12.2 全等三角形的判定PPT教学课件

1、人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（SSS）,1,掌握“边边边”公理，并熟练运用它证明两个三角形全等； 能运用“边边边”公理解决简单的实际问题； 经历探索三角形全等过程。,学习目标,2,知识回顾,1. 什么叫全等三角形？,能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。,2.全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等,3,知识回顾,即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。,六个条件，可得到什么结论？,4,一个条件可以吗？,有一条边相等的两个三角形,不一定全等,探究活动,2. 有一个角相等的两个三角形,不一定全等,结论：,有一个条件相等不能保证

2、两个三角形全等.,5,有两个条件对应相等不能保证三角形全等.,不一定全等,有两个角对应相等的两个三角形,两个条件可以吗？,3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形,2. 有两条边对应相等的两个三角形,不一定全等,不一定全等,结论：,探究活动,6,两个条件 两角； 两边； 一边一角。,结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。,一个条件 一角； 一边；,你能得到什么结论吗？,7,三个条件呢？,探究活动,三个角；,2. 三条边；,3. 两边一角；,4. 两角一边。,如果给出三个条件画三角形， 你能说出有哪几种可能的情况？,8,结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。,探

3、究活动,有三个角对应相等的两个三角形,三个条件呢？,9,若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？,画一个三角形，使它的三边长分别为4cm,5cm,7cm.,三边对应相等的两个三角形会全等吗？,画法：,1. 画线段AB=4cm；,2. 分别以A、B为圆心，5cm、 7cm 长为半径作圆弧，交于点C；,3. 连结AB、AC；,ABC就是所求的三角形.,动手试一试,探究活动,10,三边相等的两个三角形会全等吗？,画法：,动手试一试,探究活动,11,A,B,C,12,结论,三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。,用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过

4、程，叫做证明三角形全等,13,三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”),如何用符号语言来表达呢?,结论, A = _ B = _ C = _,14, ABC ADC（SSS）,例1 已知：如图，AB=AD，BC=CD， 求证：ABC ADC,AC,AC ( ),AB=AD ( ) BC=DC ( ),证明：在ABC和ADC中,=,已知,已知,公共边,判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。,分析：要证明 ABC ADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。,结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。,15,归

5、纳：,准备条件： 证全等时要用的间接条件要先证好；,三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,16,例2 如图，ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证： ABDACD.,A,B,C,D,应用迁移，巩固提高,(1),(2)BAD = CAD.,（2）由（1）得ABDACD ， BAD= CAD. （全等三角形对应角相等）,17,例、已知：AOB， 求作：AOB，使AOB=AOB,O,A,B,C,D,O,A,B,C,D,作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； 2、画一条

6、射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C； 3、以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D； 4、过点D画射线OB。 则AOB即为所求。,18,工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？,练习,课 本 P8,（全等三角形对应角相等）,（已知）,（已知）,（公共边）,19,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的

7、AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,解：要证明ABC FDE， 还应该有AB=DF这个条件,AD=FB AD+DB=FB+DB 即 AB=FD,20,思,考,？,已知AC=FE，BC=DE，点A、D、 B、 F在一条直线上，AD=FB. 要用“边边边”证明 ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,21,如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC。,证明：BD=CE BD-ED=CE-ED， 即BE=CD,练一练,22,ACE,ADBADC,BC=ED,ACD,23,(1)准备条件：证

8、全等时要用的间接条件要先证好；,(2)证明三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,2.证明三角形全等的步骤：,1. 三边对应相等的两个三角形全（边边边或SSS）；,24,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（SAS）,25,领会“边角边”判定两个三角形的方法； 经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题； 培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值。,学习目标,26,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：

9、,三角形全等判定方法1,27,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,28,继续探讨三角形全等的条件：,两边一角,思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边 与这一个角的位置上有几种可能性呢？,图一,图二,在图一中， A,是AB和AC的夹角，,符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。,符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”,29,结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等,？,思考： ABC与ABC 全等吗？,画法:

10、 1.画 DAE= A；,2.在射线AD上截取AB=AB,在射线 AE上截取AC=AC;,3. 连接BC.,A,C,B,A,E,C,D,这两个三角形全等是满足哪三个条件？,B,30,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,31,练习：,1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立,在AOB和DOC中 A0=DO（已知）,=,（对顶角相等）,BO=CO（已知）, AOBDOC( ).,AOB,DOC,SAS,32,（已知）,A=A（公共角）,=,

