高等数学笔记

1、第一章函数、极限和连续 1.1 函数一、主要内容 函数的概念1.函数的定义 :y=f(x),x d定义域 : d(f),值域 : z(f).2. 分段函数 : yf ( x )xd1g( x )xd 23. 隐函数 :f(x,y)= 04. 反函数 :y=f(x) x= (y)=f -1 (y)y=f-1(x)定理 : 如果函数 : y=f(x), d(f)=x, z(f)=y是严格单调增加 ( 或减少 ) 的；则它必定存在反函数：y=f -1 (x), d(f-1 )=y, z(f-1 )=x且也是严格单调增加( 或减少 ) 的。函数的几何特性1. 函数的单调性 : y=f(x),x d,x

2、 1、 x2 d当 x1 x2 时, 若 f(x 1) f(x 2),则称 f(x) 在 d内单调增加 ( )；若 f(x 1) f(x 2),则称 f(x)在 d 内单调减少 ( )；若 f(x 1) f(x 2),则称 f(x)在 d内严格单调增加( )；若 f(x 1) f(x 2),则称 f(x)在 d 内严格单调减少( )。2. 函数的奇偶性： d(f) 关于原点对称偶函数： f(-x)=f(x)奇函数： f(-x)=-f(x)3. 函数的周期性：周期函数： f(x+t)=f(x), x (- ， + )周期： t最小的正数4. 函数的有界性： |f(x)| m , x (a,b)

3、基本初等函数1. 常数函数： y=c ， (c 为常数 )2. 幂函数：y=xn ,(n为实数 )3. 指数函数： y= ax , (a 0、 a 1)4. 对数函数： y=log a x ,(a 0、a 1)5. 三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1. 复合函数：y=f(u) , u= (x)y=f (x) , x x12. 初等函数 :由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除

4、）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限 :limy a 称数列yn 以常数 a 为极限 ;或称数列yn 收敛于 a.nn定理 : 若 yn的极限存在yn必定有界 .2. 函数的极限：当当limf (x)alim f ( x) ax时， f ( x) 的极限：xlimf (x)axxx x0时， f (x) 的极限： lim f (x) ax x0左极限： lim f (x) a右极限： lim f ( x) ax x0x x0函数极限存的充要条件：定理： lim f (x) alim f (x)lim f (x) ax x0x

5、xx x00无穷大量和无穷小量1无穷大量：lim f (x)称在该变化过程中f (x) 为无穷大量。x 再某个变化过程是指：x, x, x, x x0 , xx0 , x x02无穷小量： lim f (x) 0称在该变化过程中f (x) 为无穷小量。3无穷大量与无穷小量的关系：定理： lim f ( x) 0lim1)0),( f ( xf ( x)4无穷小量的比较： lim0, lim0若 lim0 ,则称是比较高阶的无穷小量；若 limc（ c 为常数），则称与同阶的无穷小量；若 lim1，则称与是等价的无穷小量，记作：；若 lim,则称是比较低阶的无穷小量2定理： 若：1 1，2 2；

6、 ： lim两面 定理1数列极限存在的判定准 ：1lim122 ： ynxnzn（ n=1 、2、 3）且：lim ynlim zna ：lim xnannn2函数极限存在的判定准 ： ： 于点 x0的某个 域内的一切点（点 x0 除外）有：g (x)f ( x)h(x) 且： lim g( x)lim h( x)a ： limf (x) axx0xx0x x0极限的运算 若： lim u( x)a,lim v(x) b ： limu(x)v(x)limu( x)lim v( x)ab lim u( x)v( x)lim u( x)lim v( x)ab lim u(x)lim u(x)a(l

7、im v(x)0)v(x)lim v( x)b推 ： lim u1 ( x)u2 ( x)un ( x)lim u1 ( x )lim u2 ( x)lim un ( x) lim cu(x)clim u( x) lim u ( x) nlim u( x) n两个重要极限1 lim sin x1或 limsin( x )1x 0x( x )0( x )1 ) x12 lim (1elim (1x ) xexxx0 1.3 连续一、主要内容 函数的 性1. 函数在 x0 ： f ( x) 在 x0 的 域内有定 ，o lim ylim f (xx) f (x ) 0olim f (x)f ( x

