(最新整理)线性代数期末考试试卷+答案合集

1、(完整)线性代数期末考试试卷+答案合集(完整)线性代数期末考试试卷+答案合集 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)线性代数期末考试试卷+答案合集）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)线性代数期末考试试卷+答案合集的全部内容。标准文案大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横

2、线上。每小题2分,共10分）1。 若，则_.2若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。 3已知矩阵,满足,则与分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 .5阶方阵满足,则 。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题2分,共10分)1. 若行列式中每个元素都大于零，则。( ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组中，如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。（ ）4. ,则。（ )5。 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )三、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分） 1. 设为阶矩阵，且，则（

3、 ）. 42. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ ）。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 下列命题中正确的是（ ）. 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 若,均可逆，则可逆 若，均可逆，则 可逆 若可逆,则 可逆 若可逆,则 ,均可逆5。 若是线性方程组的基础解系,则是的（ ） 解向量 基础解系 通解 a的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分）1。 计算行列式。解2。 设，且 求。解。

4、 ，3。 设 且矩阵满足关系式 求.4。 问取何值时，下列向量组线性相关？。5。 为何值时,线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时,方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设,求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若是阶方阵,且 证明 .其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1。 5 2。 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. 2。 3. 4。 5. 三、单项选择题1。 2. 3。 4。 5。 四、计算题1。 2. ，3. 4.

5、当或时，向量组线性相关。5。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时,有无穷多组解，通解为6。 则 ，其中构成极大无关组,7。 特征值，对于11，特征向量为五、证明题， 一、选择题（本题共4小题,每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ )（a）或； (b)； (c）或; （d）。2、和均为阶矩阵,且，则必有（ ）（a) ; （b)； （c) 。 （d) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）(a) 的列向量线性无关； （b) 的列向量线性相关；（c） 的行向量线性无关； （d） 的行向量线性相关。4、 阶矩

6、阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）（a) 的秩小于; （b） ；（c） 的特征值都等于零； （d） 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是a的伴随矩阵，则= 。6、为阶矩阵，且,则 。7、已知方程组无解，则 。8、二次型是正定的，则的取值范围是 。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题(本题共2小题,每小题8分，满分16分.写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明:（1) 能有线性表出；（2） 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵,可逆，且。证明(1） ；（2）

7、 。 五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解.解答和评分标准一、选择题1、c； 2、d； 3、a； 4、a。二、填空题5、125; 6、； 7、1； 8、.三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： （4分）按第一行展开得按第三列展开得。 (4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式

8、（4分） （4分）四、证明题11、证明:（1）、 因为线性无关，所以线性无关。,又线性相关，故能由线性表出. （4分），(2）、（反正法）若不，则能由线性表出,不妨设.由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。 12、证明 （1） （4分)（2）由（1)得：,代入上式得 （4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，。 （4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。 （3分）（3)因为特征值不相等,则正交。 （2分）(4）将单位化得，, (2分)(5）取（6） （1分)14、解:该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成

9、，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）另一方面，记向量，则直接计算得,就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为,。 (7分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组： 若此非齐次线性方程组有解， 则与有公共解， 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: 。 (4分）1当时，有，方程组有解， 即与有公共解， 其全部公共解即为的通解,此时，则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ，所以与的全部公共解为，k为任意常数。 (4分)2 当时,有，方程组有唯一解, 此时，故方程组的解为：， 即与有唯一公共解。 （4分）线性代数习题和答案第一部分 选择题

10、(共28分）一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。1.设行列式=m,=n，则行列式等于( ） a. m+nb。 -(m+n） c. n-md。 m-n2.设矩阵a=，则a1等于（ ） a。 b. c。 d。 3.设矩阵a=,a*是a的伴随矩阵，则a *中位于（1，2）的元素是（ ） a。 6b。 6 c. 2d。 24。设a是方阵，如有矩阵关系式ab=ac，则必有（ ） a。 a =0b. bc时a=0 c. a0时b=cd. |a0时b=c5.已知34矩阵a的行向量组线性无关,

11、则秩(at）等于（ ） a。 1b。 2 c. 3d. 46。设两个向量组1,2,，s和1，2，,s均线性相关，则（ ） a.有不全为0的数1，2,，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 b.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 c.有不全为0的数1，2，s使1（11）+2(2-2）+s（s-s）=0 d.有不全为0的数1,2，s和不全为0的数1,2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵a的秩为r，则a中（ ） a。所有r-1阶子式都不为0b。所有r1阶子式全为0 c。至少有一个r阶子式不等于0d。所有r阶子式都不为08.设ax=

