2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第66讲古典概型和几何概型概率的解法

1、第 66 讲 古典概型和几何概型概率的解法【知识要点】一、古典概型（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型 .（2）特点：试验结果的有限性 所有结果的等可能性（3）古典概型的解题步骤求出试验的总的基本事件数 n ；求出事件 A 所包含的基本事件数 m ；代公式P( A)=A包含的基本事件数总的基本事件个数mn.（4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：任何两个基本事件都是互斥的；任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外） .二、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与

2、构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型 .（2）特点：试验结果的无限性 每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 A构成的区域长度（角度、弧长等） ，最后代公式P(A) =构成事件A的 区域 长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或

3、体积代公式 .（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答 . 一般与线性规划知识有联系 .三、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式 .【方法讲评】方法一 古典概型概率使用情景 概率具有以下两个特点：试验结果的有限性 所有结果的等可能性求出试验的总的基本事件数 n ；求出事件 A 所包含的基本事件数 m ； 解题步骤代公式 P( A) =A包含的基本事件数总的基本事件个数mn【例 1】一个袋子里装有 6 个球，其中有红球 4 个，编号均为 1，白球 2 个，编号分别为 2，3（假设取到任何一个球的可

4、能性相同）（1）现依次不放回地任取出两个球，求在第一个球是红球的情况下，第二个球也是红球的概率；（2）现甲从袋中任取两个球，记其两球编号之和为 m ，待甲将球放回袋中后，乙再从袋中任取两个球，记其两球编号之和为 n ，求 m n 的概率【点评】（1）利用古典概型概率公式求概率时，求试验的基本事件和事件 A的基本事件的个数，文科生必须利用树状图、表格、集合等形式把事件列举出来，格式要规范 . 理科生可以利用排列组合的知识求基本事件的个数 . （2）列举基本事件时，注意找规律，要不重不漏 .【例 2】设关于 x 的一元二次方程2 2 2 0x ax b （1）若 a,b 都是从集合 1,2,3,4

5、 中任取的数字，求方程无实根的概率；（2）若 a 是从区间 0,4 中任取的数字， b是从区间 1,4 中任取的数字，求方程有实根的概率2（2）设事件 B =“方程有实根”，记 (a,b) 为取到的一种组合 a 是从区间 0,4 中任取的数字， b 是从区间 1,4 中任取的数字，点 (a,b)所在区域是长为 4，宽为 3 的矩形区域又满足 a b的点的区域是如图所示的阴影部分123 3 3P( B) .3 4 83方程有实根的概率是 8【点评】（1）列举基本事件时，注意找规律，要不重不漏 . （2）学会把事件进行转化得更具体，如事件“函数 y f (x) 有零点”等价于“20,即b 4a ”

6、.(3) 注意会辨别古典概型和几何概型，本题的第二小问是几何概型，容易当成古典概型，所以一定要把古典概型和几何概型的特征理解清楚 .【反馈检测 1】某市公租房的房源位于 A, B,C 三个片区 , 设每位申请人只申请其中一个片区的房源 ,且申请其中任一个片区的房源是等可能的 , 求该市的任意 4 位申请人中：3（1）恰有 2 人申请 A片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数 的分布列和期望方法二 几何概型概率使用情景 概率具有以下两个特点：试验结果的无限性 所有结果的等可能性首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题

7、，与三个变量有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 A构成的区域长度（角度、弧长等） ，最后代解题步骤公式P(A) =构成事件A的 区域 长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式 .【例 3】（1）在面积为 S的 ABC的边 AB 上任意取一点 P ，求 PBC的面积大于S4的概率 .（2）在面积为 S的 ABC的内部任意取一点 P ，求 PBC的面积大于S4的概率 .（3） 在体积为 V 的三棱锥 O ABC的内部任意

8、取一点 P ，求三棱锥 P ABC的体积大于V4的概率 .(3) 如图三所示，试验的全部基本事件构成的区域为三棱锥 O ABC , 事件 A “三棱锥 P ABC的体积大于V4”的基本事件构成的区域为三棱锥 O DEF , 根据几何概型的概率公式得PVO DEFVO ABC3 273( )4 644OA FAED AD PP B CC C BB图三图一 图二【点评】（1）求几何概型概率，一般先要求出试验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件 A构成的区域长度 （面积或体积） ，最后再代入几何概型的概率公式求解 .（2）求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件 A”, 这样才能找

9、准基本事件构成的区域长度（面积或体积） .【例 4】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为 1 小时，乙船停泊时间为 2 小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率A为图中阴影部分， 为边长是 24的正方形，所求概率2 21 1（ ） （ ）24 1 2 24 2 2 1013A的面积P( A) =2的面积24 1152【点评】（1）类似这种双变量的面积型几何概型概率，一般要先设出这两个变量，然后把试验和事件 A5利用集合表示出来，再把事件对应的区域利用所学的知识作出来，最后代入几何概型概率公式求解 . （2）与三

10、变量有关的问题，一般要建立空间直角坐标系，几何概型概率这时等于区域的体积比 .【反馈检测 2】如图，已知 AB 是半圆 O的直径， AB 8，M ,N, P 是将半圆圆周四等分的三个分点（1）从 A, B,M ,N,P 这 5 个点中任取 3 个点，求这 3 个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点 S，求 SAB的面积大于 8 2 的概率6高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 66 讲:古典概型和几何概型概率的解法参考答案【反馈检测 1 答案】（1）827；（2）分布列见解析， 65E( ) . 27所以 的分布列为1 2 3P127142749 1 14 4 65E( ) 1 2 3 . 27 27 9 27【反馈检测 2 答案】（1）310；（2）22.【反馈检测 2 详细解析】（1）从 A, B,M ,N, P 这5个点中任取