“代换思想”在中学数学中的应用

1、 “代换思想”在中学数学中的应用目 录摘 要1ABSTRACT 1第一章 绪论2第二章 代换思想的分类以及各种代换解题的介绍3（一） 整体代换31 整体代换在求值中的应用32 整体代换在化简中的应用43 整体代换在证明中的应用44 整体代换在应用题中的应用45 整体代换在求最值中的应用56 整体代换在几何中的应用6（二） 部分代换整体6（三） 三角代换61 根据平方关系确定三角代换72 根据相似性确定三角代换73 根据三角函数的值域确定三角代换84 根据三角函数的定义确定三角代换85 联想参数方程确定三角代换96 联想三角形中边角关系确定三角代换9（四） 换元代换101 一元代换102 多元代

2、换10（五） 和差代换11（六） 均值代换11（七） 常值代换121 “1”的代换122 特殊值的代换13（八） 倒数代换14（九） 逆向代换141 逆向代换在证明中的应用142 逆向代换在求值中的应用153 逆向代换在求最值中的应用15（十） 等积代换151 利用面积相等代换162 利用体积相等代换163 利用乘积相等代换17结 论18参考文献18“代换思想”在中学数学中的应用摘 要：代换有着替代，更换的意思。在三国时代曹冲称象就用到了代换的思想。代换法也称“等量代换”，是常用的一种数学思考方法。通过适当的变化， 用一种量替换另一种量，使数量关系简单化、明朗化，从而寻求到解题途径。这种方法没

3、有固定的模式可循，往往需要视问题的具体情况而选择适当代换，应用十分灵活。在中学数学中有着整体代换，部分代换整体，三角代换，和差代换，均值代换，等积代换，常值代换，换元代换，倒数代换，逆向代换等几种代换思想。这几种“代换思想”在初等数学中的应用十分广泛，在代数和几何中都有相应的应用。到目前为止，“代换思想”在数学中没有很好的的被慨括起来，本文就针对“代换思想”在初等数学中的应用作简要的介绍。关键词：代换;初等数学;数学代换;数学应用Substitution thinking in elementary mathematics applications Abstract：Substitution

4、with an alternative, replacement of the meaning. Three Kingdoms era Cao Chong said the elephant used to the idea of substitution. Substitution method is also known as equivalent substitution is commonly used in a mathematical way of thinking. Through appropriate changes, replaced with a measure of a

5、nother amount, the number of relations simplified, clarified, and thus seek to problem-solving way. This method is no fixed pattern to follow, and often require the specific circumstances of the problem and select the appropriate substitution, the application is very flexible overall substitution in

6、 secondary school mathematics, some substitution as a whole, trigonometric substitution, and differential substitution mean substitution, product substitution, constant substitution, for the change in the Yuan Dynasty, the reciprocal of substitution, the reverse substitution of several substitution

7、thinking these types of substitution ideology is widely used in elementary mathematics, algebra has a corresponding application and geometry. So far, the substitution ideas in mathematics, goods been generous enclosed in this paper for the substitution of thought in the Elementary Mathematics brief

8、introduction.Key words： Substitution Elementary Mathematics Mathematical substitution Mathematical application第一章 绪 论随着数学新课程标准的改革，现在逐步转向考查学生的数学应用价值、文化价值，考查发现和提出问题、分析和解决问题的能力；增强了对应用意识、解决简单实际问题的能力的考查力度。而解题技巧属于数学的应用价值，同时解题技巧也属于特殊能力。解题技巧在本质上是调节解题活动的个体心理特性，是人类有机体与环境相互作用的过程中，通过主体能力的反映活动，在头脑里构建起来的心理形成物。因而，

