA nw nv zB1 zG ns n nx nsWhitening filterOptimum causal filter for white input将IIR滤波器分解为两部分1( )( )( )H zG zB z第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声）第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器第一部分为白化滤波器（将输入信号变为白噪声）第二部分为以白噪声为激励的最优因果滤波器。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2927计算步骤计算步骤(1)因式分解（谱分解定理）因式分解（谱分解定理）(2) 分解为因果部分和非因果部分分解为因果部分和非因果部分 111zBzSzBzSzBzSsxsxsx(3) 计算系统函数计算系统函数 21111G(z)=sxcSzHzB zB zB z(4) 计算冲激响应（反计算冲激响应（反Z变换）变换） 12zBzBzSxx(5) 计算最小均方误差计算最小均方误差 dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2928维纳滤波器的均方误差维纳滤波器的均方误差 0 2minesRnsneEnsnsneEneEn 11min. .1 210 2 mesescesesu cessssss s sssoptxsRmSz zdzjnRSz z dzjSzSzSzSzSzHz Sz dzzzSzHzSjncuxsoptss1.min 21证明上式证明上式: 数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2929求解维纳霍夫方程步骤如下求解维纳霍夫方程步骤如下：）对观测信号的自相关函数求：）对观测信号的自相关函数求z变换得到）利用等式找到最小相位系统）利用均方误差最小原则求解因果的变换得到）利用等式找到最小相位系统）利用均方误差最小原则求解因果的G（z），即得到维纳霍夫方程的系统函数解），即得到维纳霍夫方程的系统函数解)(nx)(mRxx)(zRxx)()()(121zBzBzRwxx)(zB)()()(zBzGzH数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2930 步骤3,G的求解过程有 均方误差为01)()()( )(mmnwmgnsny2012) )()()()(mmnwmgnsEneE )()()()()()()(2)(0011012mrmrnwrgmnwmgmnwmgnsnsE000)()()()()(2)0(111mrwwmswssrmRrgmgmRmgR数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2931 由于代入上式，并且进行配方得)()(2111mmRwww02202)()()(2)0()(11mwmswssmgmRmgRneE02202)(1)()()0(11111mswwmwswwssmRmRmgR0,)()(211mmRmgwswopt均方误差最小也就是上式的中间一项最小，所以数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2932 注意，这里的是因果的。对该式求单边z变换，得到0,)()(211mmRmgwswopt)(mg211)()(wswoptzRzG)()()(zBzGzHoptopt)()(211zBzRwsw所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2933 由式 因果的维纳滤波器的最小均方误差为： 上式可用z域来表示)()()(11zBzRzRswxs)()()(zBzGzHoptopt)()(211zBzRwsw)()(/ )(211zBzBzRwxsmin2)(neE022)(1)0(11mswwssmRRmswwssmumRR)()(1)0(2211min2)(neEcxsoptsszdzzRzHzRj)()()(211数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2934【例】已知如下信号，且与统计独立，其中的自相关序列为，是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳滤波器来估计，并求最小均方误差。 解：依题意，已知)()()(nwnsnx)(ns)(nw)(nsmssmR8 . 0)()(nw)(nsmssmR8 . 0)()()(mmRww0)(mRsw)()(mRmRssxs数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2935 步骤1)()()(mRmRmRwwssxx25. 18 . 0,)8 . 01)(8 . 01 ()5 . 01)(5 . 01 (6 . 11)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(111zzzzzzzzRxx)()()(121zBzBzRwxxzzzzB8 . 0 ,8 . 015 . 01)(1125. 1,8 . 015 . 01)(1zzzzB6 . 121w步骤2由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2936 步骤3利用式对括号里面求反变换，注意括号内的收敛域为，)(zHopt)()(/ )(211zBzBzRwxs)5 . 01)(8 . 01 (36. 0)5 . 01 (6 . 18 . 01111zzzz28 . 0 z)5 . 01)(8 . 01 (36. 011zzZ) 1() 2( 6 . 0)() 8 . 0( 6 . 0nununn取因果部分，也就是第一项，所以数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2937 步骤4最小均方误差为：118 . 0116 . 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 0zzz)(zHopt11115 . 018/3)8 . 01 (6 . 0)5 . 01 (6 . 18 . 01zzzz0,)5 . 0(375. 0)(nnhnmin2)(neEcxsoptsszdzzRzHzRj)()()(211cdzzzzzj)5 . 0)(25. 1)(8 . 0()5 . 