2015高考数学(文)真题分类汇编：专题09+圆锥曲线

1、1.【 2015 高考新课标 1，文 5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为1 ，E 的右焦点与2抛物线 C : y28x 的焦点重合，A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则AB( )（A） 3（B） 6（C） 9（D）12【答案】 B【解析】抛物线 C : y28x 的焦点为（2,0），准线方程为x 2 ，椭圆 E 的右焦点为（2,0），椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为x2y21(ab 0) ， c=2，a2b2 ec1 ， a 4 ， b2a2c212 ，椭圆 E 方程为 x2y21，a21612将 x2 代入椭圆 E 的方程解得 A （-2,3）， B（ -2， -3

2、）， |AB|=6 ，故选 B.【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】 本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.222.【 2015高考重庆，文 9】设双曲线x2 -y2 = 1(a 0,b 0) 的右焦点是 F，ab左、右顶点分别是 A 1, A 2 ,过 F 做 A 1 A 2 的垂线与双曲线交于B，C 两点，若A 1BA 2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为（）(A)1(B) 2(C)122(D

3、) 2【答案】 C【解析】由已知得右焦点 F (c,0)(其中 c2a2b 2 ,c0) ，A1 ( a,0), A2(a,0) ， B(c, b 2),C( c, b2) ，aa1从而 A1B (ca, b2), A2 C (c a, b2) ，又因为 A1BA2C，aa所以 A1B A2C0 ，即 (c a) (c a) ( b2 ) ( b2 )0，aa化简得到 b21b1 ，即双曲线的渐近线的斜率为1，a2a故选 C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到 a 与 b 的关系式来求解 .本题属

4、于中档题，注意运算的准确性.3.【2015 高考四川， 文 7】过双曲线 x2y21的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的3两条渐近线于A、B 两点，则 |AB| ()43(B)2 3(C)6(D)4 3(A)3【答案】 D【解析】由题意，a 1，b3 ，故 c 2，渐近线方程为y 3 x将 x 2 代入渐近线方程，得y1， 2 23故|AB|4 3 ，选 D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】 本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求

5、出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值 .属于中档题 .4. 【 2015 高考陕西，文3】已知抛物线y22 px( p0) 的准线经过点( 1,1) ，则抛物线焦点坐标为（）A (1,0)B (1,0)C (0,1)D (0,1)2【答案】 B【解析】 由抛物线 y22 px( p 0) 得准线 xp ，因为准线经过点( 1,1)，所以 p2 ，2所以抛物线焦点坐标为(1,0) ，故答案选B【考点定位】抛物线方程和性质 .【名师点睛】 1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值 .本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方

6、程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键 .5.【2015 高考新课标 1，文 16】已知 F 是双曲线 C : x2 y21 的右焦点， P 是 C 左支上一8点， A 0,66 ，当APF 周长最小时，该三角形的面积为【答案】 126【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】 解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.36. 【 2015 高考广东，文8】已知椭圆 x

7、2y21（ m0 ）的左焦点为 F14,0 ，则 m25m2（）A 9B 4C 3D 2【答案】 C【解析】由题意得：m22542 9 ，因为 m 0 ，所以 m 3 ，故选 C【考点定位】椭圆的简单几何性质【名师点晴】 本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题 解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆 x2y21（ ab0 ）的左焦点 F1c,0，右焦点 F2c,0，其中 a2b2c2 a2b27.【 2015 高考天津，文5】已知双曲线x2y2= 1(a 0,b 0) 的一个焦点为 F (2,0),且双a2-2b(x -

8、2+ y 2 = 3 相切 ,则双曲线的方程为（曲线的渐近线与圆2)）x2y2= 1(B)x2y2=1(C)x2- y2= 1(D)(A)-93913132x2 -y=1【答案】 D222b【解析】由双曲线的渐近线bxay 0 与圆 (x - 2)+ y= 3相切得223 , 由abca2b22 ,解得 a1,b3 ,故选 D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】 本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性 ,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.8

9、.【 2015 高考湖南，文x2y21的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线6】若双曲线b2a2的离心率为 ()4A 、7B、 5C、 4D 、 53433【答案】 D【解析】因为双曲线x2y21的一条渐近线经过点（3， -4），a2b23b4a， （9 c2a2） 16a2， ec = 5故选 D.a3【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】 渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口 . 与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线x2y21 共渐近线的可设22ab22b22为 xy(0) ； (2) 若渐近线方程为yy(0) ；(3) 双x ，

10、则可设为 xa2b2aa2b 222曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4)xya2b21(a 0.b0) 的一条渐近线的斜率为 bc2a2e21 . 可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口aa2的大小另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.9.【 2015 高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为y2x 的是（）（A） x2y21（ B） x2y2144（C） x2y21（D） x2y2122【答案】 A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为 y2x ，故选 A.【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】