9、解题技巧是可以培养和不断提高的。在初等数学中“代换思想”是一种巧妙的解题技巧，如果运用得当，会达到意想不到的效果。“代换思想”最主要的是“等量代换”,是常用的一种数学思考方法，通过适当的变化, 用一种量替换另一种量, 使数量关系简单化、明朗化, 从而寻求到解题途径。它是代数数学思想方法的基础，在代数和几何中都有相应的应用。“等量代换”最早出现是在人教版数学三年级下册第九单元“数学广角”的例2, 其教学目的是让学生体会“等量代换”的数学思想方法, 为以后学习简单的代数知识做准备。在随后的初中，高中的学习中应用十分广泛。代换法有很多种，大致归纳起来有整体代换，部分代换整体，三角代换，和差代换，均值

10、代换，等积代换，常值代换，换元代换，倒数代换，逆向代换这十中常见的代换法。当然，也有其余的代换法，只是在解题的过程中应用的不多，在这里就不一一介绍了。本文就针对这十种代换法在解题中的应用作了简要的介绍，希望能对大家的解题技巧有所帮助。第二章 代换思想的分类以及各种代换解题的介绍 （一） 整体代换所谓“整体代换”, 就是把某个数学式子用一个新的量代换, 依此出发。整体思想它能使数学问题化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性。其主要表现形式有整体联想、整体构造、整体运用、整体代换、化零为整等。题型涉及中考、竞赛等各类考试。因而整体思想是学习数学必备的思想方法。1.整体代换在求值中

11、的应用例1 已知代数式的值为8，则的值为（ ）。(A)1 （B）2 (C)3 （D）4分析：在这里，我们没有将中的值解出，而是将转化为,将整体代换到里面。这样就避免了算值所带来的计算困难，使问题简化。解 因为 ，所以 则故选（B）。例2 已知求代数式的值。分析：若直接求的值再代入求值，太复杂。从结论入手寻找突破口，再整体代入可起到化繁为简的效果。解 2.代换在化简中的应用例3 化简：。 分析：直接运算，计算量较大。不妨把和看成一体再化简。 解 设,，则，所以原式。3.整体代换在证明中的应用例4 已知，求证：。 证明 因为，左边 右边所以等式成立。总结：用这个整体进行代换。4.整体代换在应用题中

12、的应用例5 甲乙两货车分别自两地同时相向开出, 经过2小时相遇, 甲乙两货车分别到达后, 各需卸车半小时再往回返，试求甲乙两货车第二次相遇时, 从原出发时起共经过多少小时？ 解 我们从整体考虑本题，甲乙两货车自开始到第二次相遇, 共走之间的三个单程, 而甲乙两货车合走一个单程需2个小时, 所以共需时间是（小时）总结：如想分别求出甲乙两货车各走的路程, 再计算时间将碰到很大困难, 而抓住三个单程的整体不变量, 这就使解题简洁。5.整体代换在求最值中的应用 例6 已知都为正数，求的最小值。分析：把已知式子作为整体代入，然后再用基本不等式求其最值。解 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4。拓展：（

13、1）若题中条件不变，求的最小值改为求的最小值，结果将如何？解 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为。（2）已知都为正数，都为正常数，且，求的最值。解 =，当且仅当时等号成立，故的最小值为。总结：只要所求形式为的线性和，都可以用此方法把已知式子作为整体代入，然后再用基本不等式求其最值。6.整体代换在几何中的应用例7 已知直角三角形的周长为,斜边上的中线为,求该三角形的面积。解 设直角三角形两直角边为x和y，则 有（3）（2）得所以。总结：设而不求的值，直接求的整体值, 从而使解题简洁、明快。（二）部分代换整体在进行式的变形如因式分解和解方程时经常要设法转化为基本类型。对于项数较多的代数式, 根