0625. 0(45. 021375. 0)25. 15 . 0)(8 . 05 . 0() 5 . 05 . 0*625. 0(45. 0) 5 . 08 . 0)(25. 18 . 0() 5 . 08 . 0*625. 0(45. 0数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2938讨论维纳滤波器的频率响应讨论维纳滤波器的频率响应 sxssssoptxxxxssvvssoptssvvSzSzSzHzSzSzSzSzSHSS 0 01 0optvvoptssoptvvHSHSHS mimRihmRixxsx,数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2939维纳预测器 zH nw nv zB1 zG w n nx nsWhitening filterOptimum causal filter for white inputNs n预测，即使用当前及以往当前及以往的数据对未来未来数据进行估计如何使系统成为预测器而不是前面的滤波器？数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2940维纳预测器 zH nw nv nxerLinearFilt ns nyNns eNnMMSE is nx nh nh i x n i nsnsne 2minnE e nh nkkknxwNns e ( )()()Nkkns nNw x nk2Nk(n)=E e ( )minwn 预测滤波数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2941 设是物理可实现的，也即是因果序列：，则有 要使得均方误差最小，则将上式对各m0，1，求偏导，并且等于零，得：)(nh0, 0)(nnh当0)()()( )(mmnxmhNnsny202) )()()()(mmnxmhNnsEneE)(mh2 , 1 , 00)() )()()(20jjnxmnxmhNnsEmopt数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2942用相关函数R来表达上式： 由于，则z变换得0)()()()()(0jjnxmnxEmhjnxNnsEmopt0)()()(0jmjRmhjNRmxxoptxs)()(Nnsnyd)()()()(NmRNmnsnxEmRxsxyd)()(zRzzRxsNxyd)()(11zRzzRxsNxyd数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2943 因果的预测器的传递函数为： 最小均方误差为 上式可用z域来表示)(zHopt)()(/ )(211zBzBzRwxyd)()(/ )(211zBzBzRzwxsNmin2)(NneE022)(1)0(11mywwssmRRdmin2)(NneEcxyoptsszdzzRzHzRjd)()()(211cxsNoptsszdzzRzzHzRj)()()(211数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2944(1)因式分解（谱分解定理）因式分解（谱分解定理）(2)分解为因果部分和非因果部分分解为因果部分和非因果部分 111s xs xs xSzSzSzB zB zB z(3) 计算系统函数计算系统函数 21111G(z)=s xcSzHzB zB zB z(4) 计算冲激响应计算冲激响应: (inverse Z trans. ) 12zBzBzSxx(5) 计算最小均方误差计算最小均方误差 1min. .1 2s soptxsu cnSzHz Szz dzj ss1Nsss(m)(m+N)() ()(z)(m+N)z(z)xxxxxRRE s i m N xiSRS 计算步骤计算步骤数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2945 【例 】已知如下信号，且与统计独立，其中的自相关序列为，是方差为1的单位白噪声，试设计一个物理可实现的维纳预测器估计，并求最小均方误差。 解：依题意已知)()()(nwnsnx)(ns)(ns)(nw)(nwmssmR8 . 0)() 1( nsmssmR8 . 0)()()(mmRww0)(mRsw)()(mRmRssxs)()()(mRmRmRwwssxx数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2946 求z变换 由于，容易找到最小相位系统和白噪声方差25. 18 . 0,)8 . 01)(8 . 01 ()5 . 01)(5 . 01 (6 . 11)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(111zzzzzzzzRxx)()()(121zBzBzRwxxzzzzB8 . 0 ,8 . 015 . 01)(1125. 1,8 . 015 . 01)(1zzzzB6 . 121w数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2947 由N1， 对括号里面求z反变换，注意括号内的收敛域为，)(zHopt)()(/ )(211zBzBzzRwxs)()(/ )(211zBzBzzRwss)5 . 01)(8 . 01 (36. 0)5 . 01 (6 . 18 . 01111zzzzz28 . 0 z)5 . 01)(8 . 01 (36. 011zzzZ) 1()2(2 . 1)()8 . 0(48. 0nununn数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2948 取因果部分，也就是第一项，所以把上式写成差分方程形式有：最小均方误差为：118 . 01148. 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 0zzzz)(zHopt11115 . 013 . 0)8 . 01 (48. 0)5 . 01 (6 . 18 . 01zzzz0,)5 . 0(3 . 0)(nnhn)( 5 . 0)(3 . 0) 1( nsnxnsmin2)(neEcdzzzj6 . 0)8 . 01)(5 . 0(36. 021数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2949讨论 一个对于高斯信号的线性最小均方误差估计 当下面条件满足时没有估计失真：信号和噪声的频谱可以被一个线性滤波器分开观察/测试信号是真实信号s(n)的线性变换滤波器长度足够大。