11、在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在 y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.10.【2015 高考湖北，文 9】将离心率为 e1的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b ( a b) 同时增加 m ( m 0)个单位长度，得到离心率为e2 的双曲线 C2，则（）A 对任意的a, b ， e1e2B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2C对任意的a, b ， e1e2D当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e25【答案】 D .【解析】不妨设双曲线C1 的焦点在 x 轴上，即其方程为：x2y21，则双曲线 C2的方程a2b2为：x2y21

12、，所以e1a 2b21b2(a m)2(b m) 2aa 2 ，(am)2(bm)2(bm)2e21，当 ab 时，am(am)2bm b(bm) ab(am)(ab) mbm22b ，所以b，所以a m a(a m)a0 ，所以 b ma ma(a m) aa m ae2e1 ；当 abmb(bm)a b( am)(ab)m0，所以 bmb ，所以b 时，( a m)a(a m)aa m aa m ab2b2m，所以 e2e1 ；故应选 D .ama【考点定位】 本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系 .【名师点睛】 将双曲线的离心率的计算

13、与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11.【 2015 高考福建，文11】已知椭圆 E : x2y 21(ab0) 的右焦点为F 短轴的一a2b2个端点为 M ，直线 l : 3x4 y0交椭圆 E 于 A, B 两点若 AFBF4，点 M 到直线l 的距离不小于4 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（）5A (0,3 B (0, 3C 3 ,1)D 3,1)2424【答案】 A【解析】设左焦点为 F ，连接 AF1 ，BF1 则四边形 BF1 AF 是平行四边形， 故

14、AF1BF ，所以AFAF142a ，所以 a2 ，设 M (0, b) ，则 4b4 ，故 b 1，从而 a2 c2 1 ，5560c23，0c3 ，所以椭圆 E 的离心率的取值范围是(0,3 ，故选 A2【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将 AFBF 4转化为AFAF1 42a ，进而确定 a的值， 是本题关键所在， 体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性， 属于难题 求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量 a, b,c 满足的不等量关系，以确定c 的取值范围a12【 2015 高考浙江，文 15】椭

15、圆 x2y2（ ab0 ）的右焦点 F c,0关于直线yba2b21xc的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是【答案】22nb1F c,0bmc c【解析】设关于直线x 的对称点为 Q (m, n)，则有，解得ynb m2c2c2mc32b2, nbc22bcc32b2bc22bc)在椭圆上，即有a2a2，所以Q(a2,a2(c32b2 )2(bc22bc)21 ，解得 a22c2，所以离心率 ec2.a4a2b2a2【考点定位】1.点关于直线对称； 2.椭圆的离心率 .【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得

16、到关于a,c 的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力.13. 【 2015高考北京，文12】已知2,0是双曲线 x2y21 （ b0 ）的一个焦点，则b2b7【答案】3【解析】由题意知c2, a1， b2c2a23 ，所以 b3 .【考点定位】双曲线的焦点.【名师点晴】 本题主要考查的是双曲线的简单几何性质，属于容易题 解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线x2y21（ a0 ， b0）的左焦点 F1c,0 ，右焦点 F2c,0 ，其中a2b2c2b2a2 【2015高考上海，文7】抛物线y22

17、px p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，(则 p.【答案】 2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以p1，即 p 2.2【考点定位】抛物线的性质，最值.【名师点睛】 由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小 .【2015高考上海， 文 12】已知双曲线 C1 、 C2 的顶点重合， C1 的方程为 x2y21，若 C24的一条渐近线的斜率是 C1 的一条渐近线的斜率的2 倍，则 C2 的方程为.【答案】 x2y 2144【解析】因为C1 的方程为x2y2，所以C1 的一条渐近线的斜率k1141，所以 C2 的一2条渐近线的斜率k21，因为双曲线

18、C1 、 C2 的顶点重合，即焦点都在x 轴上，设 C2 的方程为x2y21(a0,b0) ，a2b2所以 ab 2，所以 C2 的方程为x2y 21 .448【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1) 已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的222c a双曲线的方程；(3) 渐近线的斜率与离心率的关系，如k bc21aaa2e 1.14.【 2015 高考山东，文x2y 21（ a0, b0）的右焦点作一条与其渐15】过双曲线 C： 22aa近线平行的直线，交C 于点 P

19、.若点 P 的横坐标为2a ,则 C 的离心率为.【答案】 23【解析】双曲线 x2y21的右焦点为(c,0) .不妨设所作直线与双曲线的渐近线yb x 平a2a2a行，其方程为 yb (xc) ，代入 x2y21求得点P的横坐标为 xa2c2，由aa2a22ca2c22a ，得 ( c )24 c10 ，解之得 c23 ， c23 （舍去，因为离心2caaaa率 c1），故双曲线的离心率为23 .a【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程 .【名师点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键， 首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线

20、的对称性可知，两种情况下结果相同； 其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想， 求得离心率 .本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想 .15.【 2015 高考安徽，文x2y21(ab 0), 点 O 为坐标原点，20】设椭圆 E 的方程为b2a2点 A 的坐标为 (a,0) ,点 B 的坐标为（ 0， b） ,点 M 在线段 AB 上，满足 BM2 MA ,直线5OM 的斜率为.10（）求 E 的离心率e;9（）设点C 的坐标为（ 0， -b） ,N 为线段 AC 的中点，证明：MNAB.【答案】（） 25（）