14、据代数式的结构特征, 部分代换整体是一种好方法。例8 设实系数方程无实数根且各根的模均不为1, 求的取值范围。解 由方程系数的对称性知其为倒数方程。不可能是原方程的根，故原方程可化为。即令，得： 根据题意, 为虚数且模不为1 , 则必为虚数, 即上述方程也无实根, 从而解得。（三）三角代换三角函数具有许多优秀的性质。因此在数学解题中,特别是在初等数学解题中,若题目的已知条件和所求解的结论间蕴含着某种数量关系,而这种数量关系可以用三角函数表达出来,则可以把题目中相关的量或相关的“代数式”表为三角函数,而把原问题转化为三角函数问题来解决,这种解题方法叫“三角代换”。“三角代换”是初等数学解题中的一

15、种常用技巧,这种技巧在解决一些运算复杂、解题思路疑难的问题时常常能起到事半功倍、豁然开朗的效果。1根据平方关系确定三角代换 三角函数平方关系: 。从形式上考查, 当题目的条件或结论含有下列形式的等式或代数式:时，这与同角三角函数的平方关系 ，是基本一致或相似的，所以可以考虑作三角代换：，,。例9 已知：，求证。分析：题目的已知中含有，这是标准的“三角函数平方关系”,所以可以作如下的三角代换:令则。解 令，则，由半角公式，得：，即：。例10 求函数的值域。 分析：初从形式看函数右边不具有同角三角函数的平方关系, 但是，因此函数右边隐含着“三角函数平方关系”，所以仍然可以作三角代换。解 设，则。所

16、以函数，因为，所以所以函数的值域是2根据相似性确定三角代换有些代数不等式证明题中的代数结构和某些三角函数关系极为相似，可根据这一相似性确定三角代换。例11 已知：，且，求证：。 证明 左端各项的结构均和三角关系的右端相似，因此可设，代入题设的左端，并根据得，根据均值不等式有以上各式相乘得，所以。3根据三角函数的值域确定三角代换正余弦函数是值域为的有界函数，正余割的值域是，正余切是无界函数。若代数式中的字母的取值范围属于上面三个中的一个，则可以考虑作相应的代换。例12 设，求证：。证明 ，联想，因此可设，则左端4根据三角函数的定义确定三角代换由于任何一对有序数组都和直角坐标系中一点相对应，而由三

17、角函数的定义，这对实数又可表示为，因此有些代数不等式的证明又可以根据三角函数的定义确定三角代换。例13 设，求证：。证明 把看为直角坐标系内终边上一点，因为，所以设，则。5联想参数方程确定三角代换对于圆或圆锥曲线的方程可联想参数方程确定三角代换。例14 已知实数满足，求证：。证明 将变形为，可设，则，所以。6联想三角形中边角关系确定三角代换 直角三角形的一个锐角的六种三角函数能沟通任意两边的关系。正余弦定理反应了斜边三角形的边角关系，因此遇有三角形中边的不等关系的证明，可以联想边角关系，用角的三角函数代换边，即使不是三角形中的问题，也可以根据式子的特殊性构造三角形，然后再进行三角代换。例15

18、在中，求证：。 分析：联想到正弦定理，将转化为两角正弦的和。证明 总结：26都是代数不等式的证明，当代数不等式的证明很难下手时，若能考虑进行三角代换，将代数不等式转化为三角不等式，进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证，往往起到化难为易，事半功倍的效果。（四）换元代换换元是数学解题中常用的一种转化策略, 其实质是通过变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 使问题达到化难为易, 化繁就简之目的。1 .一元代换 例16 解方程。 解 方程变形为，令则，于是方程又可化为。解得 ，从而得到 ，即 。 所以，故原方程的解为。2 .多元代换 例17 已知，求证。证明 令，于是问题转化为在

19、条件下，证明成立。因为 ，所以 由此 即。总结：本例通过多元代换 将一个看似复杂的问题转化成一个结构十分简洁的形式, 从而易于发现问题的本质, 有利于问题的解决。（五）和差代换对于任意两个实数，总存在实数使得，这就是和差代换。例18 求的值。解 设则 所以 原式=。（六）均值代换对于已知条件为的等式，可设来代换，且,这种代换称为均值代换。例19 设。 证明 由，可设，其中则 当且仅当所以 。（七）常值代换1.“1”的代换“1”的代换涉及面广, 有同角三角函数之间的平方关系、倒数关系、商的关系等 。(1).“1”的代换用于等式或不等式的证明例20 已知。证明 因为 所以 即 由条件等式进行代换，