11、A,D,C,B,E,AECADB ( ).,2.在AEC和ADB中,AB,AC,AD,AE,SAS,注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。,33,探索边边角,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?,已知：AC=10cm,BC=8cm, A=45 .,ABC的形状与大小是唯一确定的吗?,34,探索边边角,SSA不存在,显然： ABC与ABC不全等,35,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？,两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；,两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等, 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？,SSS,SAS,36,如图，去修补一块

12、玻璃，问带哪一块玻璃去可以使得新玻璃与原来的完全一样？,分析：带去，可以根据SAS得到与原三角形全等的一个三角形.,37,例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离为什么？,证明：在ABC 和DEC 中，,ABC DEC（SAS） AB =DE （全等三角形的对应边相等）,38,证明:在ABC与BAD中,AC=BD CAB=DBA AB=BA,ABCBAD（SAS）,(已知),(已知),(公共边),BC=AD (全等

13、三角形的对应边相等）,可以看出，因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常通过证明这两个三角形全等来解决。,例2、如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？,39,变式1: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:C=D,变式2: 如图，AC=BD,BC=AD 求证:A=B,40,A,D,C,B,如图，两车从路段AB的一端A出发，分别向东，向西行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？为什么？,证明:依题意得 在ABC与ABD中,AB=AB,(公共边), BAC= BAD=90,AC=AD,(已知),ABCAB

14、D（SAS）,BC=BD (全等三角形的对应边相等）,41,42,两直线平行， 内错角相等,例2：点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF 求证（1）AFDCEB,分析：证三角形全等的三个条件,A=C,边 角 边,AD / BC,AD = CB,AE = CF,AF = CE,？,（已知）,43,证明：,AD/BC, A=C,又AE=CF,在AFD和CEB中，,AD=CB,A=C,AF=CE,AFDCEB（SAS）,AE+EF=CF+EF 即 AF=CE,摆齐根据,写出结论,指范围,准备条件,(已知）,(已证）,(已证）,（两直线平行，内错角相等）,44,1、今天我们学习哪种方法判

15、定两三角形全等？,边角边（SAS）,2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？,SSS、SAS、,注意哦！,“边边角”不能判定两个三角形全等,45,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（ASA、AAS）,46,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法； 能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。,学习目标,47,回首往事： 1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判断三角形全等至少要有几个条件？,答：至少要有三个条件,边边边公理： 有三边对应相等的两个三角形全等。,边角边公理： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。,48,49/27,A,B,D,A,

16、B,C,SSA不能判定全等,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,SAS,50,继续探讨三角形全等的条件：,两角一边,思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？,A,B,C,A,B,C,图1,图2,在图1中， 边AB是A与B的夹边，,在图2中， 边BC是A的对边，,我们称这种位置关系为两角夹边,我们称这种位置关系为两角及其中一角的对边。,51,已知ABC，画一个A B C ，使A B =AB

17、, A = A， B = B,结论:全等三角形的判定方法2：两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).,探索,？,观察：A B C 与 ABC 全等吗？怎么验证？,画法: 1.画 A B =AB；,2.在A B 的同旁画DA B = A ,EB A = B, A D、B E交于点C,A,E,D,C,B,思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？,52,如何用符号语言来表达呢?,证明:在ABC与A B C 中,A=A AB=A B,ABCABC（ASA）,A,C,B,B=B,两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).,53,例1 、AB=AC,B=C,（1）那么ABE 和ACD全等吗？为什

18、么？（2）求证：AD =AE,证明: （1）在ABE与ACD中 B=C （已知） AB=AC （已知） A= A （公共角） ABE ACD （ASA）,2、例题学习：,（2）ABE ACD（ASA） AE =AD,54,帮帮我,小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢? 如果可以,带哪块去合适呢?为什么?,(2),(1),55,C,B,E,A,D,利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角形玻璃。,(2),56,如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定

19、赔偿你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？,57,探究,如下图，在ABC和DEF中,A D, BE, BCEF, ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？,A +B +C1800, D +E +F =1800, A D, BE, CF, 在ABC和DEF中, BE, BCEF, CF, ABC DEF （ASA）,58,用数学符号表示:,两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。,探究反映的规律是：,59,例2.已知，如图，1=2，C=D 求证：AC=AD,证明：,例题示范，巩固新知,60,两角和它们的夹边