21、详见解析.5【解析】（）解：由题设条件知，点M ( 2 a, 1 b) ，又 kOM5从而 b5.33102a10进而 a5b,ca 2b22b ，故 ec25.a5（）证：由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为a ,b ，可得 NMa ,5b.2266又 ABa,b ，从而有 ABNM1 a 25 b 21 5b 2a2666由（）得计算结果可知a25 2,所以AB NM0，故MNAB.b【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考

22、生的基本运算能力和综合分析能力.16【 2015 高考北京，文 20】（本小题满分14 分）已知椭圆 C: x23y 23 ，过点 D 1,0且不过点2,1的直线与椭圆 C 交于，两点，直线与直线 x 3 交于点（ I ）求椭圆 C 的离心率；（ II）若垂直于 x 轴，求直线的斜率；（ III）试判断直线与直线 D 的位置关系，并说明理由【答案】（ I ）6 ；（ II ） 1；（ III）直线与直线 D平行 .3【解析】试题分析： 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、 两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. （ I ）先将椭圆方程

23、化为标准方程，得到a ， b ， c 的值，再利用ec的特殊位计算离心率；（ II ）由直线a1011置，设出，点坐标，设出直线的方程，由于直线与 x3 相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率；（ III ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况， 直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立， 消参，得到 xx和 x x，1212代入到 kBM1中，只需计算出等于0 即可证明 kBMkDE ，即两直线平行 .试题解析：（）椭圆 C 的标准方程为 x2y21.3所以a3，2.b 1 c所以椭圆 C 的离心率 ec6.a3（

24、）因为过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴，所以可设A(1, y1) ， B(1,y1 ) .直线的方程为 y 1(1y1)( x 2) .令 x 3，得 M (3,2 y1 ) .所以直线的斜率 kBM2y1y11.31（）直线与直线 D平行 . 证明如下：当直线的斜率不存在时，由（）可知kBM1 .又因为直线 D的斜率 kDE101，所以 BM / /DE .21当直线的斜率存在时，设其方程为yk (x1)(k1) .设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则直线的方程为 y 1y11 ( x 2) .x12令 x 3，得点 M (3, y1 x13) .x12由

25、x23y23 ，得 (1 3k 2 ) x26k2 x 3k 23 0.yk( x1)所以 x1x26k23k 23.1， x1 x213k 23k2y1x13x1y2直线的斜率 kBM23.x2因为 kBM1k( x1 1) x13 k( x1 1)( x12) (3 x2 )( x1 2)(3 x2 )( x12)(k 1) x1x22( x1x2 ) 3)(3 x2 )( x12)(k 1)3k2312k23)13k 213k 2(3x2 )( x12)0 ，所以 kBM1kDE .所以 BM /DE.综上可知，直线与直线 D平行.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位

26、置关系.【名师点晴】 本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题 解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆 x2y21（ ab 0 ）的离心率 ec ，过1x1, y1， 2x2, y2 的直线斜率a2b2aky2y1 （ x1x2 ），若两条直线 l1 : y k1xb1 ， l 2 : yk2xb2 斜率都存在，则x2x1l1/l2k1k2且 b1b2 17.2015高考福建，文19】已知点 F 为抛物线E : y22 px( p0)的焦点，

27、点A(2, m)在【抛物线 E 上，且 AF3 （）求抛物线E 的方程；（）已知点 G ( 1,0) ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B ，证明：以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切12【答案】（） y24x ；（）详见解析【解析】解法一： （ I）由抛物线的定义得F 2p2因为F3，即 2p3，解得 p2 ，所以抛物线的方程为 y24x 2（II ）因为点2,m 在抛物线: y24x 上，所以 m22，由抛物线的对称性，不妨设2,22由 2,22， F 1,0 可得直线F 的方程为 y22x 1 y22x1，得 2x25x20 ，由y24x解得 x2 或 x1 ，从而

28、1 ,222又G 1,0 ，所以 kG2 20 2 2 ， kG2 02 2 ，2131312所以 kGkG0 ，从而GFGF ，这表明点 F 到直线 G， G的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 G相切的圆必与直线 G相切解法二：（ I ）同解法一（II ）设以点 F 为圆心且与直线 G相切的圆的半径为 r 13因为点2,m在抛物线:y24x 上，所以 m22 ，由抛物线的对称性，不妨设2,22由 2,22， F1,0 可得直线F 的方程为 y22x 1 y22x1，得 2x25x20 ，由4xy2解得 x2 或 x1，从而1 ,222又 G1,0，故直线 G的方程为22x3 y 220 ，从而 r222242 8917又直线 G的方程为 2 2x3 y220，所以点F到直线 G的距离 d222242r8917这表明以点 F 为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切【考点定位】 1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系【名师点睛】 利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同