20、得：所以 而 所以 成立。（2）.“1”的代换用于多元函数求最值除了“天然”恒为1 的式子，题目有时会给出恒为1 的式子作为条件，对此要善加利用。例21 若且，求函数的最小值。解 ，。（3）.“1”的代换用于向量处理例22 设空间任意一点和不共线三点若点满足向量关，试问：四点共面吗？解 由，可得则所以即由三点不共线，可知不共线，所以公面且具有公共起点，从而四点共面。（4）.“1”的代换用于直线方程的确定 例23 过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，求直线 的方程。解 由于直线过点，可设其方程为，则所以则又，故方程两边可以同时除以，得，故是关于 的方程的两根，所以，故直线的方程为，即。2

21、 .特殊值的代换例24 若，求证。 证明 ， 且 即 。（八）倒数代换 若，则有。例25 解方程：。 解 方程左端变形为互为倒数的两数之和, 即，由倒数关系代换：若，则，所以 ，若，则，所以 ，故原方程的三个根是，。（九）逆向代换逆代就是逆向代换，它是一种逆向思考问题的方法解多元问题的过程往往是消元简化的过程，通常是消变元而忽视消常量，然而有时候若能根据题设条件的特点，消掉常量或是逆向代换：用变量代换常量，起到意想不到的效果。1.逆向代换在证明中的应用例26 锐角中,。证明 。点评：证法如此简洁明快!其关键就是用变量代换了常数，再利用三角变换(得到了角A,B的正弦，余弦的二次齐次式)，达到目标

22、。2.逆向代换在求值中的应用例27 已知解 。点评：本题可先解方程组求出，再求之值，但不如逆代简便。3.逆向代换在求最值中的应用 例28 解 ，又关于轮换对称， ，当且仅当时取等号，故的最小值是8。点评：本解法关键是逆代变形得到了，再根据原式轮换对称的特点，求得最小值。（十）等积代换等积代换有三种，分别是指：面积相等，体积相等，乘积相等在解题时如能恰当地运用这三种等积代换，可以帮助我们发现解决问题的“蹊径”。1.用面积相等例29 从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线段，三条垂线段长的和为( )。 分析：虽然这个点在等边三角形内的位置不确定，但是它与三个顶点的连线可将等边三角形分成三个小

23、三角形，故这三个小三角形面积的和等于原等边三角形的面积。 如图，是等边三角形内一点，连接，作。在 ， 所以应选。例30 如图（左），两个半圆中长为4的弦与直径平行且与小圆相切，那么图中阴影部分的面积等于。分析：将小圆沿平行移动，使其与大圆同心，如图(右)，显然，左图中的阴影面积等于右图中(半圆环)的阴影面积。 解 设与小圆相切于点，连结。则，所以图中阴影部分的面积等于。2. 利用体积相等例31 一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_（取，结果保留两位有效数字）。分析：保鲜膜原来的形状可以看成长方体，圆筒状时可以看成圆

24、柱体形状虽然改变，但体积不变。解 设这种保鲜膜的厚度为，根据题意，解得，所以这种保鲜膜的厚度约为。例32 一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为( )。(圆柱体的体积等于底面积乘以高，瓶底厚度不计)A5：11 B1：2 C6：11 D5：6分析：虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部分可视为圆圆柱体，由于瓶子的容积瓶不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替。解 设瓶的底面积为，则左图= ，右图=， =+=， :=，所以应选。3 .利用乘积相等例33 以长为的定线段为边作正方形，取的中点，连结，在的延长线上