8、0 )1x0002x x0x 0左 ： limf ( x)f (x0 )右 ： lim f ( x)f ( x0 )xx0xx02. 函数在 x0 的必要条件：定理： f ( x) 在 x0 处连续f ( x) 在 x0 极限存在33. 函数在 x0 处连续的充要条件：lim f (x) f ( x0 )lim f (x)lim f ( x)f (x0 )定理： xx0x x0x x04. 函数在a,b 上连续：f (x) 在 a,b 上每一点都连续。在端点 a 和 b 连续是指：lim f ( x)f (a)xalim f ( x)f (b)xb左端点右连续；右端点左连续。a+0b-x5.

9、函数的间断点：若f (x) 在 x0 处不连续，则 x0 为 f (x) 的间断点。间断点有三种情况：o)x( f在 x0 处无定义； 2olimf (x)1xx0不存在；o)x( f在 x0 处有定义，且limf (x)3xx0存在，limf ( x)f (x0 )但 x x0。两类间断点的判断：1o 第一类间断点：limf ( x)limf (x)特点： xx0和 xx都存在。0lim f ( x)可去间断点 ： xx0存在，但4lim f (x)f ( x0 )x( f在 x0 处无定义。x x0，或2o 第二类间断点：lim f ( x)limf (x)特点： xx0和 x x至少有一

10、个为，0lim f ( x)或 xx0振荡不存在。lim f ( x)limf (x)无穷间断点 ： x x0和 x x0至少有一个为函数在 x0 处连续的性质1. 连续函数的四则运算：lim f (x)f ( x0 )lim g(x) g(x0 )设 x x， x x001olim f ( x)g( x)f ( x0 )g( x0 )x x02olim f ( x)g( x)f ( x0 ) g( x0 )x x0f ( x)f ( x0 )limg( x) 0limg( x0 )3o xx0 g( x)x x02. 复合函数的连续性：yf (u),u(x),yf ( x)lim(x)( x

11、0 ),limf (u)f (x0 )x x0u( x0)则： lim f ( x)f lim( x)f ( x0 )x x0xx03. 反函数的连续性：5yf ( x),xf 1 ( x),y0f ( x0 )lim f ( x)f ( x0 )lim f 1( y)f 1( y0 )x x0y y0函数在 a, b 上连续的性质1.最大值与最小值定理：f (x) 在 a, b 上连续f (x) 在 a, b 上一定存在最大值与最小值。yy+mmf(x)f(x)0abxm-m0abx2.有界定理：f (x) 在 a, b 上连续f (x) 在 a, b 上一定有界。3.介值定理：f (x)

12、在 a, b 上连续在 (a, b) 内至少存在一点，使得：f () c ，其中：m cmyymf(x)cf(x)60abxm0a 1 2bx推论：f (x) 在 a,b 上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号在 (a, b) 内至少存在一点，使得：f ( )0 。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念yf ( x )1导数：在 x 0的某个邻域内有定义，limylimf ( x0x )f ( x0 )limf ( x )f ( x0 )x 0xx 0xx x0xx0y x x0f ( x0 )dyx x

13、0dx2左导数：f( x0 )limf ( x )f ( x0 )f ( x) f ( x 0 )x x0右导数： f ( x 0 ) limx x 0xx0x x 0定理： f ( x) 在 x0 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则： f (x 0 )limf ( x )xx0（或： f ( x0 ) lim f( x ) ）x x 03.函数可导的必要条件：定理： f ( x) 在 x0 处可导f ( x ) 在 x 0 处连续4. 函数可导的充要条件：定理： y x x 0f ( x0 ) 存在f ( x 0 )f ( x 0 ) ，7且存在。5.导函数：yf (x ),x