20、对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”,（ASA）,归纳,61,思,考,？,“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话对吗。,62,如图：已知ABDE，ACDF，BE=CF。求证：ABCDEF。,考考你,证明： BE=CF(已知),BC=EF(等式性质),B=E,在ABC和DEF中,BC=EF,C=F,ABCDEF（ASA）, ABDE ACDF (已知), B=DEF , ACB=F,63,证明：DAB =EAC， DAC =EAB. AEBE，ADDC， D =E =90. 在ADC 和AEB

21、 中,如图，AEBE，ADDC，CD =BE，DAB =EAC求证：AB =AC,ADC AEB（AAS） AC =AB,64,练 习,已知: 如图B=DEF, BC=EF, 求证:ABC DEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ； (2)若要以“ASA”为依据，还缺条件 ； (3)若要以“SSS” 为依据，还缺条件 ;,ACB= DEF,AB=DE,AB=DE、AC=DF,(4)若要以“AAS” 为依据，还缺条件；,A= D,1、边边边 (SSS),3、角边角 (ASA),4、角角边 (AAS),2、边角边 (SAS),65,16在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且

22、ADMN于D，BEMN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； (2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DEADBE； (3)当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明,66,67/27,小结,(1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.,简写成“角边角”或“ASA”.,(2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.,简写成“角角边”或“AAS”.,知识要点：,（3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。,数学思想：,要学会用分类的思想，转

23、化的思想解决问题。,人教版八年级数学上册 12 全等三角形,12.2 全等三角形的判定（HL）,68,探索并理解“HL”判定方法； 会用“HL”判定方法证明两个直角三角形全等。,学习目标,69,回 顾 与 思 考,1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。,SSS,ASA,AAS,SAS,3、如图，AB BE于B，DE BE于E，,2、如图，Rt ABC中，直角边 、 ，斜边 。,BC,AC,AB,（1）若 A= D，AB=DE， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”） 根据 （用简写法）,全等,ASA,70,（2）若 A= D，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“

24、不全等”）根据 （用简写法）,AAS,全等,（3）若AB=DE，BC=EF， 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,全等,SAS,（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）,全等,SSS,71,72,如图，ABC中， C =90，直角边是_、_，斜边是_。,我们把直角ABC记作RtABC。,AC,BC,AB,以上的四种判别三角形全等的 方法能不能用来判别Rt全等呢？,思考：,如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

25、,（1）你能帮他想个办法吗？,方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS),方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS),73, 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？,工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？,下面让我们一起来验证这个结论。,74,做一做,已知线段a、c(ac)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C= ，CB=a，AB=c.,想一想，怎样画呢？,75,按照下面的步骤做一做：, 作MCN=90;, 在射线CM上截取线段CB=a;, 以B为圆心,C为半径画

26、弧，交射线CN于点A;, 连接AB., ABC就是所求作的三角形吗？, 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？,76,斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。,数学语言：,在RtABC和RtABC中,（HL）,BC=BC,归纳概括“HL”判定方法,77,斜边、直角边公理,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。,简写成“斜边、直角边”或“HL”,前提,条件1,条件2,78,证明：ACBC，BDAD， C =D =90 在RtABC 和 RtBAD 中， AB =BA， AC =BD， RtABC RtBAD（HL） BC =A

27、D（全等三角形对应边相等）,“HL”判定方法的运用,例如图，ACBC，BDAD，AC =BD 求证：BC =AD,79,答：ABC +DFE =90,例2如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角ABC 和DFE 的大小有什么关系？为什么？,证明：ACAB，DEDF， CAB 和FDE 都是直角. 在RtABC 和 RtDEF 中，,RtABC RtDEF（HL）, ABC =DEF（全等三角形对应角相等） DEF +DFE =90 ABC +DFE =90,80,如图，在 ABC 中，BDCD， DEAB， DFAC，E、F为垂足，DEDF， 求证： (1)BEDCFD,(2)求证：ABC是等腰三角形。,(2)证明 ：,BEDCFD B=C AB=AC,81,已知：如图，在ABC和DEF中, AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=