《微积分基本定理》教案(新人教选修2-2).1

1、普通高中课程标准实验教科书数学 选修 2-2人教版 A1.4.2 微积分基本定理教学目标：了解牛顿 -莱布尼兹公式教学重点：牛顿 -莱布尼兹公式教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分 ,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t), 速度为 v(t) （ v(t) o ），T1 ,T2 内经过的路程可用速度函数表示为T2则物体在时间间隔v(t )dt 。T1另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（

2、 t）在 T1 , T2 上的增量 S(T1 )S(T2 ) 来表达，即T2v(t )dt = S(T1 ) S(T2 )T1且 S (t )v(t) 。对于一般函数f (x) ，设 F( x)f ( x) ，是否也有bF(b) F(a)f ( x) d xa若上式成立，我们就找到了用f ( x) 的原函数 （即满足F ( x) f ( x)）的数值差F (b) F (a) 来计算 f ( x) 在 a, b 上的定积分的方法。定理如果函数 F (x) 是 a,b 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数，则bF (b)F (a)f ( x)dxa( x) =x( )与 F ( x) 都是

3、 f ( x) 的原函数，故证明：因为ft dtaF ( x) - ( x) =C（ ax b ）其中 C 为某一常数。令 xa 得 F (a) - (a) =C，且a(a) = f (t)dt =0a即有 C= F (a) ，故 F ( x) =(x) + F ( a)( x) = F ( x) - F (a) =xf (t )dta令 xbf ( x)dxF (b)F (a)b ，有a为了方便起见，还常用F ( x) |ab 表示 F (b)F (a) ，即bF (x) |abF (b)F (a)f ( x)dxa该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方

4、法， 把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。1例1计算x2 dx0解：由于 1 x3 是 x2 的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有312 d x=1 x3 |10 =1 131 03 = 1x03333例 22xdx求0 1 x2解 因为xdx1d ( x2 )2d (1 x2 )=12(1x2 ) 21C(1 x2 )21C1 x221 x221 x22x有一个原函数为 (11即(11 25 1x2 ) 2 ，所以x2 ) 21 x202xdx = (11210x2 ) 251x20例 3 汽车以每小时32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8 米/秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解 :首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度 v0 =32公里 /小时=321000 米 /秒8.88米 /秒 ,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)= v0 at=8.88-1.8t 当汽3600车停住时 ,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= 8.884.93 秒1.8于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.934.9314.93s(8.88 1.8t) dt = (8.88 1.8t 2 )21.90 米,即在刹车后 ,汽v(t)dt00