14、(a, b)f ( x ) 在 (a,b) 内处处可导。yf ( x0 )f ( x)6.导数的几何性质：yf ( x 0 ) 是曲线 yf ( x ) 上点xmx0 , y 0 处切线的斜率。ox0x求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o（ uv)uv2o（ uv)uv uv3ouuvu v(v0)vv 23.复合函数的导数：yf (u),u( x ),yf ( x)dydyduf ( x )( x )dxdu，或 f ( x) dx注意 f ( x ) 与 f ( x ) 的区别：f ( x ) 表示复合函数对自变量x 求导；f ( x ) 表示复合函数对中间变量( x ) 求

15、导。4.高阶导数：f( x ),f( x ),或 f (3 ) ( x )f ( n ) ( x ) f ( n 1) ( x ) ,(n2,3,4 )函数的 n 阶导数等于其n-1 导数的导数。微分的概念1.微分：f ( x ) 在 x 的某个邻域内有定义，ya( x )xo(x )8其中： a( x ) 与x 无关， o( x ) 是比x 较高lim o( x )0阶的无穷小量，即：x0x则称 yf ( x) 在 x 处可微，记作：dya( x) xdy a( x )dx( x 0)2.导数与微分的等价关系：定理：f ( x ) 在 x 处可微f ( x) 在 x 处可导，且：f ( x

16、)a( x )3.微分形式不变性：dyf (u)du不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分 dy 都具有相同的形式。 2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理 :f ( x ) 满足条件 :10 在 a , b 上连续；.2 0 在 ( a , b )内可导;.03 . f ( a )f ( b ).在 ( a , b )内至少存在一点,使得f()0 .yf ()f ( )f ( x)9f ( x)aobxaobx2.拉格朗日定理：f ( x ) 满足条件 :10 在 a,b上连续，在(a,b)内至少存在一点 ，使得：20 在( a,b)内可导；f ( b)f (a)

17、f ( )ab罗必塔法则： （0 ,型未定式）0定理：f (x) 和 g(x) 满足条件：lim f ( x)0(或 ）x a0(或 ）1olim g( x)；xa2o 在点 a 的某个邻域内可导，且g (x)0 ；limf ( x)a, （或 ）3o x a() g ( x)f ( x)f( x)）limlima, （或则：x a( ) g( x)x a( ) g (x)注意： 1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2 o 若不满足法则的条件，不能使用法则。0即不是0 型或 型时，不可求导。103 o 应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4 o 若

18、f (x) 和 g (x) 还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：f ( x )f ( x )f ( x)a （或）limlimlimx a( ) g( x )x a( ) g ( x )x a( ) g ( x )5 o 若函数是 0,型可采用代数变0型；若是 1,00,0形，化成 0 或型可0采用对数或指数变形，化成0 或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设： yf ( x ),m ( x0 , y0 )切线方程：法线方程：yy0f ( x0 )( xx0 )1yy0( xx0 ),( f ( x 0 )0)f ( x 0 )2 曲线的单调性： f ( x )0x(a, b)f (

19、x)在(a, b)内单调增加；f ( x)0x(a,b)f ( x )在(a, b)内单调减少；11f ( x )0x(a,b)f ( x )0x(a, b)3.函数的极值：极值的定义：在 (a,b)内严格单调增加；在 (a, b)内严格单调减少。设f ( x) 在 (a, b) 内有定义，x0 是 (a,b) 内的一点；若对于x0xx0，都有：的某个邻域内的任意点f ( x0 )f ( x) 或f (x0 )f (x)则称f ( x0 ) 是 f (x) 的一个极大值（或极小值） ，称 x0 为 f (x) 的极大值点（或极小值点） 。极值存在的必要条件：10. f ( x)存在极值 f (

20、 x0 )定理：20. f ( x0 )存在。f ( x0 )0x0 称为 f (x) 的驻点极值存在的充分条件：定理一：10. f ( x)在x0处连续；20. f ( x0 )0或f ( x0 )不存在； f (x0 )是极值；x0是极值点。30. f (x)过x0时变号。12当 x 渐增通过 x0 时， f (x) 由（ +）变（ -）；则 f ( x0 ) 为极大值；当 x 渐增通过 x0 时， f (x) 由（ -）变（ +）；则 f ( x0 ) 为极小值。10. f ( x ) 0；f (x0 )是极值；020. f (x )存在。x0是极值点。定理二：0若若f( x0 )0，则