12、b是一非齐次线性方程组,1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） a。1+2是ax=0的一个解b.1+2是ax=b的一个解 c。12是ax=0的一个解d.21-2是ax=b的一个解9。设n阶方阵a不可逆,则必有（ ) a.秩（a)nb。秩(a）=n1 c.a=0d。方程组ax=0只有零解10。设a是一个n（3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） a。如存在数和向量使a=，则是a的属于特征值的特征向量 b.如存在数和非零向量，使(e-a)=0,则是a的特征值 c。a的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 d.如1，2，3是a的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是a的属于1,2，3的特征向量

13、，则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵a的特征方程的3重根，a的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（ ） a。 k3b。 k3 c. k=3d。 k312.设a是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） a。a|2必为1b.|a|必为1 c.a1=atd。a的行（列）向量组是正交单位向量组13。设a是实对称矩阵,c是实可逆矩阵，b=ctac。则（ ） a。a与b相似 b. a与b不等价 c. a与b有相同的特征值 d。 a与b合同14。下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） a.b. c.d.第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正

14、确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15。 。16.设a=，b=。则a+2b= .17.设a=(aij)33,a|=2,aij表示|a中元素aij的代数余子式(i，j=1,2,3)，则（a11a21+a12a22+a13a23）2+（a21a21+a22a22+a23a23）2+（a31a21+a32a22+a33a23)2= 。18.设向量（2，3，5）与向量（4，6，a)线性相关，则a= 。19。设a是34矩阵，其秩为3，若1,2为非齐次线性方程组ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设a是mn矩阵，a的秩为r（n)，则齐次线性方程组ax=0的一个基础解系中含有解的个数为

15、 .21.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与的内积（+，-）= .22.设3阶矩阵a的行列式a=8，已知a有2个特征值-1和4，则另一特征值为 。23。设矩阵a=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 。24.设实二次型f(x1，x2，x3,x4，x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。设a=，b=.求（1)abt;（2）|4a|.26.试计算行列式.27.设矩阵a=,求矩阵b使其满足矩阵方程ab=a+2b。28.给定向量组1=，2=,3=,4=.试判断4是否为1,2，3的线性组合；若是,则求出组合系数。29。设矩阵a

16、=。求：（1）秩（a）；（2）a的列向量组的一个最大线性无关组.30.设矩阵a=的全部特征值为1,1和-8。求正交矩阵t和对角矩阵d，使t-1at=d.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1，x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题,每小题5分，共10分)32。设方阵a满足a3=0，试证明e-a可逆，且（e-a）-1=e+a+a2.33.设0是非齐次线性方程组ax=b的一个特解，1,2是其导出组ax=0的一个基础解系。试证明（1)1=0+1，2=0+2均是ax=b的解； （2）0,1，2线性无关.答案:一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,共28分)

17、1.d2.b3。b4。d5.c6。d7。c8.a9。a10。b11。a12.b13。d14。c二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 6 16。 17. 4 18. 10 19. 1+c（2-1）（或2+c(21)），c为任意常数20。 n-r 21。 5 22. 2 23. 1 24. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25。解（1)abt=。（2）4a|=43|a|=64a，而|a|=。 所以4a|=64（2)=12826.解 =27.解 ab=a+2b即（a-2e）b=a,而（a2e)1=所以 b=(a2e）-1a=28。解一 所以4=21+2+3，组合系

18、数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）t，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵a施行初等行变换a=b。（1）秩（b)=3，所以秩（a)=秩（b）=3。（2)由于a与b的列向量组有相同的线性关系,而b是阶梯形，b的第1、2、4列是b的列向量组的一个最大线性无关组，故a的第1、2、4列是a的列向量组的一个最大线性无关组。（a的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)30。解 a的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=(2，1，0)t， 2=（2,0，1）t. 经正交标准化，得1=，2=.=8的一个特征向量为 3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 t=. 对角矩阵 d=（也可取t=。）31.解 f（x1，x2，x3）=（x1+2x22x3）22x22+4x2x37x32=(x1+2x2-2x3)22（x2x3)2-5x32.设，即，因其系数矩阵c=可逆，故此线性变换满秩.经此变换即得f(x1,x2,x3）的