Wiener Filters数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2950小结 估计与滤波 最小二乘估计 线性最小方差估计 维纳滤波数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2951第3章 Kalman滤波基本理论 概述 基本理论介绍数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/29523.1 概述在20世纪40年代，维纳为了解决火力控制系统精确跟踪问题，采用了单变量线性最小均方误差估计的方法，成功地解决了被处理信号是平稳和一维时的问题，被称维纳滤波理论维纳滤波理论（或WienerHopf滤波理论）。但是由于它采用频谱分析的方法，求解较复杂，不便于实时处理，不能随观测时间的增加而适应新的情况，不适用向量和非平稳随机过程的滤波，所以在实用上受到了很大的限制。20世纪50年代中期，由于空间技术的发展，大量的多维、非线性、非平稳随机过程的估值问题迫切需要解决，这时的维纳滤波已经无法满足。同时，电子计算机的出现和现代控制理论的兴起，为卡尔曼滤波的诞生创造了条件。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/29531960年，美籍匈牙利数学家卡尔曼（R.E.Kalman）首先把状态空间分析法引入到滤波中，对状态和噪声进行了统一描述，从而在时域上得到了新的递推滤波算法。这就是卡尔曼滤波算法，它是一套计算机软件，借助电子学中滤波器件的传统叫法，又称为卡尔曼滤波器。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2954 卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。 如果对这篇论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2955 线性最小方差估计的局限性： 要求获得被估计量与量测量的一、二阶矩 数据集中处理导致的计算量随观测时间而加重 不适用于非平稳过程 R.E. Kalman (1960)提出Kalman滤波，是一种线性最小方差估计。 成功的应用于飞行、潜艇导航及导弹的弹道计算等，如美国1969年的APPOLO登月宇航飞行，C-5A飞机导航系统的设计等。 广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2956对系统值进行估计的问题可以分为两类，一类是经典估计经典估计，也可称为参数估计或静态估计参数估计或静态估计，其特点是依据量测方程由量测数据来估计系统的参数或状态。经典估计本质上属于概率论和数理统计理论的一个分支。另一类是现代估计现代估计，也可称为状态估计状态估计，其特点是依据动态的状态方程和量测方程，由量测数据来估计系统的状态。卡尔曼滤波属于现代估计，本质上也是一种动态估计，它是现代控制理论、计算机技术与概率论数理统计相结合的产物，是现代控制理论的一个重要分支。它的新奇之处在于，把现代控制理论中描述动态系统内部规律的状态方程，与静态估计的方法有机的结合起来，找到了一套特别适合电子计算机处理的递推算法。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2957数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2958卡尔曼滤波特点 采用递推算法采用递推算法: 每次运算，只要求前一时刻的估计数据和当前的量测数据，不必存储历史数据，大大减少了对计算机的要求。 引入状态空间法引入状态空间法: 状态转移矩阵来描述实际的动态系统，因此适用范围大为扩展，在许多工程领域中都可使用； 适用于多维随机过程适用于多维随机过程:系统可为线性或非线性、时变、多输入多输出。 适用于平稳过程和非平稳过程适用于平稳过程和非平稳过程。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/29593.2 预备知识 基本概念 白噪声与有色噪声 状态空间模型 连续系统模型离散化数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2960（1）基本概念 不相关（Uncorrelated） 功率谱密度数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2961不相关（Uncorrelated）数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2962功率谱密度若随机过程自相关函数为：则其功率谱密度定义为：逆变换为数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2963线性系统线性定常系统功率谱密度数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2964（2）白噪声与有色噪声数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2965白噪声若随机过程(t)满足：)()()()(0)(tRtqwtwEtwEwT则随机过程(t)称为白噪声过程。可以看出，白噪声的均值和自相关函数与时间间隔（t-）有关，而与时间t无关，所以w(t)是平稳过程。自相关函数qde )(q)(RF)(Sjww数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2966功率谱：在整个频率区间内均为常值，且与方差强度相等。qde )(q)(RF)(Sjww数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2967若随机序列满足：白噪声序列kjTkkkQWWEWE 0则该序列称为白噪声序列。数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2968高斯分布（Gaussian Distribution ）数据融合技术数据融合技术 - 鲍其莲鲍其莲-2012/2/2969有色噪声凡是不满足的噪声均称为有色噪声。 有色噪声可看作某一动力学系统在白色噪声驱
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