21、f( x0 )0，则f (x0 ) f (x0 )为极大值；为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4 曲线的凹向及拐点：若若f (x)0, xa,bf ( x)0, xa,b；则f (x) 在 (a,b) 内是上凹的（或凹的），（）；则f (x) 在 (a, b) 内是下凹的（或凸的） ，（）；10. f (x0 )0，x0 , f ( x0 ) 称 20. f (x)过x0时变号。 为f (x)的拐点。5。曲线的渐近线：水平渐近线：若 lim f (x)ay a是 f ( x)x或 lim f (x)a的水平渐近线。x铅直渐近线：13若 lim f ( x)x c是f (

22、x)x c或 lim f ( x)的铅直渐近线。x c第三章一元函数积分学 3.1 不定积分一、主要内容重要的概念及性质：f ( x),f ( x),xd1原函数：设：若： f ( x )f ( x )则称 f ( x ) 是f ( x ) 的一个原函数，并称 f ( x)c 是 f ( x ) 的所有原函数 ,其中 c 是任意常数。2不定积分：函数f ( x ) 的所有原函数的全体，称为函数f ( x ) 的不定积分；记作：f ( x )dxf ( x )c其中：f ( x ) 称为被积函数；f ( x )dx 称为被积表达式；x 称为积分变量。3. 不定积分的性质：14f ( x )dxf

23、 ( x )或： df ( x )dxf ( x )dxf ( x)dxf ( x)c或：df ( x)f ( x)c f 1 ( x )f 2 ( x )f n ( x )dxf 1 ( x )dxf 2 ( x)dxf n ( x )dx分项积分法kf ( x)dxkf ( x )dx (k 为非零常数 )4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法： （又称“凑微元”法）f ( x) ( x)dxf ( x )d ( x )凑微元f (t )dtf (t )c令 t( x )f ( x)c回代 t( x )常用的凑微元函数有：1odx1 d(ax)1 d(ax b)(a,b为常数， a 0)

24、aa15x m dx1dx m 11d (ax m 1b)2om1a(m1)（ m为常数）oex dx d (ex )1 d (aexb)3aax dx1 d(ax ), (a 0, a 1)ln a14oxdxd(ln x )5osin dxd (cos x)cos xdxd (sin x )sec2 xdxd (tan x)csc2 xdxd (cot x )1dx d(arcsin x )d(arccos x)6o1x21dx d(arctan x )d(arc cot x)1 x22.第二换元法：f ( x )dxf (t )d(t )令 x( t )(t ) f (t )dxf (t

25、 )c16f 1 ( x )c反代 t1 ( x )第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1oxt n ,n为偶数时 , t0(当被积函数中有nx 时 )2oxa sin t ,(或 xa cos x ),0t2(当被积函数中有a2x 2时 )3oxa tan t ,(或xa cot t ),0t2 ,(0t2 )(当被积函数中有a2x2时 )4oxa sect ,(或 xa csct ),0t2 ,(0t2 )(当被积函数中有x 2a2 时 )分部积分法：1. 分部积分公式：udvu vvduu v dxu vuvdx2.分部积分法主要针对的类型：

26、p( x) sin xdx,p( x) cosxdx17p( x)ex dxp( x) ln xdxp( x) arcsin xdx,p( x ) arccos xdxp( x ) arctan xdx ,p( x )arc cot xdxeax sin bxdx ,eax cosbxdx其中： p( x ) a0x nax n 1an（多项式）13.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令p( x )u ，其余记作 dv;简称“三多选多” 。在指数函数乘多项式中，令p( x )u ，其余记作 dv;简称“指多选多” 。在多项式乘对数函数中，令ln xu ，其余记作 dv;简称“多对选对” 。在

