a附录A平面图形的几何性质.ppt

1、1,附 录 A 平面图形的几何性质 Geometrical properties of plane graph,2,拉压正应力,扭转切应力,弯曲正应力,计算应力通常要用到构件截面的几何参数,附录A 平面图形的几何性质 (Geometrical properties of plane graph),3,统一式,m+n=0 零次矩(或面积 ) Moment of zero order,m+n=1 静矩 (或一次矩 ) Moment of the first order,m+n=2 惯性矩、积 (或二次矩) Moment of the second order,目的 1、为扭转、弯曲问题的求解铺平道

2、路 2、统一截面几何性质,4,静矩（一次矩）,A-1 形心、静矩、重心,对z轴：,对一个轴而言，静矩可为正、负或零。 量纲：长度3,对y轴：,5,平面图形形心坐标公式,均质物体的重心与形心重合,形心使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点。,6,组合图形的形心,7,有对称轴图形形心的位置,有一个对称轴：,形心C位于该对称轴上。,有两个对称轴： 形心C位于两个对称轴的交点。,8,c,b,t,t,求组合图形的形心坐标,C1的坐标:,解：先将图形划分为规则图形的组合,建立坐标系,例1 求图示组合图形的形心坐标，已知b, c, t .,C2的坐标:,C的坐标:,9,求C的坐标：,求组合图形的形心坐标算例,

3、10,11,注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定 位于两个子图的形心连线上; 注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号.,面积A1,12,惯性矩（Moment of inertia),惯性积(Product of inertia),A-2 惯性矩、极惯性矩与惯性积二次矩,极惯性矩(Polar moment of inertia) (对原点),13,（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之 和等于 不变的极惯性矩 Ip 值,惯性矩、极惯性矩与惯性积的一些性质,（1）惯性矩为正，即,（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零,（4）组合图形惯性矩（积）为各个子

4、图惯性矩（积）之和,14,(3)证明 Ip=Iy+Iz,15,坐标转动不改变极惯性矩,16,例2 求圆截面对y、z轴的惯性矩,设圆截面直径D，则圆方程为,或：极惯性矩的一半：,解：,17,例3 求矩型截面对其对称轴y、z 的惯性矩,取狭长条作为微圆面积dA,z,y,c,解：,则：,同理：,18,问题的提出 工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简 单截面（如矩形）的组合，总惯性矩 = 分惯性矩之和， 而分惯性矩在 各自的 形心坐标系 中计算. 将 分惯性矩 转换到 总形心坐标系 时，要考虑坐标 系转换的影响. 分坐标系 与 总形心坐标系通常是 平行关系，于是 就抽象出惯性矩计算的 平行移轴

5、 问题。,A-3 平行移轴公式,19,已知：,计算：,o,C(b, a),z,y,a,b,dA,面积A,20,同理,若某轴通过图形的形心,则图形对该轴的静矩必等于零,21,例4,矩形1,矩形2,已知：,计算截面对轴 过形心的z 轴的惯性矩。,1、图形分块计算,解：,22,矩形1,矩形2,2、求形心位置（可取yz2 为基轴）：,23,确定移轴量（a, b),z1到 z 轴的距离:,z2到 z 轴的距离:,3、用平行移轴定理,矩形1对 z 轴的惯性矩:,矩形2对 z 轴的惯性矩:,整个截面的惯性矩：,24,转轴问题对弯曲受力合理性很关键,*A-4 转轴公式、主惯性轴和主惯性矩,已知：截面对 y、z

6、 轴的惯性矩、惯性积,求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积,25,坐标转换的矩阵形式,26,同理有：,27,意义对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小,说明惯性矩取极大（或极小）时，惯性积等于零,28,由方程,确定两个相互垂直的轴 主惯性轴,说明： 1、惯性矩极大与惯性矩极小的坐标轴互相垂直； 2、这两个坐标轴主惯性坐标系,求解出,29,主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩,得到一大一小两个主惯性矩：,主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系 主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩,30,小 结,1. Iz、Iy 恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位 置有关;,2. 对形心轴静矩为0，对称轴 Iyz = 0，对称轴就是形心 主惯性轴;,3. 平行移轴公式中，说明截面对形心轴的惯性矩最小;,4. 主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一； 主形心惯性矩一个为最大，一个为最小,31,问 题,1、实心圆轴的惯性矩Iz=Iy=( )，极惯性矩Ip=( ),3、矩型截面的惯性矩Iz= ( ).,D4/64,D4/32,bh3/12,2、空心圆轴的惯性矩Iz=Iy= ( )，极惯性矩Ip=( ),(D4-d4)/64,(D4-d4)/32,32,问 题,4、平面图形对某一对正交