27、多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作 dv;简称“多反选反” 。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作 dv;简称“指三任选” 。简单有理函数积分：p( x )f ( x )1. 有理函数：q( x )其中 p( x )和q( x ) 是多项式。2. 简单有理函数：18f ( x )p( x ) , f ( x)p( x)1x1 x2f ( x )p( x )( xa)( x b)p( x )f ( x )a)2b( x 3.2 定积分f(x)一主要内容（一） .重要概念与性质1.定积分的定义：oa x1 x2 xi-1 i xixn-1 b xbnlimx0 if

28、 ( i ) xixi 1 , xif ( x )dx1ian定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号，yx轴下方的面积取负号。+a 0- b x2. 定积分存在定理：设： yf ( x)xa, b若： f(x) 满足下列条件之一:1 . f ( x )连续， xa, b ;2 . f ( x )在 a, b 上有有限个第一类间断点;3 . f ( x)在 a, b 上单调有界 ;则： f ( x)在 a, b 上可积。若积分存在，则积分值与以下因素无关：191 与积分变量形

29、式无关，bb即f ( x )dxf ( t )dt;aa2与在 a,b 上的划分无关，即a,b 可以任意划分 ;3与点 i的选取无关，即i 可以在 xi1, xi 上任意选取。积分值仅与被积函数f ( x )与区间 a, b有关。3. 牛顿莱布尼兹公式：若 f ( x )是连续函数 f ( x )在 a,b 上的任意一个原函数：b则： f ( x )dxf ( x ) baf (b)f (a)a* 牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理：若 f ( x )连续， xa,b ,x则： ( x)f (t )dt,

30、xa, ba( x )是 f ( x)在a, b上的一个原函数，x且：( x )(f (t )dt )f ( x )a5. 定积分的性质：设 f ( x ), g( x )在a, b上可积，则：bb1kf ( x )dxkf ( x)dxaa20ba2f ( x )dxbf ( x )dxa3bbbf ( x) g( x) dxf ( x )dxg( x)dxaaa4a0f ( x )dxa5bcbf ( x )f ( x )dxf ( x )dx (a c b)aac6bba1dxayyyf(x)g(x)1f(x)0 acb x0ab x 0 ab x7f ( x ) g( x ),(a x

31、 b)则bbf ( x)dxg( x)dxaa8 估值定理：m(b a)bf ( x)dx m (b a)a其中 m, m 分别为 f ( x)在 a, b 上的最小值和最大值。yymf(x)f(x)m210abx0abx9 积分中值定理：若f ( x )连续 xa, b ,则：必存在一点a, b ,bf ( ) (b a)使 f ( x)dxa（二）定积分的计算：1. 换元积分设 f ( x )连续， xa, b，x(t )若(t )连续， t,且当 t从变到时， (t )单调地从 a变到 b,( ) a,( )b,bf (t )(t)dt则： f ( x )dxa2. 分部积分bbba u

32、dvu v aa vdu3. 广义积分0f ( x )dxf ( x )dxf ( x )dx04. 定积分的导数公式x1（f (t )dt ) xf ( x)a22( x )2 f (t )dt xf ( x)( x )a2 ( x )f (t )dt xf2 ( x )2 ( x)f1( x)1 ( x)3 1 ( x )( 三)定积分的应用1.平面图形的面积 :1 由 yf ( x )0,xa, xb,(ab)与 x 轴所围成的图形的面积yf(x)bsf ( x )dxa2 由 y1f ( x ), y2g( x ), ( fg)与xa, x b所围成的图形的面积bf ( x)g( x)

33、 dxsa3 由 x1( y),x2( y), ()与yc, yd所围成的图形的面积sd( y) dy( y)c4 .求平面图形面积的步骤： .求出曲线的交点，画出草图； .确定积分变量，由交点确定积分上下限； .应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积1 曲线 yf ( x ) 0,与 xa, x b 及 x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积：23v xb2 ( x)dxfa0abx2 由曲线 x( y)0,与 yc, yd 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：v yd2 ( y)dyc第四章多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分一 . 主要内容： . 多元函数的概念3. 二元函数的定义：zf ( x , y)( x , y)d定义域： d( f )4.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） .二元函数的极限和连续：1.极限定义：设z=f(x,y) 满足条件